基于翻轉(zhuǎn)課堂的大學(xué)與中學(xué)微積分的分化與整合

牛向陽，倪前月

（1.阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.阜陽市第二中學(xué)，安徽 阜陽 236032）

隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育體系在內(nèi)容上有著多方面的改革，其中一個方面是高師數(shù)學(xué)分析的部分內(nèi)容被納入于中學(xué)微積分中[1]。這種改革順應(yīng)社會的發(fā)展，然而實效并不明顯，部分中學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時處于被動、陷于茫然，部分高師院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時理論不清、不得甚解。翻轉(zhuǎn)課堂作為一種基于網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)的課堂教學(xué)模式，是當(dāng)代教育的一種自適應(yīng)性變革[2]。為了實施素質(zhì)教育，更好地學(xué)習(xí)中學(xué)微積分，為了培養(yǎng)具有扎實高師數(shù)學(xué)分析功底的、能勝任中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的師范生，下面在分析中學(xué)微積分與高師數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中存在問題的基礎(chǔ)上，研究微積分教學(xué)的翻轉(zhuǎn)課堂模式，探討如何對高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分進行有效地分化與整合，如何對重疊內(nèi)容進行有效地銜接。

1 問題分析

高師與中學(xué)微積分內(nèi)容的分化與整合是個重要研究課題，基于不同的培養(yǎng)目標(biāo)與教學(xué)模式，這兩門課程改革多數(shù)研究是在各自的領(lǐng)域中進行[3-6]。一方面，在新課標(biāo)體系下高師數(shù)學(xué)分析課程自身存在著課時壓縮與內(nèi)容深化間的重重矛盾，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)目標(biāo)由傳統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)代（使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識和理論的同時，獲得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法，能運用數(shù)學(xué)軟件及多媒體技術(shù)實現(xiàn)各種技能)[7]。“現(xiàn)代教學(xué)目標(biāo)”對教學(xué)及教材均提出了更高的要求，但通過比較可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)教材仍有許多重疊與遺漏的內(nèi)容。部分學(xué)生由于學(xué)過了微積分，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析相關(guān)重疊內(nèi)容時，可能會因為新鮮感缺乏造成學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)不夠深入，從而導(dǎo)致基本理論掌握不夠，定義及定理理解不清，在實分析等后繼課程的學(xué)習(xí)時存在困難。另一方面，中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定微積分內(nèi)容納入到高中數(shù)學(xué)課程中[8]，由于高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分內(nèi)容有部分的重疊與遺漏，在中學(xué)階段，微積分講授了什么，講授到什么程度，如何做到與高師數(shù)學(xué)分析內(nèi)容進行很好的銜接，是大學(xué)一線教師面臨的問題。而部分中學(xué)一線教師對中學(xué)微積分的教學(xué)內(nèi)容深淺程度把握不當(dāng)，對高師數(shù)學(xué)分析的特點理解不深，使得中學(xué)微積分與高師數(shù)學(xué)分析間不能得到有機的接軌。目前，關(guān)于大中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究取得一定進展[9-12]，但結(jié)合多媒體技術(shù)與現(xiàn)代信息技術(shù)對高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分進行分化與整合的成果不多，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實施分層次差異性教學(xué)，仍有待研究。

2 翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念與模式分析

翻轉(zhuǎn)課堂由Flipped Class Model或Inverted Classroom翻譯而來，稱為“反轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)模式”，簡稱“反（翻）轉(zhuǎn)課堂”,它是依據(jù)多媒體技術(shù)，教師課前提供教學(xué)視頻，學(xué)生觀看視頻，完成課前任務(wù)，教師課上讓學(xué)生分組討論，教師最后歸納反饋等教學(xué)活動的新型模式[13]。

翻轉(zhuǎn)課堂以先驅(qū)組織者理論為基礎(chǔ)，讓學(xué)生進行提前學(xué)習(xí)；以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)，讓學(xué)生將外部信息內(nèi)化，改變自己的認知結(jié)構(gòu)；以掌握學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，讓學(xué)生有足夠的時間掌握所學(xué)內(nèi)容；以自主學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，讓學(xué)生進行個性化的自主探究，依據(jù)金字塔理論，翻轉(zhuǎn)課堂實現(xiàn)了讀、聽、看、說、做的結(jié)合，是種高效的學(xué)習(xí)方式[14]。在翻轉(zhuǎn)過程中，學(xué)生既可以觀看視頻進行獨立學(xué)習(xí)，也可以通過課堂討論進行合作探究，既有網(wǎng)絡(luò)線上交流，也有課堂線下學(xué)習(xí)，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)和習(xí)慣[15]。翻轉(zhuǎn)課堂模式激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀能動性，教學(xué)變得靈活主動，具有時代性和實踐性，有助于課前課堂上的反饋評價，有助于知識的拓展與延伸[16]。與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比較，翻轉(zhuǎn)課堂具有尊重個性、因材施教、問題導(dǎo)向、有效互動、擴大容量、超越時空等優(yōu)勢[17]?；谝陨咸攸c與優(yōu)點，近年來翻轉(zhuǎn)課堂模式研究增多，嘗試于不同課程的教學(xué)中。

3 高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分分化與整合

結(jié)合國內(nèi)外的研究基礎(chǔ)[18-20]，根據(jù)多年積累的教學(xué)實踐經(jīng)驗，我們設(shè)計表1所示翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式。

表1 翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式

高師數(shù)學(xué)分析和中學(xué)微積分是個整體，二者應(yīng)以學(xué)生的發(fā)展為本統(tǒng)一規(guī)劃，進行有效整合，對于重疊部分進行分化，對于缺漏部分（如反三角函數(shù)、三角函數(shù)的和差化積、極坐標(biāo)）進行填充。從學(xué)生的思維訓(xùn)練與能力提升的角度，二者均在不同程度上有所體現(xiàn)，但側(cè)重點不同，中學(xué)微積分應(yīng)注重學(xué)生邏輯思維的訓(xùn)練、運算技能的培養(yǎng)和人文情懷的熏陶，高師數(shù)學(xué)分析則應(yīng)注重學(xué)生抽象思維的訓(xùn)練、教學(xué)實踐的鍛煉和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。下面根據(jù)上述翻轉(zhuǎn)模式的三個階段,探討如何對高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分進行分化與整合：在課前實施階段，基于不同階段學(xué)生的特點和培養(yǎng)目標(biāo)，在視頻制作和作業(yè)設(shè)計上，中學(xué)微積分以直觀情景和數(shù)學(xué)文化入手，配上適當(dāng)?shù)睦}，以便于精講細練，注重于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，高師數(shù)學(xué)分析以極限思想、科技前沿和教育實踐入手，配上經(jīng)典的定理，以便于進行理論分析，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；在課中實施階段，中學(xué)微積分以學(xué)生的動手操作和精準(zhǔn)運算為主，注重微積分的發(fā)生過程與初步應(yīng)用，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，高師數(shù)學(xué)分析可利用眾多的線上資源，以學(xué)生的理論學(xué)習(xí)、理論研究和技能鍛煉為主，注重微積分的發(fā)展過程和理論實際應(yīng)用，注重培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在成果展示的過程中，中學(xué)教師應(yīng)注重學(xué)生不同求解方法的展示，高師數(shù)學(xué)分析應(yīng)注重不同理論的探究和“三字一話”的鍛煉；在課后實施階段，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)程度有所不同，中學(xué)微積分的知識延伸中應(yīng)展示高師數(shù)學(xué)分析相關(guān)內(nèi)容、闡明大學(xué)中學(xué)微積分漏缺知識，讓學(xué)生進行簡單直觀的數(shù)學(xué)建模，理解數(shù)學(xué)建模的思想，促使其學(xué)習(xí)掌握CAI與CAD軟件，高師數(shù)學(xué)分析的知識延伸中應(yīng)展示中學(xué)微積分的相關(guān)內(nèi)容、補充大學(xué)中學(xué)微積分漏缺知識，讓學(xué)生進行相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的理論，促使其學(xué)習(xí)掌握Matlab和Mathmatica軟件[21]。以上三個階段的實施，不僅將大學(xué)中學(xué)微積分的思想、理論、發(fā)展、應(yīng)用、文化等信息融為一體，而且根據(jù)不同階段學(xué)生素質(zhì)教育環(huán)境下的學(xué)習(xí)需求和接受能力，從多個方面進行了有效分化。這樣的分化與整合不僅讓中學(xué)生在初學(xué)微積分時興致高昂，從應(yīng)用中體會它的魅力，而且讓學(xué)生在高師階段不會因為內(nèi)容的重疊而感到乏味，反而會隨著內(nèi)容深度與廣度的拓展而逐漸掌握微積分的真諦。

4 基于翻轉(zhuǎn)課堂的導(dǎo)數(shù)定義教學(xué)實例

對于導(dǎo)數(shù)這部分知識，現(xiàn)有的教材有如下內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)選修2-2包含變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、生活中的優(yōu)化問題舉例等4塊內(nèi)容[22]，華東師范大學(xué)編寫的數(shù)學(xué)分析上冊包含導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)法則、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、微分、中值定理及其應(yīng)用等6塊內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在定義、計算、應(yīng)用等三個方面有所重疊，也存在遺漏（反三角函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)）。我們對內(nèi)容設(shè)計如下分化與整合：一是根據(jù)數(shù)學(xué)思想源于實際，中學(xué)內(nèi)容應(yīng)增添導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景及應(yīng)用，大學(xué)內(nèi)容應(yīng)增添導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程及影響；二是根據(jù)學(xué)生不同階段認知的特點，中學(xué)刪去導(dǎo)數(shù)為差商的極限這種概念，補充導(dǎo)數(shù)的物理定義與幾何定義，刪去導(dǎo)數(shù)的近似計算，補充光滑曲線與不可導(dǎo)點概念，大學(xué)補充導(dǎo)數(shù)的近似計算，刪除導(dǎo)數(shù)的物理與幾何意義；三是根據(jù)應(yīng)用的需要，由于高考內(nèi)容涉及函數(shù)的單調(diào)性與最值等內(nèi)容，而這部分內(nèi)容常常根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)可以得到簡便求解，因此中學(xué)應(yīng)補充二階導(dǎo)數(shù)的定義與應(yīng)用，大學(xué)刪去二階導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性與最值中的實際應(yīng)用，保留理論的分析。這樣的分化與整合，不僅滿足中學(xué)生的邏輯思維能力、基本運算能力的培養(yǎng)需要及大學(xué)生抽象思維能力、綜合分析能力的培養(yǎng)需要，同時使得中學(xué)大學(xué)內(nèi)容有效銜接，合二為一，方便教學(xué)，便于研究。目前關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)有許多研究成果，為確保學(xué)生在教與學(xué)中的主體地位，促進師生互動和學(xué)生間的溝通交流，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)與實踐能力，分化高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分對導(dǎo)數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)，實現(xiàn)課程內(nèi)容的有效銜接，根據(jù)概念教學(xué)的“4R規(guī)則”（圖形、文字、數(shù)值、代數(shù)）與 APOS（activity,process,object,schema）理論，結(jié)合構(gòu)建的模式，可進行表2和表3的翻轉(zhuǎn)設(shè)計。

表2 高中導(dǎo)數(shù)概念的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計

表3 大學(xué)導(dǎo)數(shù)概念的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計

5 小結(jié)

我們在探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，研究翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念及先驅(qū)組織者、掌握學(xué)習(xí)、建構(gòu)主義等基礎(chǔ)理論，構(gòu)建基于翻轉(zhuǎn)課堂的微積分教學(xué)模式，結(jié)合概念學(xué)習(xí)的“4R準(zhǔn)則”及APOS理論，對導(dǎo)數(shù)概念進行翻轉(zhuǎn)課堂設(shè)計。翻轉(zhuǎn)課堂模式能夠?qū)崿F(xiàn)以生為本的教學(xué)理念，能夠?qū)崿F(xiàn)高師數(shù)學(xué)分析與中學(xué)微積分的有效對接，能夠?qū)崿F(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的深度融合，對學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提高探究能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面有所裨益。這種生成性開放式課堂模式對于專任教師的專業(yè)文化素養(yǎng)和教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變是種挑戰(zhàn)。這種模式的實施需要大學(xué)中學(xué)一線教師、實習(xí)見習(xí)教師的協(xié)同研究，需要課程教學(xué)實施者的艱辛付出，需要教育部門、教育研究者、網(wǎng)絡(luò)建設(shè)者、學(xué)校師生和學(xué)生家長等方面的共同努力。