以形助數(shù)化難為易
——坐標方法在解題中的應用

廣東省肇慶市德慶縣教育局教研室(526600) 張錦玲

坐標方法是16世紀數(shù)學重要的成果,是數(shù)學方法中最重要的方法之一,它是數(shù)形結(jié)合的橋梁,坐標方法的實質(zhì)就是借助于點的坐標,運用解析工具將幾何圖形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系進而再轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.其實質(zhì)是通過“以形助數(shù)”,使得復雜問題簡單化,抽象問題具體化,使抽象思維和形象思維相結(jié)合,通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法.

坐標方法也稱解析法,它是通過平面直角坐標系的建立把問題代數(shù)化,由代數(shù)運算獲得相關(guān)的代數(shù)結(jié)果,再通過坐標系轉(zhuǎn)化為結(jié)論.坐標系的建立是坐標法引入的前提,有了坐標系,才能設(shè)點的坐標,進一步研究數(shù)量關(guān)系.中學教材最初的坐標系應該從數(shù)軸開始,新教材作為點坐標的引入從數(shù)軸到平面直角坐標系,使知識結(jié)構(gòu)安排緊湊合理,符合了學生的從簡單到復雜的認知心理結(jié)構(gòu),也使得坐標方法的提出更具有系統(tǒng)性,這為學生學習坐標方法奠定了堅實的基礎(chǔ).坐標方法使解決問題變得具有一定的程序可遵循,這種程序性使我們對某些靈活多變的數(shù)學問題尋求具體、簡便的解決辦法得到了優(yōu)化,特別是對那些純幾何方法難以獲解的問題,更能發(fā)揮其巨大的威力.

坐標方法的應用可謂無所不在,本文就坐標方法在中學數(shù)學解題中列舉部分應用.

1 方程問題

例1:設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0 有兩個不等的實數(shù)根x1,x2,且x1＜1＜x2,求a的取值范圍.

圖1

分析由題意可知,a≠0,方程有兩個不相等的實數(shù)根,Δ=b2-4ac=(a+2)2-4a×9a＞0,若從方程角度尋求解法將涉及多重討論,解法十分繁瑣.不妨借助形象直觀的函數(shù)圖象幫助研究,原方程可變形為x2+x+9=0,則問題等價于y=x2+x+9,建立平面直角坐標系,畫出此函數(shù)的大致圖象如圖1,因為1＞0,所以拋物線開口向上,又因為拋物線y=x2+x+9 與x軸交點在(1,0)的兩側(cè),所以當x=1 時,y＜0,12++9＜0,解得-＜a＜0.

本題若從求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系來考慮,方程解法局限性很大,不易獲解,把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?應用坐標方法,借助圖象分析形象直觀、思路清晰,起到了以簡馭繁的最佳效果,問題迎刃而解.可見“形”具有幾何的直觀性,它也可以表示數(shù)之間的某些關(guān)系,“形”可以通過邏輯推理得到結(jié)果,使推理過程更簡捷.

2 函數(shù)問題

例2:在高爾夫球爭霸賽中,運動員從山坡下點A打出一球向山坡上洞B飛去,已知山坡與水平方向夾角為30°,AB相距18m,球飛行距離為9m 時達到最大高度12m,如圖2,球飛行軌跡為拋物線,問能否一桿入洞.

圖2

圖3

分析這是一個源于實際生活中運動場上的拋物線問題,我們可以把它抽象成數(shù)學問題,用解析法解答.建立以A為坐標原點的平面直角坐標系,如圖3,此拋物線的頂點為C(9,12)設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-h)2+k,則y=a(x-9)2+12,把A(0,0) 代入,解得a=所以y=(x-9)2+12,因∠BAD=30°,AB=18m,BD⊥AD,AD=所以B點的坐標是把代入上述函數(shù)解析式左邊不等于右邊,也就是說點B不在拋物線上,故球不能一桿入洞.

本題是有關(guān)物體飛行的圖象信息問題,題中的數(shù)量關(guān)系從建立的平面直角坐標系里的圖象提供,善于根據(jù)圖象中的數(shù)量關(guān)系求出對應的函數(shù)關(guān)系式,問題得到巧妙解決,體現(xiàn)了坐標方法的奧妙之處.

3 三角問題

例3:如圖4,燈塔A周圍1000 米水域內(nèi)有礁石,一艦艇在O處由西向東F方向航行,在O處測得燈塔A在北偏東65°方向上,這時O,A相距4200 米,如果不改變航向,此艦是否有觸礁的危險?(供選數(shù)據(jù):sin 74°=0.9613,cos 74°=0.2756,tan 74°=3.487)

圖4

圖5

分析結(jié)合題意和圖形,建立如圖5的平面直角坐標系,以O(shè)為原點,射線OF為x軸的正半軸,問題轉(zhuǎn)化為求點A到OF的距離與1000 米的大小比較,過點A作AB垂直O(jiān)F于點B,解RtΔAOB求AB的值即可.

在RtΔAOB中,OA=4200m,∠AOB=90°-74°=16°,AB=OA·sin ∠AOB=4200·sin 16°=4200·cos 74°=4200×0.2756≈1158m＞1000m,可知此艦艇不改變航向,繼續(xù)前進沒有觸礁危險.

涉及方向的三角問題,最常用的方法是建立平面直角坐標系,通常選擇最重要的“點”盡量是坐標原點,這樣將會使問題簡化,此題中的“要點”是O點,因此我們應該把這“要點”盡量放在坐標原點,把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形,使問題得以順利解決.

4 平面幾何問題

用坐標方法證明幾何問題,首先必須把研究對象置于適合的坐標系中,坐標選擇的合適與否對問題的解決有很大的影響.

例4:如圖6,在正方形ABCD的AB邊上任取一點E,作EF⊥ED,與∠ABC的外角平分線交于點F,求證:EF=ED.

圖6

圖7

分析建立如圖7所示的平面直角坐標系,設(shè)A(0,0),B(a,0),E(b,0),∠BEF=β,由三角函數(shù)得b=a·tanβ,ED=

直線BF,EF的解析式分別為:y=x-a①

把②,③代入①得t=所以EF=ED.

把直線參數(shù)方程中涉及的平面幾何最基本元素(點、線、面)?？捎脕斫鉀Q與之有關(guān)的數(shù)量關(guān)系,是坐標方法解決平面幾何問題最基本的方法策略.

5 不等式問題

例5:當1≤x≤5,求不等式|x2+px+q|≤2 時的p,q值.

圖8

圖9

分析對于函數(shù)y=x2,當x的值連續(xù)增加時,要使函數(shù)值的變化幅度不大于4,只能使x從-2 變到2.令y=x2+px+q,建立平面直角坐標系,如圖8,因它與y=x2的圖象形狀相同,位置不同,所以由平移可知,當1 ≤x≤5 時,要使|x2+px+q|≤2,y=x2+px+q的圖象只能是圖9的情形,此時拋物線的頂點坐標為(3,2).故得解得

本例通過建立平面直角坐標系,借助函數(shù)模型,利用坐標方法,巧妙地把圖8與圖9聯(lián)系起來考慮,濃縮了觀察的數(shù)學形式結(jié)構(gòu),在知識運用上起到了橫向聯(lián)系的效果,體現(xiàn)“形”的幾何直觀來闡明與“數(shù)”之間的關(guān)系,利用圖形的直觀性可簡捷地解決問題,從而使問題直觀化、簡單化,起到了以簡馭繁的最佳效果.

6 代數(shù)式問題

例6:當x為何值時,代數(shù)式-x2+2x+1 的值為正整數(shù),并求出此正整數(shù).

圖10

分析這是二次三項式的問題,若把它轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)模型去考慮,會收到意想不到的解題效果.設(shè)y=-x2+2x+1,化簡得y=-(x-1)2+2.建立如圖10所示的平面直角坐標系,通過二次函數(shù)y=-(x-1)2+2 的圖象可知函數(shù)值域為y≤2,要使-x2+2x+1 的值為正整數(shù),僅且僅當y=1 或y=2.

當y=1 時,即-(x-1)2+2=1,解得x1=2,x2=0;當y=2 時,即-(x-1)2+2=2,解得x1=x2=1.

所以當x=0 或2 時,代數(shù)式-x2+2x+1 的值為正整數(shù)1;當x=1 時,代數(shù)式-x2+2x+1 的值為正整數(shù)2.

本題主要以函數(shù)作為載體,把二次三項式的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,應用坐標方法使問題化隱為顯,化抽象為形象直觀,使學生利于思考問題、分析問題、解決問題.

在教學過程中,我們?nèi)艚柚嗝襟w和幾何畫板的演示,在解決數(shù)學問題教學中,建立平面直角坐標系,把大量、豐富、復雜的圖形用動畫演示,可以使學生從不同角度觀察,建立空間觀念,培養(yǎng)空間想象力和學生的數(shù)學應用意識,發(fā)展應用數(shù)學能力,使問題更直觀、簡潔,從而有利于分析問題,對提高學生掌握應用坐標方法解決問題能力更有促進作用.值得一提的是,在解題時,要注意坐標方法所獨具的解題技巧,否則會使問題變得復雜,使我們陷入繁雜的演算之中.教師給學生傳授應用坐標方法解題時,要引導學生根據(jù)問題的具體情況,多角度的觀察和理解問題,揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系,利用“數(shù)”的準確描述“形”的模糊,用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算,從而來解決問題.