“不等式與不等式組”學(xué)習(xí)指導(dǎo)

王宗信

現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在大量涉及不等關(guān)系的問(wèn)題.對(duì)于這些問(wèn)題，我們常常要把比較的對(duì)象數(shù)量化，分析其中的不等關(guān)系，列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子——不等式（組），并通過(guò)解不等式（組）而得出結(jié)論.這樣的思路與利用方程（組）研究相等關(guān)系是類似的.

一、認(rèn)識(shí)不等式

用符號(hào)“<”或“>”或“≥”或“≤”等表示不等關(guān)系的式子，叫作不等式.

不等式有兩類：

一類是不等式中不含有字母，比如3>2.一3<一1.另一類是不等式中含有字母，比如x+2>3，1/2x<5.

含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式.

我們看一元一次不等式x+2>3，當(dāng)x取2，3，4，…（只要這些值大于1都可以）時(shí)，不等式x+2>3都成立，與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解.我們還可以發(fā)現(xiàn)，一元一次不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)，一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集.

二、解一元一次不等式

求不等式的解集的過(guò)程叫作解不等式.

解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)整式），所得的結(jié)果仍是等式;（2）等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式.求方程的解就是要把方程變形為x=a的形式.

類似地，解一元一次不等式也要依據(jù)不等式的性質(zhì)：

（1）不等式兩邊加（或減）同一式子），不等號(hào)的方向不變;

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變;

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.比如3>2，兩邊同乘以-1.左邊的數(shù)變?yōu)?3，右邊的數(shù)變?yōu)?2，它們的大小關(guān)系與原來(lái)左右兩邊數(shù)的大小關(guān)系反過(guò)來(lái)了，不等號(hào)必須改變方向，

解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟幾乎相同：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.不同的地方是：當(dāng)不等式系數(shù)化為1時(shí)，如果不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向！另外同學(xué)們要養(yǎng)成用數(shù)軸來(lái)表示不等式的解集的習(xí)慣，這會(huì)為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式組打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例1解不等式x+1/6≥x-2/4 +1，并在數(shù)軸上表示解集.

解析：去分母（不等式兩邊同乘以12），得2（x+l）≥3（x-2）+12.去括號(hào)，得2x+2≥3x-6+12.移項(xiàng)，得2x-3x≥-6+12 -2.合并同類項(xiàng)，得-x≥4.系數(shù)化為1，得x≤-4.（根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式兩邊同乘-1，不等號(hào)要改變方向）

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖1所示.

提醒：解此不等式與解一元一次方程x+1/6=x-2/4 +1的步驟大致相同：去分母、去

括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.前四步與解方程的注意事項(xiàng)一樣：①去分母時(shí)，不等式兩邊都乘最小公分母12，不要漏乘.②去括號(hào)時(shí)，利用分配律展開(kāi)，既不要漏乘，還要注意符號(hào)是否需要變號(hào).③移項(xiàng)要注意變號(hào).④合并同類項(xiàng)同樣要細(xì)心.特別地，系數(shù)化為1時(shí)，不等式兩邊同乘一1，不等號(hào)要改變方向.在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，因?yàn)楸绢}中-4是不等式的解，所以在表示-4的點(diǎn)上畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)，解不等式每一步都需要小心謹(jǐn)慎！

三、解一元一次不等式

例2已知一個(gè)鈍角的大小是（2x-70）o，求x的取值范圍.

解析：根據(jù)題意，得2x-70>90，2x-70<180°，把它們合起來(lái)，即2x-70>90，解第一

2x-70<180個(gè)不等式，得x>80，解第二個(gè)不等式得x<125.因?yàn)閤既是第一個(gè)不等式的解集，同時(shí)又是第二個(gè)不等式的解集，所以x只能是兩個(gè)不等式解集的公共部分.兩個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖2所示.

這兩個(gè)不等式解集的公共部分是80

提醒：一般地，每一個(gè)一元一次不等式的解集有兩種可能，以含有兩個(gè)一元一次不等式的不等式組為例，第一個(gè)不等式的解集可能是x>a或者xc或者x

可以看出，當(dāng)不等式組的解集為x>a的公共部分時(shí)，x>c其解集為較大者.可簡(jiǎn)記為：同大取大.

對(duì)于（2）x

xd，b=d，b

通過(guò)上述的探究，我們得到的體會(huì)是：在解不等式組時(shí)，先分別求出其中各個(gè)不等式的解集，再在數(shù)軸上分別表示各個(gè)不等式的解集，利用數(shù)軸可以很直觀地看出這些不等式解集的公共部分，進(jìn)而得到不等式組的解集.