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    直角坐標(biāo)系的傳奇故事

    2020-08-10 09:24林革
    關(guān)鍵詞:直角坐標(biāo)天花板蜘蛛

    林革

    在平面直角坐標(biāo)系誕生前.代數(shù)和幾何作為數(shù)學(xué)最重要的兩個(gè)分支,在很長(zhǎng)的時(shí)間里各自獨(dú)立發(fā)展.

    直角坐標(biāo)系通常也叫笛卡兒坐標(biāo)系,是為了紀(jì)念創(chuàng)始人——法國(guó)著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡兒而命名的.笛卡兒1596年出生于法國(guó)安德?tīng)栆槐R瓦爾省的一個(gè)貴族家庭.由于體質(zhì)孱弱,當(dāng)8歲的他進(jìn)入教會(huì)學(xué)校后,校長(zhǎng)特批笛卡兒早晨不用起床出操,可他并沒(méi)有把時(shí)間用在睡眠上,而是從此養(yǎng)成了早晨躺在床上看書或者思考的習(xí)慣.

    1612年,16歲的笛卡兒進(jìn)入巴黎普瓦捷大學(xué),由于接觸到大量哲學(xué)和自然科學(xué)的書籍,他的思考更加深入和專注,興趣和愛(ài)好開(kāi)始轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué).當(dāng)他以最優(yōu)成績(jī)獲得法學(xué)學(xué)位后,毅然加入軍隊(duì),決定跟隨扣人心弦的鼓號(hào)去周游世界、體驗(yàn)生活,以便閱讀世界這本大書.

    笛卡兒在軍營(yíng)中一直潛心思考一個(gè)看似自然卻異常深?yuàn)W的問(wèn)題:代數(shù)和幾何獨(dú)立發(fā)展自成體系,有什么辦法能讓數(shù)學(xué)的兩大分支結(jié)合起來(lái)呢?因此如何構(gòu)造兩者之間橋梁成了笛卡兒日思夜想的內(nèi)容.于是,就出現(xiàn)了直角坐標(biāo)系從天而降、由夢(mèng)而來(lái)的傳奇故事,

    【版本1】在1619年11月10日這個(gè)特殊的日子里,一切看起來(lái)與以往沒(méi)什么不同.患病請(qǐng)假的笛卡兒還是躺在床上進(jìn)行思考,主題仍是一直困擾著他的代數(shù)和幾何聯(lián)系的途徑.就在他絞盡腦汁一籌莫展之時(shí),天花板上一只爬來(lái)爬去的蜘蛛無(wú)意間引起了他的興趣.這只蜘蛛正忙著在天花板靠近墻角的地方吐絲結(jié)網(wǎng),它忽而沿著墻面爬上爬下,忽而沿著吐出的絲在空中緩緩移動(dòng),看著看著,笛卡兒眼睛發(fā)亮若有所悟.因?yàn)樗寄合氲膯?wèn)題中,最大的障礙就是如何構(gòu)造幾何的點(diǎn)與代數(shù)的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,蜘蛛給了他極大的啟發(fā),

    不知不覺(jué)天色已晚,既疲倦又興奮的笛卡兒帶著焦急而愉快的心情進(jìn)入夢(mèng)境,頭腦中卻總浮現(xiàn)著這只懸在半空中的蜘蛛,笛卡兒突然意識(shí)到:如果用兩面墻的交線及墻與天花板的交線作為參照系,那么應(yīng)用長(zhǎng)、寬、高上的三個(gè)數(shù)不就能確定蜘蛛的空間位置了嗎?猛然驚醒的他一下從床上爬起來(lái),在紙上畫了三條互相垂直的直線,分別表示兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線,并用一個(gè)點(diǎn)表示空間的蜘蛛.圖形清晰地印證了思路的正確性,只要測(cè)出這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)平面的距離,就可以準(zhǔn)確標(biāo)出蜘蛛的空中位置.受此啟發(fā),笛卡兒毫不費(fèi)力地得出用有序數(shù)對(duì)(a,b)表示平面上一點(diǎn)P的方法.直角坐標(biāo)系由此產(chǎn)生.

    【版本2】1619年11月10日,笛卡兒隨軍駐扎在多瑙河畔的一個(gè)村莊里,兵營(yíng)中燈火通明,官兵們用美酒歌聲驅(qū)散戰(zhàn)爭(zhēng)的陰影.而笛卡兒則早早上床,沉浸在自己的數(shù)學(xué)世界中.也許是長(zhǎng)時(shí)間的思考使笛卡兒的頭腦一直處于高度興奮狀態(tài),也許是預(yù)示著奇跡的發(fā)生,總之,那一夜他做了夢(mèng),他夢(mèng)見(jiàn)自己突然得到了一把金鑰匙,并順利打開(kāi)一個(gè)大門,只見(jiàn)遍地的珍珠絢爛奪目,他忍不住隨手撿起一根珍珠項(xiàng)鏈,突然線斷珠落,轉(zhuǎn)眼間光華頓失,一切化為虛無(wú).定睛四顧,只見(jiàn)一只黑色的蒼蠅疾飛,在他眼前不斷留下掠過(guò)的痕跡:一條條直線和各種形狀的曲線.這時(shí)笛卡兒心頭隱隱跳動(dòng)似要開(kāi)竅,恰在此時(shí),蒼蠅猛然停住,并在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中幻化成一個(gè)黑點(diǎn),從夢(mèng)里一下驚醒的笛卡兒若有所悟,而天花板上一只結(jié)網(wǎng)爬行的蜘蛛讓他立刻豁然開(kāi)朗:用兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線,不是可以確定它的空間位置嗎?

    他一骨碌從床上爬起來(lái),在紙上畫了三條互相垂直的直線,分別表示兩面墻的交線和兩面墻與天花板的交線,用一個(gè)點(diǎn)表示空間的蜘蛛.這樣.測(cè)出這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)平面的距離,就可以準(zhǔn)確標(biāo)出蜘蛛的空間位置點(diǎn)P(如圖1).類似地,用一組數(shù)(a,b)可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn),平面上的任一點(diǎn)可以用一對(duì)有順序的數(shù)來(lái)表示(如圖2),這就是直角坐標(biāo)系的雛形,

    【版本3】1619年11月10日,夜色籠罩下的一個(gè)夜晚,多瑙河畔的烏爾姆小鎮(zhèn)萬(wàn)籟俱寂,鎮(zhèn)中扎下的一排軍用帳篷里的士兵們已酣然入睡,只有一個(gè)23歲的士兵輾轉(zhuǎn)反側(cè)夜不能寐,他就是正服軍役的笛卡兒,躺著的笛卡兒看著帳篷外的星空,不自覺(jué)念叨:滿天繁星像豆子一般雜亂無(wú)章,如果用數(shù)學(xué)方法,怎么表示它們的位置呢?而這正是他一直在思考卻沒(méi)有頭緒的問(wèn)題——幾何與代數(shù)的結(jié)合途徑.想著想著,笛卡兒進(jìn)入了夢(mèng)鄉(xiāng).

    在夢(mèng)中,排長(zhǎng)一把拉起笛卡兒向外拖去,邊走邊說(shuō):“你不是整日研究,想用數(shù)學(xué)來(lái)解釋自然和宇宙嗎?我告訴你個(gè)妙法,”身不由己的笛卡兒只得任由擺布,只見(jiàn)排長(zhǎng)從身后抽出了兩支箭,拿在手里搭成一個(gè)“十”字.箭頭一個(gè)朝上,一個(gè)朝右,他將“十”字舉過(guò)頭說(shuō):“你看,這交叉的兩支箭把天空平面分成四個(gè)部分.假定這兩支箭能射無(wú)限遠(yuǎn),天上這么多星星,隨便哪一顆,你只要從那顆星星向這兩支箭上分別引兩條垂線,就會(huì)得出兩個(gè)數(shù)字,這顆星星的位置就被表示得一清二楚了.”

    笛卡兒若有所悟,但他還是提出了疑問(wèn):“那些抽象的負(fù)數(shù),人看不見(jiàn)摸不著,又怎么表示呢?”排長(zhǎng)哈哈一笑:“只要將這兩支箭的交叉處定為零,向上、向右是正數(shù),向下、向左不就是負(fù)數(shù)嗎?比方說(shuō),這烏爾姆鎮(zhèn)是交叉點(diǎn),多瑙河上游是正,下游是負(fù),右岸是正,左岸是負(fù).我們就可以隨時(shí)用兩個(gè)數(shù)表示出來(lái)位置了.”

    笛卡兒恍然大悟,大叫:“這真是個(gè)好主意!”狂喜之間竟一下子跌入河中.當(dāng)他猛然驚醒時(shí),發(fā)現(xiàn)排長(zhǎng)正站在他面前大聲嚷嚷:“開(kāi)拔了,快起床,還在做什么美夢(mèng)!”笛卡兒待在原地不敢動(dòng)彈,生怕靈感消失,好在閉目之間夢(mèng)境依然清晰,他連忙取出紙筆進(jìn)行記錄,畫出一條橫線為x軸,畫出一條豎線為y軸,又在x軸、y軸上標(biāo)出許多正負(fù)刻度,直角坐標(biāo)系由此躍然紙上.

    以上三個(gè)版本,雖然可信度無(wú)從考證,但笛卡兒的發(fā)現(xiàn)毋庸置疑、令人驚喜,笛卡兒在回憶錄中寫道:“第二天,我開(kāi)始懂得這一驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理.”后來(lái),由這樣兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸所組成的坐標(biāo)系,就被人們稱為笛卡兒坐標(biāo)系,這成為一門嶄新學(xué)科——解析幾何的基礎(chǔ).

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