二面角視角下多面體外接球的探究

福建省廈門市湖里中學(xué)(361006) 嚴(yán) 杜

廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

近年來求多面體外接球的問題在高考試卷和各地模擬卷中頻頻出現(xiàn),解決多面體外接球的方法主要依靠構(gòu)造長方體模型來求解,有較大的局限性.筆者注意到在求多面體外接球中已融入“二面角”的現(xiàn)象,本文從兩道求多面體外接球的問題出發(fā),以“二面角”的視角來進(jìn)行多面體外接球的探究.

一、問題提出

題1(2013年高考全國卷理科第16 題)如圖1,已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓,其公共弦長等于球O的半徑,且圓O與圓K所在的平面所成的一個(gè)二面角為60?,則球O的表面積等于____.(答案:16π.)

圖1

圖2

題2如圖2,已知四棱錐P?ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD,?PAB為正三角形,AD=2,AB=4,則球O的表面積為____.(答案:.)

題1 中兩個(gè)截面圓所在平面所成二面角為60?,題2 中平面PAB⊥平面ABCD,即兩個(gè)平面所成二面角為90?,二者同為特殊角,求解方法是否有通法可循? 筆者接下來對(duì)上述兩題的立體幾何圖形背景進(jìn)行深入分析,結(jié)合二者的特點(diǎn)從特殊到一般展開探究.

二、二面角為90?的多面體外接球探究

探究1在球內(nèi)接多面體中,存在兩個(gè)不同的相交面互相垂直,且分別在球O的截面圓O1、O2上,兩截面圓的半徑分別為r1、r2,兩相交面的公共弦為AB,弦長為2l,求球O的半徑R.

解析如圖3,M為公共弦AB中點(diǎn),則在Rt?AMO1和Rt?AMO2中,可知兩圓的弦心距有MO12=r21?l2,MO22=r22?l2.又圓O1所在平面與圓O2所在平面垂直,有∠O1MO2=90?,因此平面四邊形OO1MO2為矩形,則外接球的弦心距有:MO2=MO12+MO22.在Rt?AMO中,OA2=MO2+l2.綜上所述,球O的半徑有:

圖3

通過探究1 找到了存在兩相交面垂直的多面體的外接球的求解策略,即找到了存在兩相交面的二面角為90?的多面體的外接球的求解策略,那類比題1,若多面體存在兩相交面的二面角為60?,其外接球求解策略是否有通法?

三、二面角為60?的多面體外接球探究

探究2在球內(nèi)接多面體中,存在兩個(gè)不同的相交面,分別在多面體外接球O的截面圓O1、O2上,兩截面圓的半徑分別為r1、r2,兩相交面的二面角為60?,公共弦為AB,弦長為2l,求球O的半徑R.

解析如圖4,兩圓的弦心距有MO12=r21?l2,MO22=r22?l2,兩相交面的二面角為60?,即其平面角∠O1MO2=60?.在?MO1O2中,由余弦定理知兩圓的圓心距有,O1O22=MO12+MO22?MO1·MO2.如圖5,在平面四邊形OO1MO2中,由OO1⊥MO1,OO2⊥MO2得,MO為四邊形OO1MO2外接圓的直徑,由正弦定理知外接球的弦心距有:在Rt?AMO中,OA2=MO2+l2.綜上所述,球O的半徑有:

圖4

圖5

筆者發(fā)現(xiàn)通過探究存在兩相交面的二面角為60?的多面體的外接球的求解策略,“二面角”視角下的外接球求解策略越來越趨于明朗化,因此接下來將對(duì)“二面角”視角進(jìn)行拓寬,并將外接球求解策略規(guī)范步驟化.

四、任意二面角的多面體外接球探究

探究3在球內(nèi)接多面體中,存在兩個(gè)不同的相交面,分別在多面體外接球O的截面圓O1、O2上,兩截面圓的半徑分別為r1、r2,兩相交面的二面角為α,公共弦為AB,弦長為2l,求球O的半徑R.

圖6

圖7

解析如圖6,按照探究2 的解析,依次求出兩圓的弦心距、圓心距以及外接球的弦心距最終求得外接球半徑,兩圓O1、O2的弦心距:MO12=r21?l2,MO22=r22?l2;兩圓O1、O2的圓心距:O1O22=MO21+MO22?2MO1·MO2·cosα;外接球O的弦心距:外接球O的半徑R:由OA2=MO2+l2得:

上述解析將“二面角”視角下的外接球求解策略變得更加明了,即使對(duì)于空間想象能力不足的學(xué)生,如果能熟練掌握上述結(jié)論,在高考中就會(huì)得到事半功倍的效果.

五、含二面角的多面體外接球?qū)嵗\(yùn)用

例1同題2

解析如圖7,按照外接球求解策略得解答如下:矩形ABCD的外接圓圓O1的半徑:?PAB外接圓O2的半徑:由探究結(jié)論知外接球O的半徑:故外接球O的表面積:

評(píng)注本題還可以采用構(gòu)造外接圓柱或者外接圓臺(tái)[1]來求解外接球,這里是其第三種解決策略,不同的視角去看待外接球問題展示出不同的解題策略.

例2(2018年佛山一模理科第16 題)平面四邊形ABCD中,沿直線AC將?ACD翻折成?ACD′,當(dāng)三棱錐D′?ABC的體積取得最大值時(shí),該三棱錐的外接球表面積為____.

解析如圖8,要使三棱錐D′?ABC的體積取得最大值,就是使平面ACD′⊥平面ABC,也就是使這兩個(gè)平面的二面角為90?,設(shè)外接球半徑為R,公共弦2l=4,因此由外接球求解策略解答如下:

評(píng)注本題的難點(diǎn)在于利用正、余弦定理求出兩小圓半徑,在求三角形外接圓半徑時(shí),正、余弦定理是一種常用的方法.

圖8

圖9

例3(2017年福建單科質(zhì)檢理科第16 題)在三棱錐S?ABC中,?ABC是邊長為3 的等邊三角形,二面角S?AB?C的大小為120?,則此三棱錐的外接球的表面積為_____.

解析如圖9,知公共弦AB=2l=3,圓O1、O2的半徑:?ABC為等邊三角形,則由SB2=SA2+AB2知?SAB為直角三角形,則外接球O的半徑:

故外接球O的表面積:S=4πR2=21π.

圖10

評(píng)注由圓O1與O2的半徑相等知二者是大小相等的兩個(gè)小圓,因此,若多面體兩相交側(cè)面的外接圓半徑相等,即r1=r2=r,其外接球半徑為:

例4已知三棱錐P?ABC中,AB⊥BC,且二面角P?AB?C的大小為150?,則三棱錐P?ABC外接球的表面積為( ).

A.100πB.108πC.110πD.111π

解析如圖10,按照外接球求解策略得解答如下:

圓O1的半徑:?ABC為直角三角形,則圓O2的半徑:先后利用余弦、正弦定理求得外接球O的半徑:

故外接球O的表面積:S=4πR2=111π,故選D.

評(píng)注本題如果按照往常的解題方法先找球心,無疑是給缺乏空間想象能力的學(xué)生設(shè)置了一道攔路虎,而按照本文的解題策略只需要找出相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.本題的難點(diǎn)在于計(jì)算量大.

本文受題1 與題2 啟發(fā),將題目中若隱若現(xiàn)的“二面角”元素提取出來,從特殊到一般循序漸進(jìn)的研究了多面體外接球求解策略.經(jīng)過三個(gè)探究從特殊二面角到任意二面角,逐步明晰解決這一類問題的步驟.通過對(duì)試題深入的分析探究,挖掘試題的特征,揭露試題的本質(zhì),幫助學(xué)生總結(jié)通性通法,有助于提高學(xué)生分析和解決問題的能力,提高學(xué)生的創(chuàng)造精神.