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    利用洛必達(dá)法則巧解函數(shù)中的參數(shù)問題

    2020-08-07 08:51周楊
    科技風(fēng) 2020年20期
    關(guān)鍵詞:單調(diào)最值題意

    周楊

    摘?要:求解函數(shù)中的參數(shù)問題是高考考查的重難點(diǎn),同時變量求解也是比較常見的問題。利用參變分離法、洛必達(dá)法則,借助將函數(shù)不等式問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的思想可解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題,結(jié)合例題分析解題思路并與常規(guī)方法進(jìn)行比較。

    關(guān)鍵詞:參變分離法;洛必達(dá)法則

    變量求解問題是比較常見的問題,在很多領(lǐng)域都會遇到,在某些條件下已知一個或多個變量的取值范圍時,通常就會想利用已知變量求出其他變量的取值范圍。如果把這樣的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題可看作函數(shù)中的參數(shù)求解問題,所以解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題就有效解決了很多實(shí)際遇到的變量求解問題,而且近幾年的數(shù)學(xué)高考壓軸題也會出現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)求解問題,這對于學(xué)生來說也是難點(diǎn)。函數(shù)中的參數(shù)求解問題以往解決這類問題通常設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、圖像等性質(zhì),多數(shù)需要分類討論,計(jì)算過程繁雜不易求解,甚至有時函數(shù)在最值點(diǎn)處又出現(xiàn)沒有定義的情況導(dǎo)致無法求解。若參變分離法將其轉(zhuǎn)化為不等式(等式)恒成立問題是易于理解的,對于恒成立問題的解決關(guān)鍵步驟是函數(shù)求最值,有部分問題利用參變分離法將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,即將參變量分離到不等式(等式)的一側(cè),若另一側(cè)出現(xiàn)“00”或“

    ”型的代數(shù)式,我們只需求“00”或“

    ”的最值(例如,若a

    f(x)恒成立,我們只需求的f(x)最小值即可)。而對于“00”或“SymboleB@

    SymboleB@

    ”型的代數(shù)式的最值求解可利用洛必達(dá)法則,數(shù)學(xué)分析中的洛必達(dá)法則是求極限常用的方法之一,可有效求解“00”或“SymboleB@

    SymboleB@

    ”型不定式的極限,因此基于洛必達(dá)法則是很好的選擇。

    1 預(yù)備知識

    定義1.1在給定的平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)x=f(t)

    y=φ(t)(1),且對于t的每一個允許值,由方程組(1)所確定的點(diǎn)(x,y)都在這條曲線上,那么方程組(1)稱為這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x,y之間關(guān)系的變數(shù)稱為參變數(shù),簡稱參數(shù)[1]。

    定理1.1洛必達(dá)法則

    若函數(shù)f(x)和g(x)滿足:

    (1)limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=0(或SymboleB@

    );

    (2)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)且g′(x)≠0;

    (3)limx→x0f′(x)g′(x)=A,則有l(wèi)imx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A。[2]

    2 解題思路及例題分析

    例1 函數(shù)f(x)=lnxx+1+1x,若當(dāng)x>0,且x≠1時,有f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值范圍。

    方法一:由題意,f(x)=lnxx+1+1x>lnxx-1+kx,-2lnxx2-1+1-kx>0,整理得:11-x22lnx+(k-1)(x2-1)x>0(為后續(xù)求導(dǎo)計(jì)算方便這里提出11-x2)。令g(x)=2lnx+(k-1)(x2-1)x,(x>0),則需0

    g(x)>0或x>1

    g(x)<0,g′(x)=2x+(k-1)·2x-(k-1)(x2-1)x2=(k-1)·(x2+1)+2xx2,再令h(x)=(k-1)x2+2x+(k-1) (x>0),

    ①設(shè)k

    0,h(x)=kx2+1-(x-1)2

    0 即g′(x)

    0,所以g(x)在(0,+SymboleB@

    )上單調(diào)遞減,又g(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,當(dāng)x∈(1,+SymboleB@

    )時,g(x)<0,均滿足f(x)>lnxx-1+kx;

    ②設(shè)00,當(dāng)x∈(1,11-k)時,h(x)>0即g′(x)>0,所以g(x)在(1,11-k)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,所以g(x)>0,這時11-x2g(x)<0,即f(x)

    ③設(shè)k1,h(x)=(k-1)x2+2x+(k-1)>0,即g′(x)>0,所以g(x)在(0,+SymboleB@

    )上單調(diào)遞增,又g(1)=0,當(dāng)x∈(1,+SymboleB@

    )時,g(x)>0,同②不符合題意。

    綜上,k

    0。

    方法一解題困難點(diǎn)較多,分情況討論的分界點(diǎn)其實(shí)就蘊(yùn)含很多運(yùn)算和函數(shù)圖像的分析,分類討論情況多,稍有不慎容易思考不周全,整個解題思路較難理解。

    方法二:由題意,lnxx+1+1x>lnxx-1+kx(x>0且x≠1),分離參數(shù)得,k<-2x·lnxx2-1+1,只需k<-2x·lnxx2-1+1min

    令g(x)=-2x·lnxx2-1,g′(x)=2x2lnx+2lnx-2x2+2x2-12=2lnxx2+1-2x2+1+4x2-12=2x2+1x2-12lnx+2x2+1-1

    再令h(x)=lnx+2x2+1-1(x>0且x≠1),h′(x)=1x+-2·2xx2+12=x2-12xx2+12>0。

    所以,h(x)在(0,+SymboleB@

    )單調(diào)遞增,又h(1)=0,所以,當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)

    )時,h(x)>h(1)=0,即g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以由洛必達(dá)法則limx→1g(x)=limx→12x·lnx1-x2=limx→12lnx+2-2x=-1。

    所以,k

    0。

    方法二解題思路:函數(shù)中的參數(shù)問題,先將參數(shù)k分離到不等式一側(cè),不等式另一側(cè)為“00”型未定式[34],將其設(shè)為一個新的函數(shù),討論分析函數(shù)的單調(diào)性并利用洛必達(dá)法則求函數(shù)最值,從而求出k的范圍,整體思路便于理解,計(jì)算簡便。

    例2(2017年全國卷II.理21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)0,求a。

    解題思路:本題仍為函數(shù)中的參數(shù)問題,先分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,此題需要分類討論,分析函數(shù)的單調(diào)性再利用洛必達(dá)法則求解函數(shù)最值,繼而求出a。

    解析:由已知可得x>0,則f(x)0,即ax-a-lnx0?a(x-1)lnx

    ①當(dāng)x>1時,則alnxx-1恒成立,只需alnxx-1max,

    令g(x)=lnxx-1?g′(x)=1x(x-1)-lnxx-12=1-1x-lnxx-12,

    令h(x)=1-1x-lnx?h′(x)=1x2-1x(x>1) 所以h′(x)<0

    h(x)在(1,SymboleB@

    )上單調(diào)遞減,而limx→1+h(x)=0?所以h(x)<0,即g′(x)<0。

    所以g(x)在(1,SymboleB@

    )上單調(diào)遞減,limx→1+g(x)=limx→1+lnxx-1=limx→1+1x1=1,即gmax(x)=1,所以a1;

    ②當(dāng)0

    lnxx-1min,同上①,可得g(x)=lnxx-1在(0,1)上單調(diào)遞減,limx→1-g(x)=limx→1-lnxx-1=limx→1-1x1=1,即gmin(x)=1,所以a

    1。

    綜上,a=1。

    3 小結(jié)

    對于恒成立問題中求參數(shù)取值范圍,參數(shù)分離較易理解,但有些題中求分離出來的函數(shù)式的最值求解較為麻煩,有時即使可以求得最值點(diǎn),但函數(shù)在最值點(diǎn)處又出現(xiàn)沒有定義的情況,使得計(jì)算無法進(jìn)行,出現(xiàn)此類情況時,利用洛必達(dá)法則求“00”或“SymboleB@

    SymboleB@

    ”型函數(shù)式的極限,可以較好地解決其最值問題,得出正確答案,思路清晰容易理解。

    參考文獻(xiàn):

    [1]傅光國,等.參數(shù)方程[M].四川人民出版社,1986.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2012.

    [3]景慧麗,鄭麗娜.一元函數(shù)00型極限求解方法探討[J].高等數(shù)學(xué)研究,2018,21(6):1012.

    [4]葉麗穎.洛必達(dá)法則在極限中的應(yīng)用[J].科技風(fēng),2020,2:6667.

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