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    一道中考題的五種解法

    2008-09-08 04:09吳俊明王冬茍
    關(guān)鍵詞:實(shí)根對稱點(diǎn)中考題

    吳俊明 王冬茍

    例 已知二次函數(shù)y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點(diǎn)M,N.求a,b的值.

    解法1:設(shè)M(x1,0),N(x2,0),則x1,x2是方程x2+2ax-2b+1=0的兩個根,也是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的兩個根.因此有

    x1+x2=-2a,x1x2=-2b+1;x1+x2=a-3,x1x2=1-b2.

    ∴ -2a=a-3,-2b+1=1-b2.

    解得a=1,b=2或a=1,b=0.

    當(dāng)a=1,b=0時(shí),不合題意,舍去,因此a=1,b=2.

    解法2:依題意,方程x2+2ax-2b+1=0與方程-x2+(a-3)x+b2-1=0有兩個相同的實(shí)根,因此兩個方程中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)成比例,即

    解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合題意,舍去.

    解法3:因?yàn)閮蓲佄锞€開口的大小相同,方向相反.又經(jīng)過x軸上兩個不同的點(diǎn),所以這兩個拋物線關(guān)于x軸對稱.它的頂點(diǎn)必關(guān)于x軸對稱.這樣就有

    解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合題意,舍去.

    解法4:抓住兩拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱和兩拋物線與y軸的交點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,得

    解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合題意,舍去.

    解法5:在拋物線y=x2+2ax-2b+1上任取兩點(diǎn),那么這兩點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)必在另一條拋物線y=-x2+(a-3)x+b2-1上.

    取x=1,得y=2a-2b+2,得點(diǎn)A(1,2a-2b+2).

    取x=1,得y=a+b2-5,得點(diǎn)A′(1,a+b2-5).

    取x=-1,得y=-2a-2b+2,得點(diǎn)B(-1,-2a-2b+2).

    取x=-1,得y=-a+b2+1,得點(diǎn)B′(-1,-a+b2+1).

    解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合題意,舍去.

    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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