完整Euler方程組的自相似解

段文慧，胡燕波，張奇濤

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

球?qū)ΨQ運動是氣體動力學(xué)中一類非常重要的流動，自然界中有許多重要的物理現(xiàn)象會呈現(xiàn)這種流動，如恒星動力學(xué)中超新星的形成、空氣中的爆炸波等[1-2].球?qū)ΨQ運動在爆炸理論中占有重要地位，模擬爆炸最簡單的方法就是把它看做一個球形活塞運動，由于球形活塞的均勻膨脹,將未受干擾的氣體推到前方從而產(chǎn)生激波.

考慮完整Euler方程組:

(1)

(2)

其中p=p(ρ)為一個已知函數(shù)，特別地,對多方氣體為p=Aργ，A為常數(shù).如果氣流是球?qū)ΨQ的，那么解具有以下幾何結(jié)構(gòu)

(3)

和

(4)

關(guān)于等熵Euler方程組(4)(包括完整Euler方程組(3))解的存在性,目前仍然是公開的難題，特別是對于包含原點的情況，相關(guān)結(jié)果參見文[3-6]等.若假設(shè)流動還是自相似的，則控制系統(tǒng)可以簡化非線性常微分方程組.Taylor[7]首先在數(shù)值上對等熵Euler方程組考慮這類問題，之后引起了眾多研究者的關(guān)注[1，8-11].Chen 在文[12]中首次考慮了多維可壓縮等熵Euler方程組的活塞問題，并研究了速度勢中二階常微分方程的自由邊值問題.關(guān)于多維活塞問題的相關(guān)結(jié)果可參見文[13-14].對于多方氣體，Peng和Lien[15]考慮了等熵Euler方程組(4)的活塞問題.通過分析非線性常微分方程系統(tǒng)，并在活塞表面施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，他們得到了常微分方程問題光滑解的整體存在性.最近，Zhang和Hu[16]研究了等熵Euler方程組(4)帶兩常數(shù)狀態(tài)方程p=A1ργ1+A2ργ2自相似流動解的存在性.本文主要對多方氣體研究完整Euler方程組(3)活塞向外均勻膨脹而產(chǎn)生的自相似流動問題.在自相似假設(shè)下，該問題可簡化為非線性常微分方程組帶某些強加在活塞表面和激波陣面的邊值條件問題.我們通過詳細分析非線性常微分方程組的性質(zhì)，證明了正光滑解的整體存在性.

本文的安排如下: 在第1節(jié)，我們將問題重述成數(shù)學(xué)問題，在自相似假設(shè)下，該問題轉(zhuǎn)化成非線性常微分方程組帶一些強加在活塞表面和激波陣面的邊界條件，并且闡述了本文主要結(jié)論.在第2節(jié)，通過分析非線性常微分方程組的性質(zhì)證明了若干引理，并利用這些結(jié)論證明了主要結(jié)論.

1 問題重構(gòu)與結(jié)論

我們尋找具有如下形式的解

(ρ,u,p)(t,r)=(ρ,u,p)(ξ),

(5)

我們引進如下變量

u(r,t)=c0Mf(ξ),ρ(r,t)=ρ0h(ξ),c(r,t)=c0g(ξ),

(6)

則方程組(5)可以簡化為

(7)

另一方面，系統(tǒng)(1)的Rankine-Hugoniot條件為

(8)

其中σ是間斷速度，[q]:=qr-ql，其中qr,ql是間斷線兩邊的兩個狀態(tài).在熵條件以及u0=0的假設(shè)下，聯(lián)立式(6)和(8)可得

(9)

為了找到激波處的邊界條件，由方程組(9)后面的兩個方程得

(γ2M2-γM2+2γ)h2-2(γ2M2+γ)h+γ2M2+γM2=0.

(10)

由式(6)中對h的定義，有約束條件h>1時解才有意義.下面我們證明上式有且僅有一個大于1 的根.令

H(h)=(γ2M2-γM2+2γ)h2-2(γ2M2+γ)h+γ2M2+γM2.

對上式關(guān)于h求導(dǎo)得

H′(h)=2(γ2M2-γM2+2γ)h-2(γ2M2+γ),

H″(h)=2(γ2M2-γM2+2γ).

(11)

f(ξb)=ξb.

(12)

因此，問題可重新表述為: 對任意M>1，在[ξb,1]中尋找系統(tǒng)(7)帶邊界條件(11)(12)的光滑解.我們的主要結(jié)論如下：

定理1對于任意的γ>1,M>1，問題(7),(11)(12)在[ξb,1]上存在唯一的正光滑解 (f(ξ),h(ξ),g(ξ)).此外f(ξ),h(ξ) 和g(ξ)在[ξb,1]上是單調(diào)遞減函數(shù).

2 定理1的證明

在本節(jié)中，我們?yōu)榱朔奖闶紫攘頖(ξ)=g2(ξ).則常微分方程系統(tǒng)(7)變換為

(13)

相對于系統(tǒng)(7)滿足邊界條件(11)(12)，系統(tǒng)(13)則帶有如下邊界條件：

(14)

我們尋找當(dāng)γ>1,M>1時，系統(tǒng)(13)在滿足邊界條件(14)的正光滑解(f(ξ),h(ξ),g(ξ)).

2.1 若干引理

定義輔助函數(shù)

Q(ξ)∶=M2(ξ-f(ξ))2-G(ξ).

(15)

由于ODE系統(tǒng)(13)和邊界條件(14)，可以直接計算得到

Q′(ξ)=M2[ξ-f(ξ)][2-(γ+1)f′(ξ)].

(16)

和

(17)

為了證明主要定理，先證明一些引理.

引理1對于任意的γ>1和M>1，有Q(1)<0.

證明由式(17)可知，要證明Q(1)<0等價于證明

(18)

即Q(1)<0，引理證畢.

□

由Q(1)<0知,f(1)>0,f′(1)<0,h(1)>0,h′(1)<0和G(1)>0,G′(1)<0.所以，在ξ=1的小鄰域內(nèi)，f(ξ),h(ξ) 和G(ξ)是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù).我們只要研究輔助函數(shù)Q(ξ)以及ξ-f(ξ)，就可證明f′(ξ)<0，即f(ξ)是單調(diào)遞減的.

□

證明下面分3種情況來證明.

□

(19)

□

2.2 定理1的證明

通過引理4的證明可知，正連續(xù)向量函數(shù)(f(ξ),h(ξ),G(ξ))是常微分方程系統(tǒng)(13)在ξ=1鄰域內(nèi)[ξb,1]上滿足邊界條件(14)的唯一正連續(xù)解.另外，函數(shù)f(ξ)在ξ=ξb滿足邊界條件(12).除此之外，對于任意的ξ∈(ξb,1]有ξ>f(ξ)，由引理2以及系統(tǒng)(13)可得，在(ξb,1]上有f′(ξ)<0,h′(ξ)<0和G′(ξ)<0.因此，f(ξ),h(ξ)和G(ξ)關(guān)于ξ是單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)G(ξ)=g2(ξ)和γ>1可知函數(shù)g(ξ)關(guān)于ξ是單調(diào)遞減的.顯然，函數(shù)(f(ξ),h(ξ),g(ξ))是帶有邊界條件(11)和 (12)的問題(7)的光滑解.定理1得證.

□