分類解題，各個擊破

耿德倫

【摘 要】 為了探究分類思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用效率，本文通過具體論述分類思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略，為學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)的解題技巧提供可參考的資料。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);分類思想;解題教學(xué)

分類思想是高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過程中必須具備的一種思維。通常在高中數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)過程中，得出答案的途徑并不是只有一種，所以可根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類討論。通過引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去看待問題，并進行分類討論，這樣能夠引導(dǎo)高中學(xué)生形成良好的邏輯思維，有效提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、掌握分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生分類解題

通過將分類思想合理地應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生樹立分類討論的思想，讓學(xué)生在分類討論的過程中進行分類解題。例如，在解答絕對值問題“|x+1|<10”時，老師可先讓學(xué)生獨立思考，再引導(dǎo)學(xué)生在相互討論的過程中得出答案，逐步樹立起清晰的解題思路。老師可指導(dǎo)學(xué)生將絕對值看成是一個整體進行討論，并將絕對值的概念結(jié)合起來，這樣學(xué)生便能夠在討論的過程中得出|x+1|<10，則x+1<10或-x-1<10，以此得出結(jié)果：-11

二、采用分類討論思想解題，引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論技巧

在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論的思想概念，這樣才能夠讓學(xué)生在掌握分類討論思想模式之后，學(xué)會采用分類討論的思想來解決數(shù)學(xué)問題。當(dāng)學(xué)生在適應(yīng)了分類討論思想解答數(shù)學(xué)問題之后，便能夠讓學(xué)生逐步掌握分類討論的技巧。其中，在解答一些大題時，老師便可以在一些小的數(shù)學(xué)問題解答過程中引入分類討論思想，或者是將分類討論思想滲透到多個數(shù)學(xué)題目的解答過程中，這樣通過以小組的形式進行討論，能夠讓高中學(xué)生形成靈活的思維。同時，通過創(chuàng)設(shè)適合分類討論思想進行解題的環(huán)境，不但能夠鍛煉學(xué)生的自我思維，而且還能夠讓高中學(xué)生學(xué)會從多角度去看待問題，切實增強學(xué)生采用不同方式解決數(shù)學(xué)問題的能力，從而有效拓展學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)真正得到提升。

三、合理劃分分類標(biāo)準(zhǔn)，明確分類解題思路

在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，常常會應(yīng)用到分類討論的思想。然而，在應(yīng)用分類討論思想進行數(shù)學(xué)解題的過程中，需要綜合分析數(shù)學(xué)題目的類型，再按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行合理的分類，以便讓學(xué)生在不斷解題的過程中能夠形成清晰的解題思路。在高中數(shù)學(xué)解題過程中采用分類思想的時候，一是從數(shù)學(xué)概念上進行分類。如針對絕對值的問題，便可以在準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上進行合理分類，以此找到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解題答案。二是將高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)公式、運算定理和法則進行分類。通常在一個數(shù)學(xué)練習(xí)題干中融合了多個運算定理、數(shù)學(xué)法則或者是數(shù)學(xué)公式，所以在解答的過程中便可以根據(jù)不同的數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)定理來劃分分類的標(biāo)準(zhǔn)。三是根據(jù)圖形的位置進行分類。函數(shù)圖像、幾何圖形的分類問題是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)解題過程中較為常見的方法，所以可嚴格按照這個標(biāo)準(zhǔn)來進行分類解題。四是需要將一些特殊的高中數(shù)學(xué)問題和參數(shù)值變化進行分類。在應(yīng)用分類思想的過程中，需要堅持一些分類的原則，統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)。同時，一般采用分類思想解答數(shù)學(xué)問題時將呈現(xiàn)出互不相容的狀態(tài)，這樣則能夠避免在一些子問題存在交集的過程中解題混亂和遺漏的問題。五是在分類上需保持層次性。通過將高中數(shù)學(xué)的解題下涉及的子問題再進行分類，直到不能夠繼續(xù)分類為止。這樣通過合理劃分分類標(biāo)準(zhǔn)之后，明確分類原則和分類解題思路，從而有效提升分類思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用實效性。

四、關(guān)注多樣題型，促進解題分類

通過將分類思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)課程的解題過程中，立足于分類思想進行多樣化的題型解答，以便將分類思想的作用充分地凸顯出來。其中，在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，分類思想在函數(shù)題、概率題和數(shù)列題三種題目的解答過程中應(yīng)用較多。因此，需要全面關(guān)注數(shù)學(xué)解題的題型，并將分類思想應(yīng)用到這些數(shù)學(xué)題型的解答過程中。首先，將分類思想應(yīng)用到函數(shù)問題的解答中。在函數(shù)問題的解答過程中，通過立足于函數(shù)的概念進行解答時，其函數(shù)的參數(shù)值一般都具有可變性的特點，所以可靈活地利用分類思想來解答函數(shù)問題。例如，在解答函數(shù)的經(jīng)典題型“已知y=（k+3）x2k-1+5x-6，試問k的值為多少時，這個函數(shù)屬于一次函數(shù)”，這個數(shù)學(xué)題目主要是對一次函數(shù)的概念進行考查，同時，通過綜合分析參數(shù)值的變化情況，合理地應(yīng)用分類思想來解答，因此，在這個數(shù)學(xué)問題的解答過程中采用分類解題方法時：一種是將（k+3）x2k-1作為一次項;二是k+3=0。這兩種情況均能夠滿足一次函數(shù)的條件。這樣通過采取分類思想進行解答時，便可以得出兩個答案：k=1和k=-3。關(guān)注多樣題型促進解題分類，便能夠最終解決函數(shù)的問題。

由于概率問題是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中非常重要的組成部分，而相關(guān)的概率問題在本質(zhì)上也涉及分類思想的應(yīng)用，因此，在解決高中數(shù)學(xué)的概率問題時，老師便可以讓學(xué)生將分類思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題的解答過程中。其中，明確數(shù)學(xué)課程中與概率的類型相關(guān)的內(nèi)容是解題過程中的重點，所以需要及時做好已知條件的分類，以便能夠在分類解答的過程中得出答案。學(xué)生在解答概率問題的過程中采用分類思想時，便需要弄清楚概率的類型，幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)分類的情況，這樣便能夠有效避免數(shù)學(xué)解題答案的遺漏或者是混亂的情況。

例如，兩次拋骰子后出現(xiàn)的點數(shù)時假設(shè)為b和c，試求出方程x2+bx+c=0有實根的概率。在解答這個數(shù)學(xué)問題的時候，可以先從基本事件入手，兩次拋骰子的基本事件總數(shù)為36。為了能夠滿足方程是否有實根的條件，便需要Δ=b2-4c≥0，即b≥。這樣便可以根據(jù)所涉及的概率類型進行分類，合理將c的數(shù)值分為6種，便可以出現(xiàn)下列幾種情況：若c=1，則b=2，3，4，5，6;若c=2，則b=3，4，5，6;若c=3，則b=4，5，6;若c=4，則b=4，5，6;若c=5，則b=5，6;若c=6，則b=5，6。通過按照分類思想來解答數(shù)學(xué)問題，便可以得出19個目標(biāo)事件，最終算出方程有實根的概率為。

最后，通過將分類思想應(yīng)用到數(shù)列問題的解答過程中，尤其是針對周期性的數(shù)列問題在解答的時候，所得到的解題效果較好。例如，已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并且Sn=n2+2n+2，那么an等于多少呢？通常在這個數(shù)學(xué)題目的解答過程中會出現(xiàn)兩種情況，即n≥2和n=1，這樣便能夠?qū)n的值算出來。

五、巧借小組合作，增強解題效率

在解答不同的高中數(shù)學(xué)題型的過程中，應(yīng)用分類思想具有非常重要的現(xiàn)實意義。分類思想又被稱之為分類討論思想，在應(yīng)用分類思想的過程中，討論也是非常重要的一個步驟。因此，老師可引導(dǎo)學(xué)生合理地采取小組合作的方式進行分類討論，這樣能夠有效增強高中數(shù)學(xué)的解題效率。例如，通常可將一個題型合理地分為多個不同的類型，這時老師再將學(xué)生劃分為多個小組，讓各個小組的學(xué)生進行分類討論，以此得出最后的答案。同時，也可以讓每一個小組針對不同的數(shù)學(xué)題目分情況進行解答，最后再讓各個小組之間通過討論得出結(jié)果。這樣通過合理地采取小組合作的方式，能夠?qū)W(xué)生的討論激情充分激發(fā)出來，最大限度增強高中學(xué)生的解題效率。

總之，通過在高中數(shù)學(xué)的解題過程中合理地滲透分類討論思想，通過引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論思想，促進學(xué)生分類解題、采用分類討論思想解題，引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論技巧、合理劃分分類標(biāo)準(zhǔn)，明確分類解題思路、關(guān)注多樣題型，促進解題分類、巧借小組合作，增強解題效率，能夠有效提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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