相由心生

周銘浩

摘 要：數(shù)學(xué)抽象之難，使得習(xí)慣特殊與具體數(shù)字的學(xué)生一時(shí)難以接受。根據(jù)學(xué)生的身心特點(diǎn)和教育教學(xué)規(guī)律，從圖像直觀輔助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的歷史性、可行性和必要性方面做了闡釋。

關(guān)鍵詞：圖像直觀;數(shù)學(xué)抽象;幾何意義;函數(shù);單調(diào)性;對(duì)應(yīng)

數(shù)學(xué)難，難在抽象，這是數(shù)學(xué)給學(xué)生的第一印象。數(shù)學(xué)抽象又是新課標(biāo)下學(xué)生需具有的六個(gè)基本素養(yǎng)之一，如何使學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，抽象出數(shù)學(xué)問題，抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)原理，是很多老師在思考的問題。筆者也在這方面提點(diǎn)拙見：以圖像直觀輔助教學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，與學(xué)生回顧其小學(xué)、初中學(xué)過的兩個(gè)概念：絕對(duì)值和π，筆者深有感觸。對(duì)于π，大部分的學(xué)生停留在3.14這個(gè)具體的數(shù)據(jù)上，至于含義，很少有學(xué)生知道，更不用說設(shè)計(jì)求π的方法;對(duì)于絕對(duì)值，能想起的是把負(fù)數(shù)變成正數(shù)，但我們回顧七年級(jí)數(shù)學(xué)教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)絕對(duì)值首先是以距離，以幾何要素呈現(xiàn)的，如果只會(huì)把負(fù)數(shù)變成正數(shù)，后續(xù)學(xué)習(xí)絕對(duì)值不等式等都會(huì)受阻。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是記數(shù)，把握數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，以符合學(xué)生實(shí)際的接受方式啟發(fā)他們才能收到順暢的學(xué)習(xí)效果。由圖像具體來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象是符合學(xué)生規(guī)律的，是教材編寫中所考慮到的，也是教學(xué)學(xué)習(xí)需要遵循的。在講圓周率的過程中，把圓周率的得出過程以圖引領(lǐng)，讓學(xué)生嘗試用不同半徑的圓展開，記錄數(shù)據(jù)，列表觀察圓周長與直徑的比例關(guān)系，來得到不變的π，對(duì)定義的理解會(huì)更加深刻。如果加入中國古代祖沖之父子割圓，以直代曲，極限逼近，來得出圓周率更加精確的數(shù)據(jù)，不僅是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)很好的銜接，也是數(shù)學(xué)文化在中學(xué)生身上的傳承。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合的發(fā)展規(guī)律，我們來看看Model-Drawing教學(xué)法中對(duì)于“？-7=5”這一題的教學(xué)處理：結(jié)合圖像■拿走了7，剩下了5，這個(gè)大長條原本有多少？學(xué)生要搞清楚這個(gè)問題，最便捷的方法是把剛剛拿走的7再放回去，全部數(shù)一遍，如此一來，題目就變成了“7+5=？”。從減法到加法的轉(zhuǎn)換，就自然地完成了。給小學(xué)生解釋7+5為什么等于12，須知欲講數(shù)的加法，必先講數(shù)的分法，以圖像來引導(dǎo)小學(xué)低段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的分法，是符合認(rèn)知規(guī)律的很好的處理辦法。圖像的直觀性決定了學(xué)生更容易記住形，然后才是數(shù)，中學(xué)生亦是如此。

在初中階段，教實(shí)數(shù)，會(huì)教實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)，數(shù)（代數(shù)元素）對(duì)應(yīng)點(diǎn)（幾何元素），這不僅是數(shù)形結(jié)合的發(fā)端，更能讓學(xué)生對(duì)數(shù)的大小有個(gè)直觀的感受。高中數(shù)學(xué)“不等式與不等關(guān)系”這一章在講解“性質(zhì)3：如果a>b，那么a+c>b+c”時(shí)，也采用“把數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、B同時(shí)沿相同的方向移動(dòng)相等的距離，得到另外兩個(gè)點(diǎn)A1、B1，A與B和A1、B1的左右位置關(guān)系不會(huì)改變”，將代數(shù)圖形化、直觀化來闡釋。

從小學(xué)、初中的具體與特殊的數(shù)字、式子進(jìn)入系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象，以圖像直觀輔助理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象就顯得更加必要。

對(duì)于基本初等函數(shù)，相比初中，高中更加注重對(duì)于其性質(zhì)的研究。初等函數(shù)中的對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)高中生來講是全新的。對(duì)新函數(shù)的認(rèn)知，腳步需要慢一些。認(rèn)識(shí)新函數(shù)，第一印象很重要，這個(gè)第一印象的呈現(xiàn)不應(yīng)該是老師描述出來的，而應(yīng)該是學(xué)生自己一點(diǎn)一點(diǎn)、一筆一畫繪制出來的。對(duì)數(shù)函數(shù)的第一節(jié)課，應(yīng)該是一節(jié)畫圖課：列表→描點(diǎn)→連線→新函數(shù)圖象的初次見面。圖像印在腦子里了，諸如單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)才能更好地接受，性質(zhì)是以圖像具體作為背景的。千萬不要忽略，函數(shù)單調(diào)性看似簡單，對(duì)于升入高中不到一個(gè)月的新生而言，是很難的。他們幾乎沒有系統(tǒng)的用代數(shù)來刻畫函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)歷，要能用抽象的代數(shù)刻畫好單調(diào)性，生活中上升或下降→數(shù)學(xué)中具體函數(shù)圖象的上升或下降→代數(shù)的刻畫，要做好情景鋪墊。數(shù)學(xué)課程目標(biāo)有“四基”，基本知識(shí)、基本技能、基本思想以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是前面三個(gè)“基本”掌握的不可或缺的一環(huán)，尤其在用圖像具體來輔助代數(shù)抽象的教學(xué)過程中。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)由特殊到一般，由粗放到細(xì)化的過程。小學(xué)階段，對(duì)圖像是“見山是山，見水是水”層次，但中學(xué)階段需要對(duì)圖像作細(xì)化處理：線由點(diǎn)構(gòu)成，或者說點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，把點(diǎn)（幾何）與數(shù)（代數(shù)）的關(guān)系真正擴(kuò)充到了二維、三維。

在解析幾何中用方程來控制圖形，方程的設(shè)立過程絕不是純代數(shù)的推導(dǎo)過程，應(yīng)該是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。以橢圓為例，橢圓（曲線）→橢圓上的點(diǎn)需要滿足的關(guān)系（細(xì)化，點(diǎn)由線組成）橢圓上點(diǎn)（坐標(biāo)）橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系橢圓方程→代數(shù)研究橢圓（幾何）。幾何入門，代數(shù)升華，從幾何來，回幾何中去。在教學(xué)的過程中不妨多讓學(xué)生“玩”會(huì)，使橢圓形成過程印象深刻，將方程的呈現(xiàn)具象化。我們已經(jīng)不止一次在試題中想以“到兩定點(diǎn)的距離之和等于2a”等提示語給學(xué)生送分，希望學(xué)生可以不用進(jìn)行煩瑣的代數(shù)計(jì)算，直接利用概念來答題，無奈很多時(shí)候?qū)W生因?yàn)檎n堂上缺少圖像直觀體驗(yàn)而沒法在考試時(shí)心有靈犀理解老師的意思。

若數(shù)學(xué)抽象是鹽，直接入口是難的。如何煲好課堂這碗湯，讓學(xué)生在美味的喝“湯”過程中把這“鹽”吸收了，圖像直觀為學(xué)生鋪好接受數(shù)學(xué)抽象的橋梁是可行和必要的。

參考文獻(xiàn)：

唐秦.高中生數(shù)學(xué)抽象能力的評(píng)價(jià)研究[D].蘇州大學(xué)，2017.

編輯 郭小琴