用對數(shù)均值不等式證明數(shù)列不等式

屈惠鵬 韓改琴

(陜西省商洛中學，726000)

在數(shù)列不等式中,有一類含有l(wèi)nn的不等式,它的一般證法是利用導數(shù)先證明一個關于lnx的函數(shù)不等式,再用賦值法證明關于lnn的不等式．這種證法技巧性強,步驟較多,過程冗長,學生不易掌握．若利用對數(shù)均值不等式來證明這類不等式,可以避免從實數(shù)向自然數(shù)的過渡,直接從自然數(shù)開始證明,化繁為簡、化難為易,收到事半功倍的效果.

(*)

該不等式的證明參見文[1].本文舉例說明這個不等式在證明數(shù)列不等式時的應用.

(1)求a的值及f(x)的最大值;

解(1)略.

變式1已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+2.

(1)若f(x)定義域上具有單調(diào)性,求實數(shù)a范圍;

解(1)略.

變式2(2012年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.

(1)求a的值;

(2)若對任意的x∈(0,+∞),有f(x)≤kx2,求實數(shù)k的最小值;

解(1)(2) 略.

評注本題需將對數(shù)均值不等式與放縮法綜合使用,達到證明的目的.

例3已知函數(shù)f(x)=tx-t-lnx.

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上增函數(shù),求實數(shù)t的范圍;

(2)當n≥2且n∈N*,證明：

解(1)略.

評注本題需在不同區(qū)間[k,k-1]及[k,1]反復使用對數(shù)均值不等式,以達到證明的目的.

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a取值范圍;

解(1)(2) 略.

(1)當x≥0時,f(x)≤0,求λ的最小值;

解(1)略.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若n∈N*，且n≥2，證明：

解(1) 略.

由以上例題可見,使用對數(shù)均值不等式時,需選擇合適的區(qū)間,必要時還需與其它不等式或不等式放縮法綜合使用,方能達到證明的目的.