再談三角形面積最值問(wèn)題*

王 義 毛曉偉

(安徽省宿州市碭山中學(xué)，235300)

三角形面積問(wèn)題是解三角形專題中的重要題型,尤其是有關(guān)三角形面積的最值題,極能考查學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力,備受命題者的青睞.本文從五種類型面積最值問(wèn)題入手,舉例說(shuō)明解題的不同策略,并推廣總結(jié),以期拋磚引玉.

為敘述方便,在下列問(wèn)題中按常規(guī)約定,a，b，c分別為?ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng).

類型1已知一角及其對(duì)邊,求三角形面積的最大值

例1在?ABC中,已知(2a-c)cosB=bcosC.

(1)求角B的大小;

類似問(wèn)題(2)的求解過(guò)程,不難得到如下推廣形式.

類型2已知一角及鄰邊,求?ABC面積的取值范圍.

(1)求角B的大小;

(2)若?ABC為銳角三角形,且c=1,求?ABC面積的取值范圍.

類型3已知一角及該角所對(duì)邊的中線,求三角形面積的最大值

(1)求角C的大小;

(2)若D為AB的中點(diǎn),且CD=1,求?ABC面積的最大值.

完全類似地,推廣到一般,可得

類型4已知一邊及兩邊和,求三角形面積的最大值

例4在?ABC中,已知2sinA=sinB+sinC,a=2,求?ABC面積的最大值.

循此,推廣到一般,可得

類型5已知一邊及另兩邊之比,求三角形面積的最大值.

上述五種類型是求三角形面積最值的常見(jiàn)題型,其求解方法看似多種多樣,但實(shí)質(zhì)上各種解題方法也是相通的.具體說(shuō)可從以下幾個(gè)視角分析:(1)轉(zhuǎn)角化邊,利用正余弦定理及基本不等式求解;(2)轉(zhuǎn)邊化角,利用正余弦定理及三角函數(shù)求解;(3)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用坐標(biāo)法求解;(4)轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,利用向量求解;(5)幾何思想,借助圖形的幾何性質(zhì)求解.