解決實(shí)際問題 落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

孫瑩

摘? ?要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科一大核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模通常應(yīng)用于解決實(shí)際問題。通過分析解決近年來河北省數(shù)學(xué)中考的一道應(yīng)用題，指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題的思路、步驟、方法。從審題、分析問題、串聯(lián)問題、遷移問題、解決問題的過程，發(fā)展學(xué)生能力，落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：實(shí)際問題;數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2020）17-0037-03

核心素養(yǎng)在本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，并把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》也指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。數(shù)學(xué)建模能力是基礎(chǔ)教育中學(xué)生要學(xué)習(xí)和掌握的一大能力。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)建模主要應(yīng)用于解決實(shí)際問題，對廣大學(xué)生來講，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn);對一線教師來講，也是教學(xué)的重點(diǎn)。下面以一道河北省數(shù)學(xué)中考題為例，介紹在解決實(shí)際問題的過程中，如何落實(shí)建模素養(yǎng)。

題目：某公司在固定線路上運(yùn)輸，擬用運(yùn)營指數(shù)Q量化考核司機(jī)的工作業(yè)績.Q=W+100，而W的大小與運(yùn)輸次數(shù)n及平均速度x（km/h）有關(guān)（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比.試行中得到了表中的數(shù)據(jù).

一、審清題意是數(shù)學(xué)建模的前提

首先，要仔細(xì)閱讀題干，了解題目背景，理解題意，明確問題。審題時需要梳理清楚題目中出現(xiàn)的“量”。在要解決的實(shí)際問題中，包含了哪些數(shù)量，這些數(shù)量之間又有怎樣的關(guān)系？例如本題中，題干里有四個量：運(yùn)營指數(shù)Q、過渡量W、平均速度x、運(yùn)輸次數(shù)n。其中，Q與W之間存在著Q=W+100這樣的關(guān)系。而W與x、n之間的關(guān)系是：“W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比.”在理解這個條件時，就需要特別注意：構(gòu)成W的這兩部分的比例系數(shù)不一定相同，所以在建構(gòu)W與x、n的關(guān)系時，需要區(qū)別這兩個比例系數(shù)。

二、正確使用數(shù)學(xué)符號語言，是建模的必要條件

讀懂題意后，學(xué)生要根據(jù)自己已有的知識經(jīng)驗(yàn)，把題目中的關(guān)鍵的量與量之間的關(guān)系從自然語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言，抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系式。例如：“W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比.”根據(jù)這個條件，我們可以先設(shè)出W與x、n的關(guān)系式，再得到Q與x、n的關(guān)系：

這樣，在把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言的同時，我們抽象出了Q與x、n的關(guān)系式：初步建立了函數(shù)模型。再利用我們熟悉的“待定系數(shù)法”確定函數(shù)關(guān)系式：

從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，需要教師在教學(xué)過程中教給學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)符號語言，在審題的過程中，借助已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，合理引導(dǎo)，因勢利導(dǎo)，建立有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使建立數(shù)學(xué)模型水到渠成。

三、在解決問題中，體會數(shù)學(xué)模型的作用

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)模型的作用主要體現(xiàn)在解決實(shí)際問題中。以本題為例，第1問獲得的函數(shù)模型是解決后續(xù)的三個問題的關(guān)鍵。

函數(shù)的關(guān)系式中，一共有兩個變量Q、x，n實(shí)際上是一個參數(shù)。此問中給出了兩個變量Q、x的具體數(shù)值，很顯然參數(shù)n可求。本問中，把函數(shù)模型轉(zhuǎn)化成了方程模型，從函數(shù)關(guān)系式得到關(guān)于n的一元一次方程式，借助具體的數(shù)值與數(shù)量之間的關(guān)系，使函數(shù)模型過渡到了方程模型。

很顯然，第3問與第2問相同，都是三個量中給出其中兩個量的條件，求第三個量;但是與第2問也不同，這一問中給出的兩個量，其中一個量是確定的n=3，另一個量不像第2問中直接明確給出了具體的值，而是：“要使Q最大”。所以本問難度上有所提升。但是，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)，代入n=3的條件，得到了Q與n之間關(guān)系式，這個新獲得的關(guān)系式，恰好是我們學(xué)習(xí)過的、熟悉的一個特殊的函數(shù)關(guān)系：二次函數(shù)關(guān)系式。因此，我們可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)通過求最值來解決。

在解決具體實(shí)際問題時，需要建立的數(shù)學(xué)模型往往不是單一的，本題以函數(shù)模型為主，同時，借助了函數(shù)、方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系解決問題。方程模型更有助于解決求未知量的問題，函數(shù)模型更善于刻畫變化規(guī)律，解決最值問題，不等式模型往往用于解決求變元的取值范圍問題。

四、模型亦可變，變中找不變

初中數(shù)學(xué)建模通常分為兩種方式：通過運(yùn)算法則建?；蛘咄ㄟ^已知條件中數(shù)量之間的關(guān)系建模。在解決實(shí)際問題時，后者更加常見，而且往往會出現(xiàn)二次建模或者多重建模。就像問題1中，先根據(jù)已知條件建立的函數(shù)模型，再建立W=k1x2+k2nx真正所需的模型：Q=k1x2+k2nx+100。即使是在同一個問題里，建立的數(shù)學(xué)模型也并不一定是一成不變的。就像本題的第4問：

面對同一個問題，解法、過程可能會有所不同，但是萬變不離其宗，最后一定還是會歸到同一個算理。另外，也需要特別注意，在用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時，一定要對得到的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，除了要符合數(shù)學(xué)關(guān)系式以外，還要符合實(shí)際的問題情境。

縱觀全題，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣。學(xué)生在解決一個實(shí)際問題時，建立了一個數(shù)學(xué)模型。當(dāng)學(xué)生在應(yīng)用這個模型時，又遇到了一個新的問題，就需要我們在原有模型的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有序的，應(yīng)用又是廣泛的。具體問題具體分析，不是模型決定問題，而是以問題為導(dǎo)向，模型為解決是解決問題的工具。

《學(xué)記》中說：“學(xué)不躐等”“不陵節(jié)而施”。在數(shù)學(xué)建模中也一樣適用。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要根據(jù)學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，循序漸進(jìn)，自然水到渠成。

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