一款簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量圖示法演示儀的設(shè)計(jì)方案

王子峰，張春早，李蘭蘭，熊瑛，王勝杰

（淮南師范學(xué)院物理系，安徽 淮南 232001）

相位是一個(gè)非常重要的概念，在數(shù)學(xué)、物理、通信、航空航天、生物、自動(dòng)化等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。我們對(duì)相位的物理概念較為詳細(xì)的了解應(yīng)該從大學(xué)物理中對(duì)簡諧振動(dòng)的學(xué)習(xí)算起，而熟練掌握相位的概念又是學(xué)習(xí)波的干涉、波的衍射理論的基礎(chǔ)。在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們對(duì)相位這個(gè)概念理解不是很深刻，不能很好地應(yīng)用相位來討論波在相干疊加時(shí)的結(jié)果。因此，怎樣讓學(xué)生對(duì)相位這個(gè)概念有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)顯得尤為重要。課本中的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法是一個(gè)很好的介紹相位概念的方法，但由于只是靜態(tài)的圖文說明，學(xué)生還是不能很好地去理解。據(jù)我們所知，市場(chǎng)上也沒有演示旋轉(zhuǎn)矢量圖示法的一款相關(guān)產(chǎn)品。所以，應(yīng)教學(xué)需要，這里我們?cè)O(shè)計(jì)了一款教具，稱為“簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量演示儀”，旨在將相位這一概念用實(shí)物來展示出來，將其可視化，以大大降低其抽象性，讓學(xué)生對(duì)相位這一概念有一個(gè)清晰又深刻的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，這款教具外觀漂亮、輕巧堅(jiān)固、結(jié)構(gòu)簡單、通過操作展示可以讓課堂教學(xué)變得生動(dòng)有趣，既節(jié)約講課時(shí)間，又具有極佳的教學(xué)效果。

1 簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（波函數(shù)）為，

其中，(ωt+φ0)稱為相位，φ0稱為初相位。相位和振子的狀態(tài)之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矢量來進(jìn)行描述，如圖1所示。大小保持不變的矢量M，長度為A，繞其始端O以角速度ω沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),在t=0時(shí)刻，M與x軸正向的夾角為φ0，在時(shí)刻t，M與x軸正向的夾角為(ωt+φ0)，則在時(shí)刻t旋轉(zhuǎn)矢量的終點(diǎn)M在x軸上的投影將與P重合，即二者的x坐標(biāo)相同。所以，可以用M點(diǎn)在x軸上的投影的運(yùn)動(dòng)來描述諧振子P的運(yùn)動(dòng)。因此，我們可以用它來描述物體的簡諧振動(dòng)，而旋轉(zhuǎn)矢量M在時(shí)刻t與x軸正向之間的夾角(ωt+φ0)就是諧振子此時(shí)的相位。同時(shí),根據(jù)M點(diǎn)所在的位置及旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以確定其投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。因此，旋轉(zhuǎn)矢量在能夠描述物體作簡諧振動(dòng)位移的同時(shí)，又能直觀地描述其相位及運(yùn)動(dòng)方向，這是用旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡諧振動(dòng)的一大優(yōu)點(diǎn)。

圖1 簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量圖示法示意圖

另一方面，我們還可以由旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)來方便地做出物體作簡諧振動(dòng)時(shí)的x-t曲線。并且，根據(jù)x-t曲線與旋轉(zhuǎn)矢量的對(duì)應(yīng)關(guān)系可容易地找出在時(shí)刻t時(shí)的相位。如圖1所示，取一長為A的矢量，在t＝0時(shí)刻，A與x軸的夾角為φ0，使A矢量繞O點(diǎn)以角速度ω沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則在任意時(shí)刻t，矢量A與x軸的夾角為(ωt+φ0)，矢量端點(diǎn)M在x軸上的投影為x=Acos(ωt+φ0)，這正是簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。這種旋轉(zhuǎn)矢量法將簡諧振動(dòng)的三個(gè)特征量——振幅、角頻率和初相與旋轉(zhuǎn)矢量的長度、角速度和初角位置一一對(duì)應(yīng)起來。

在研究簡諧振動(dòng)的問題時(shí)，將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系搞清楚，用該方法確定簡諧振動(dòng)的初相、進(jìn)行相位比較、確定振動(dòng)時(shí)間、研究振動(dòng)的合成以及波的疊加等問題，對(duì)比用分析法可省去煩瑣的計(jì)算，提高解題速度。很明顯，旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)在x軸上的投影，除x=?A和x=A位置外，每個(gè)x值都對(duì)應(yīng)兩個(gè)矢量位置，即有兩個(gè)相位與之對(duì)應(yīng)，最終相位的確定要看題給條件。如果質(zhì)點(diǎn)沿x軸反方向運(yùn)動(dòng)，說明V＜0，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)到一、二象限，對(duì)應(yīng)的相位是一或二象限的角；反之V＞0，對(duì)應(yīng)相位為三或四象限的角。以上就是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量求初相位的簡單快速的方法。

因?yàn)榍蠼膺^程運(yùn)用的知識(shí)過于抽象。并不方便理解，因此，我們需要在旋轉(zhuǎn)矢量運(yùn)用的基礎(chǔ)上制造出旋轉(zhuǎn)矢量的演示儀器來輔助教學(xué)。

2 簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量演示儀設(shè)計(jì)圖

2.1 材料器件

有機(jī)玻璃面板，其余部件均可采用塑料材質(zhì)。

2.2 結(jié)構(gòu)原理圖

圖2 結(jié)構(gòu)原理圖

2.3 原理及操作

手拿把手進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)(圖2（d）)，把手帶動(dòng)桿L和其端點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)矢量M(圖2（a）)作圓周運(yùn)動(dòng)。桿L推動(dòng)滑竿沿滑軌上下平動(dòng)。滑竿中點(diǎn)處固定著圓片P，它代表諧振子的小球，圓片P隨滑竿一起上下移動(dòng)。由于M和P都在滑竿上，所以二者具有相同的x坐標(biāo)值，xP=xM=Acosφ= A cos(ωt+φ0)。

圖3 操作原理圖

如圖3所示，設(shè)初始狀態(tài)為：t=0，旋轉(zhuǎn)矢量M與振子P重合，初相位φ0=0。設(shè)把手轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則M轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也為ω，線速度vM=Aω。P點(diǎn)速度vP=0。桿L的轉(zhuǎn)動(dòng)將對(duì)滑竿施加向下的壓力推動(dòng)滑竿向下運(yùn)動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)振子P向下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)0＜φ＜π，振子P向下運(yùn)動(dòng)（x軸負(fù)向）。當(dāng)π＜φ＜ 2π時(shí)，P向上運(yùn)動(dòng)。φ= 0 ，π時(shí)，M與P重合，M在上，P在下,支撐M的桿L從P的中間穿過（圖2（c））。P以及支撐P的桿中間留有縫隙，以讓桿L從中來回穿過。通過連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng)把手，次裝置將清晰地展示出P的不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的矢量M的位置和相位的大小關(guān)系，使得相位和P的狀態(tài)關(guān)系一目了然，實(shí)現(xiàn)相位的可視化效果。

3 結(jié)果與討論

我們成功地設(shè)計(jì)了一款結(jié)構(gòu)簡潔、操作方便、輕巧堅(jiān)固、攜帶方便、演示效果優(yōu)異的簡諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量演示裝置，填補(bǔ)了旋轉(zhuǎn)矢量圖示法無教具的空白。該教具將大大降低學(xué)生對(duì)相位概念的學(xué)習(xí)難度，有利于對(duì)波動(dòng)學(xué)中的干涉、衍射等相關(guān)概念的理解和掌握。