消費(fèi)者均衡和生產(chǎn)者均衡的“鏡像”分析

崔俊富，苗建軍

（南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016）

消費(fèi)者和生產(chǎn)者是市場的參與者，消費(fèi)者購買商品、服務(wù)，生產(chǎn)者提供商品、服務(wù)。消費(fèi)者要實(shí)現(xiàn)固定預(yù)算的效用最大化或者固定效用的預(yù)算最小化，生產(chǎn)者要實(shí)現(xiàn)固定成本的產(chǎn)量最大化或者固定產(chǎn)量的成本最小化。[1]為了簡化分析，本文僅討論消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)固定預(yù)算的效用最大化和生產(chǎn)者實(shí)現(xiàn)固定成本的產(chǎn)量最大化。作為市場有聯(lián)系的“對立”方或者“對面”方，消費(fèi)者與生產(chǎn)者之間如同某個個體照鏡子一樣，可以與鏡子中自己的“像”做出相同的動作、表情等等，消費(fèi)者是生產(chǎn)者的“鏡像”，生產(chǎn)者是消費(fèi)者的“鏡像”，他們追求利益最大化的行為具有相似性，因而對兩者均衡的分析也具有相似性，某種程度上是“鏡像”分析。[2]

一、消費(fèi)者均衡

消費(fèi)者購買商品是為了獲得效用，不同的商品提供不同的效用，單個消費(fèi)者如何選擇不同商品以實(shí)現(xiàn)固定效用最大化便是消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)問題。消費(fèi)者均衡可以使用三種方法來模擬，分別是邏輯分析法、幾何分析法和數(shù)理分析法。邏輯分析法使用邏輯推理來模擬消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)，幾何分析法使用幾何推導(dǎo)來模擬消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)，數(shù)理分析法使用數(shù)理演算來模擬消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)。[3]

（1） 邏輯分析法

x1,x2,...,xn分別代表種 商品， p1,p2,...,pn分別代表種商品的價格。令分別代表種 商品帶來的邊際效用為貨幣的邊際效用。如果

那么，消費(fèi)者會選擇增加單位價格邊際效用較高的商品，減少單位價格邊際效用較低的商品，最終會實(shí)現(xiàn)

該均衡條件意味著單位價格的不同商品帶給消費(fèi)者的邊際效用應(yīng)相等，等于一元錢的邊際效用。邏輯分析法簡單明了，通過簡單的概念推理即可模擬消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)。[4]

（2） 幾何分析法

幾何圖形是科學(xué)研究的有力工具，消費(fèi)者均衡的模擬也可以借用幾何圖形來實(shí)現(xiàn)。以兩種商品為例， M N 為消費(fèi)者預(yù)算線， U1,U2,U3為無差異曲線。消費(fèi)者不會選擇無差異曲線上的點(diǎn)，因?yàn)闊o差異曲線 U2,U3代表的效用高于。消費(fèi)者也不會選擇無差異曲線上面的點(diǎn)，因?yàn)樵诘念A(yù)算下，無法達(dá)到該效用水平。最終，消費(fèi)者最優(yōu)化的選擇是選擇E點(diǎn)，如圖1所示。該點(diǎn)為消費(fèi)者預(yù)算線與無差異曲線的切點(diǎn)，該點(diǎn)為的預(yù)算下所能達(dá)到的最大效用水平。[5]

圖1 消費(fèi)者均衡

斜率為

無差異曲線 U (x1,x2)符合

可得其斜率為

可得

該式即為式（3）。幾何分析法最大的優(yōu)點(diǎn)是直觀，消費(fèi)者均衡點(diǎn)的選擇一目了然，就是E點(diǎn)，其最優(yōu)值的計(jì)算轉(zhuǎn)換為斜率等式。其缺點(diǎn)是幾何圖形嚴(yán)重受到空間維數(shù)的影響，1維空間、2維空間、3維空間都可以由幾何圖形來表示，但是空間維數(shù)一旦大于3維，就很難由圖形來表示了，其斜率等式將轉(zhuǎn)換為超平面的斜率等式，這與數(shù)理分析法的思想就類似了。

（3） 數(shù)理分析法

在數(shù)理上消費(fèi)者均衡可以轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問題，也就是在固定約束下的效用最優(yōu)化問題，約束最優(yōu)化比較常見的方法是拉格朗日乘數(shù)法。約束方程是式（1），構(gòu)建拉格朗日函數(shù)[6]

最優(yōu)化的條件為

經(jīng)過變換可得

該式即為式（3）。與邏輯分析法和幾何分析法相比，拉格朗日乘數(shù)法具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。一是通過最優(yōu)解的求解，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)啬M了最優(yōu)化的形成過程，導(dǎo)出式（11）。二是不再受到空間維數(shù)的限制，可以推廣到多維空間的最優(yōu)化模擬。[7]

二、生產(chǎn)者均衡

生產(chǎn)者是消費(fèi)者的“鏡像”，其行為與消費(fèi)者是相似的，生產(chǎn)者如何選擇不同的生產(chǎn)要素以實(shí)現(xiàn)固定成本的產(chǎn)量最大化便是生產(chǎn)者均衡的實(shí)現(xiàn)問題。生產(chǎn)者均衡同樣可以使用邏輯分析法、幾何分析法和數(shù)理分析法三種方法來模擬。

（1） 邏輯分析法

令mp1,mp2,...,mpn分別代表種 生產(chǎn)要素帶來的邊際產(chǎn)量，為貨幣的邊際產(chǎn)量。如果

那么，生產(chǎn)者會選擇增加單位價格邊際產(chǎn)量較高的生產(chǎn)要素，減少單位價格邊際產(chǎn)量較低的生產(chǎn)要素，最終會達(dá)到均衡條件

該均衡條件意味著單位價格的不同生產(chǎn)要素帶給生產(chǎn)者的邊際產(chǎn)量應(yīng)相等，等于一元錢的邊際產(chǎn)量。[8]

（2） 幾何分析法

生產(chǎn)者均衡的模擬也使用幾何分析法來實(shí)現(xiàn)。以兩種生產(chǎn)要素為例。為生產(chǎn)者成本線，Q1,Q2,Q3為等產(chǎn)量曲線。消費(fèi)者不會選擇等產(chǎn)量曲線上的點(diǎn)，因?yàn)榈犬a(chǎn)量曲線代表的產(chǎn)量高于。消費(fèi)者也不會選擇等產(chǎn)量曲線上面的點(diǎn)，因?yàn)樵诘某杀鞠?，無法達(dá)到該產(chǎn)量水平。最終，生產(chǎn)者最優(yōu)化的選擇是選擇點(diǎn)，（見圖2）該點(diǎn)為生產(chǎn)者成本預(yù)算線與等產(chǎn)量曲線的切點(diǎn)，該點(diǎn)為的預(yù)算下所能達(dá)到的最大產(chǎn)量水平。[9]

圖2 生產(chǎn)者均衡

斜率為

可得其斜率為

可得

該式即為式（14）。與消費(fèi)者均衡的分析類似，幾何分析法最大的優(yōu)點(diǎn)是直觀，生產(chǎn)者均衡點(diǎn)的選擇一目了然，就是E點(diǎn)，其最優(yōu)值的計(jì)算轉(zhuǎn)換為斜率等式。其缺點(diǎn)也是嚴(yán)重受到空間維數(shù)的影響，空間維數(shù)一旦大于3維，就很難由圖形來表示了。[10]

（3） 數(shù)理分析法

在數(shù)理上生產(chǎn)者均衡可以轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問題，也就是在固定成本約束下的產(chǎn)量最優(yōu)化問題。構(gòu)建拉格朗日函數(shù)[11]

最優(yōu)化的條件為

經(jīng)過變換可得

該式即為式（14）。與消費(fèi)者均衡的分析類似，數(shù)理分析法的優(yōu)勢可以非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)啬M最優(yōu)化的形成過程，導(dǎo)出式（22）。另外，不再受到空間維數(shù)的限制，可以推廣到多維空間的最優(yōu)化模擬。

三、生產(chǎn)者的自身“鏡像”—生產(chǎn)與成本分析

上面分析了消費(fèi)者均衡和生產(chǎn)者均衡存在“鏡像”關(guān)系，其分析思路和分析方法是一致的。對于生產(chǎn)者自身，生產(chǎn)者的生產(chǎn)選擇活動就是成本選擇活動。因此，生產(chǎn)選擇與成本選擇也互為“鏡像”，只是與消費(fèi)者和生產(chǎn)者的“對立面鏡像”不同，這種“鏡像”關(guān)系更像是一面鏡子的正面與背面。

（1） 生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的“鏡像”關(guān)系

生產(chǎn)函數(shù)改寫為

成本函數(shù)改寫為

這里存在一個不確定性，同一成本對應(yīng)的生產(chǎn)要素組合 y1,y2,...,yn不一定是唯一的，因而同一成本值有可能對應(yīng)了多個產(chǎn)量值。[12]如果施加非常嚴(yán)苛的條件，假定生產(chǎn)要素 y1,y2,...,yn為等比例的；或者多生產(chǎn)要素中僅有一種生產(chǎn)要素改變，而其他生產(chǎn)要素不變；或者是單生產(chǎn)要素函數(shù)，那么產(chǎn)量值和成本值就存在一一對應(yīng)的關(guān)系，生產(chǎn)函數(shù)可轉(zhuǎn)換為

（2） 短期對于勞動要素的討論

經(jīng)濟(jì)學(xué)微觀領(lǐng)域比較接近的情況是短期對于勞動要素投入的討論，可以假定其他要素（土地、廠房、機(jī)器）是不變的。生產(chǎn)函數(shù)為

成本函數(shù)為

假定價格不變，因?yàn)槠渌a(chǎn)要素都是常數(shù)，因而可以進(jìn)行合并

其中， W =p1yˉ1+p2yˉ2...+pnyˉn。

此時生產(chǎn)函數(shù)和消費(fèi)函數(shù)將具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)。邊際成本函數(shù)

根據(jù)邊際成本函數(shù)和邊際產(chǎn)量函數(shù)的關(guān)系以及平均成本函數(shù)和平均產(chǎn)量函數(shù)的關(guān)系，總產(chǎn)量函數(shù)為“S”型曲線，而總成本曲線為反“S”型曲線，如圖3中和所示。在特別嚴(yán)苛的條件下，例如 yi=0,i≠L 且，總產(chǎn)量函數(shù)曲線和總成本函數(shù)曲線關(guān)于45°線對稱，如圖3中和所示。[13]

圖3 生產(chǎn)曲線與成本曲線

四、結(jié)語

通過上面的分析可知，消費(fèi)者和生產(chǎn)者作為市場的參與者，其行為具有相似性，消費(fèi)者是生產(chǎn)者的“鏡像”，生產(chǎn)者是消費(fèi)者的“鏡像”，都可以使用邏輯分析法、幾何分析法、數(shù)理分析法對最優(yōu)化進(jìn)行模擬。生產(chǎn)者自身的生產(chǎn)分析和成本分析也是“鏡像”分析，在特定的條件下，生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)與反函數(shù)關(guān)系，例如短期對于勞動要素投入的討論具有許多非常優(yōu)良的性質(zhì)。這種消費(fèi)者和生產(chǎn)者“鏡像”分析討論也可以推廣到經(jīng)濟(jì)學(xué)的其他領(lǐng)域。[14]