數(shù)學模型設(shè)計在三維振鏡激光掃描儀中的應用

翟麗娜

摘? 要： 針對原有三維振鏡激光掃描儀數(shù)學模型動態(tài)模擬結(jié)果不精準的問題，設(shè)計新型三維振鏡激光掃描儀數(shù)學模型。根據(jù)掃描儀結(jié)構(gòu)特點設(shè)定數(shù)學模型設(shè)計原則并簡化原始模型，將設(shè)計原則與簡化后模型結(jié)合能量守恒定律，設(shè)定硬性約束條件并模擬掃描儀內(nèi)部動態(tài)過程，以動態(tài)過程模擬結(jié)果為依據(jù)，將掃描儀內(nèi)部分割為若干單元塊，通過單元塊動態(tài)過程計算結(jié)果與對應關(guān)系完成數(shù)學模型計算，至完成此三維振鏡激光掃描儀數(shù)學模型設(shè)計。構(gòu)建對比實驗，將原有模型與此模型模擬結(jié)果同測量結(jié)果相比較，此模型結(jié)果為數(shù)值區(qū)間且包含測量結(jié)果，原有模型結(jié)果為固定數(shù)值，與測試結(jié)果誤差較大，證明所提模型動態(tài)模擬結(jié)果更為精確。

關(guān)鍵詞： 三維振鏡激光掃描儀; 動態(tài)模擬; 數(shù)學模型; 圖像處理; 動態(tài)運動; 三維成像

中圖分類號： TN2?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2020）05?0175?04

Application of mathematical model design in 3D galvanometer laser scanner

ZHAI Lina

（Department of Mathematics and Computer Science， Hengshui University， Hengshui 053000， China）

Abstract： As the dynamic simulation results of the original mathematical model of 3D galvanometer laser scanner is inaccuracy， a new mathematical model of 3D galvanometer laser scanner is designed. According to the structural characteristics of the scanner， the design principles of the mathematical model are set and the original model is simplified. The essential constraints are set and the internal dynamic process of the scanner is simulated according to the design principles， the simplified models and the law of energy conservation. The simulation result of dynamic process is taken as the basis to divide interior of the scanner into several unit blocks， and the mathematical model calculation is fulfilled by the dynamic process calculation result and the corresponding relation of the unit blocks. So far， the mathematical model design of the 3D galvanometer laser scanner is fulfilled. In comparison experiment， the simulation results of the original model and the newly?designed model are compared with the measured results. The latter covers a numerical interval， which contains the measuring results， but the former only has a fixed value， which has a great error in comparison with the measured results. Therefore， the dynamic simulation results of the newly?designed model are more accurate.

Keywords： 3D galvanometer laser scanner; dynamic simulation; mathematical model; image processing; dynamic motion; 3D imaging

0? 引? 言

激光技術(shù)的產(chǎn)生使人們對周圍環(huán)境認知進入了新時代。采用激光測距與探測的行業(yè)層出不窮。激光設(shè)備因其體積小、精度高、速度快的優(yōu)點正逐步取代原有的光學儀器[1?2]。

在多數(shù)建筑企業(yè)中，對激光儀器的使用也逐步升級轉(zhuǎn)型。激光掃描是近年來應用最多的技術(shù)之一，在激光掃描技術(shù)的應用中，使用最多的就是三維振鏡激光掃描儀。所謂的激光振鏡指的是利用反射光束偏轉(zhuǎn)對物體進行成像掃描的激光掃描儀器[3]。在激光振鏡中增加三維激光掃描技術(shù)可以提高掃描儀的測量精度，提升儀器三維重建的性能。采用三維振鏡激光掃描儀可以快速獲取空間數(shù)據(jù)，并迅速完成空間重建。采用激光掃描儀器的產(chǎn)業(yè)與日俱增，其設(shè)計制作的過程也更加精細。目前，大都采用數(shù)學模型完成其內(nèi)部結(jié)構(gòu)設(shè)計。運用數(shù)學模型中的數(shù)理邏輯方法與數(shù)學語言構(gòu)建掃描儀的設(shè)計模型與運動模型[4]。

針對使用傳統(tǒng)數(shù)學模型對三維振鏡掃描儀數(shù)值模擬動態(tài)數(shù)值精度較差的問題，設(shè)計新型三維振鏡激光掃描數(shù)學模型。采用此模型可以有效解決原有模型造成的問題，為日后掃描儀的設(shè)計提供便利。

1? 三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學模型設(shè)計

三維振鏡激光掃描儀常用作測距成像，可以將掃描目標清晰的呈現(xiàn)。隨著三維振鏡激光掃描儀使用次數(shù)的增加，研究其特性的要求也隨之增加。因而，設(shè)計三維振鏡激光掃描儀數(shù)學模型來提升研究效果。在此次數(shù)學模型的設(shè)計中，依據(jù)三維振鏡激光掃描儀的工作特征構(gòu)建數(shù)學模型，三維振鏡激光掃描儀設(shè)備參數(shù)如表1所示。

根據(jù)上述三維振鏡激光掃描儀的設(shè)備參數(shù)完成掃描儀的結(jié)構(gòu)模型設(shè)計。在數(shù)學模型設(shè)計的過程中，通過設(shè)備參數(shù)控制建模過程，保證數(shù)學模型的真實性與有效性。

1.1? 數(shù)學模型設(shè)計原則

基于三維振鏡激光掃描儀的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果，得到相應的性能特征。在此基礎(chǔ)上，按照三維振鏡激光掃描儀的性能要求，建立能夠滿足三維激光掃描技術(shù)的掃描儀動態(tài)數(shù)學模型。

由于掃描儀的動態(tài)過程較為復雜，在數(shù)學模型中的參數(shù)不僅僅是時間函數(shù)，其中還包括掃描儀所處環(huán)境的空間函數(shù)，也就是該設(shè)備在固定空間內(nèi)的分布特性[7?9]。在動態(tài)的過程中，掃描儀內(nèi)部的狀態(tài)參數(shù)呈非線性關(guān)系;儀器內(nèi)部的微小組成設(shè)備性能與其自身的運動函數(shù)都在發(fā)生變化。使得反映掃描儀特性的動態(tài)方程較為復雜。因而，對掃描儀的動態(tài)模型實施簡化。

在模型簡化的過程中，保留儀器內(nèi)部的主要作用因素，忽略與模型無關(guān)的因素，使得模型可以采用最少的變量完成對掃描儀特點的描述。采用簡化手段可以使數(shù)學模型在不失去掃描儀特性的情況下，保證模型的穩(wěn)定性，降低模型的階數(shù)。以上述簡化原則為依據(jù)，建立掃描儀模型，設(shè)定下述原則：

1） 將掃描儀數(shù)學模型按照三維激光掃描技術(shù)與振鏡掃描儀的特性考慮，將掃描儀的動態(tài)過程按照光束發(fā)射、圖像采集以及圖像重建三部分中的參數(shù)計算。

2） 模型中不考慮外界因素以及掃描儀的能量損耗。

3） 模型中所考慮的掃描儀外界為固定模式，降低對模型的影響。

為準確而全面地模擬掃描儀的運動過程，依照上述原則設(shè)定，在模擬動態(tài)過程與模型構(gòu)建中，充分考慮到掃描儀的結(jié)構(gòu)、內(nèi)部金屬材料的熱容、振鏡的性能以及掃描儀的成像因素對運動模型的影響[10]。

1.2? 模擬掃描儀內(nèi)部動態(tài)過程

根據(jù)上述原則設(shè)定，完成對掃描儀內(nèi)部動態(tài)過程的模擬。根據(jù)激光掃描儀的特點，將掃描儀的運動過程重點設(shè)定為激光光束的發(fā)射以及三維成像重建。將上述設(shè)備參數(shù)設(shè)定為模擬過程的硬性約束條件。以激光掃描原理為依據(jù)控制其運動過程中的內(nèi)部平衡狀態(tài)，完成對掃描儀運動狀態(tài)的模擬[11]。在掃描儀工作狀態(tài)下，波長、功率、激光響應時間等因素數(shù)據(jù)都會對其內(nèi)部動態(tài)造成影響。因而，采用序貫模塊法結(jié)合聯(lián)立方程法模擬掃描儀的動態(tài)過程并通過DCS界面實現(xiàn)掃描儀模擬仿真過程。

模擬掃描儀內(nèi)部動態(tài)過程將掃描儀內(nèi)部的流通通道分割成多個單元模塊，基于分塊完成掃描儀內(nèi)部動態(tài)模擬，并研究模塊之間的動態(tài)過程。在動態(tài)模擬的過程中，按照能量守恒定律保證輸入量-輸出量+生成量-消耗量=積累量[12]，將其應用于動態(tài)模擬之中。假設(shè)掃描儀中的原始激光光束設(shè)定為[M1]，發(fā)射后放射回掃描儀的激光光束設(shè)定為[M0]，若掃描儀中輸出的激光總量為[F1]，各過程中輸出的能量為[F2]。掃描儀內(nèi)的能量積累量為[A]，掃描儀內(nèi)部的運動反應容積為[P]，運動反應速度為[v]，則依據(jù)能量守恒定律，掃描儀的動態(tài)能量守恒為：

[dMdt=n=1M1F1-n=1M0F2-vP] （1）

通過式（1）控制動態(tài)模擬過程，依據(jù)式（1）內(nèi)容，掃描儀動態(tài)過程如圖1所示。

根據(jù)圖1完成掃描儀內(nèi)部動態(tài)模擬過程，并保證其內(nèi)部總質(zhì)量恒定，也可以將其用于掃描儀內(nèi)部任意零部件上[13]。在模擬過程中，某些變量值或許會為零，以保證模擬過程的穩(wěn)態(tài)進行。

1.3? 完成數(shù)學模型設(shè)計

根據(jù)掃描儀動態(tài)模擬結(jié)果結(jié)合能量守恒定律完成對三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學模型構(gòu)建。在動態(tài)模擬過程中，將掃描儀數(shù)學模型分為激光發(fā)射與激光反射兩個環(huán)節(jié)：激光發(fā)射環(huán)節(jié)中包括光束形成以及光束發(fā)出兩部分;激光反射環(huán)節(jié)包括反射光束以及成像重建兩部分[14]。依據(jù)上述的分割單元完成模型構(gòu)建。為保證模型構(gòu)建的科學性，設(shè)定模型構(gòu)建流程如圖2所示。

在掃描儀中，激光通過掃描儀內(nèi)部設(shè)備完成交互過程。將掃描儀內(nèi)部分割成[N]個單元，根據(jù)構(gòu)建流程設(shè)定掃描儀內(nèi)部單元塊之間的對應關(guān)系，對單元塊與單元塊之間建立激光傳導動態(tài)數(shù)學模型[15]。設(shè)定相鄰兩單元塊之間的光線質(zhì)量分別為[A1]，[A2]，傳播速度為[Qm]，[Qn]，初始光束半徑為[I1]，[i1]，且[I1>i1]，激光傳播系數(shù)為[K]，接觸面積為[E]，在傳播時間[T]后，兩單元塊接收到的激光分別為[I]，[i]。根據(jù)動態(tài)過程模擬中的守恒定律得出兩單元塊之間的激光關(guān)系：

[i=A1QmA2Qn（I1-I）+i1=K（I1-I）+i1] （2）

設(shè)定[K=A1QmA2Qn]，則有[I1IA1QmI=i1iK（I-i）A2Qn]，通過積分可得：

[I=exp（ln（（1+K）I1）-（i1+KI1））-1+KA1Qm+（i1+KI1）1+K]

（3）

從式（3）可以看出，隨著時間的增加，兩單元塊之間的激光越來越接近，傳導速度越來越慢。通過模擬掃描儀內(nèi)部的[N]個單元塊動態(tài)過程，在每一個時間點都可以通過計算得出對應兩單元之間的激光能量變化。這樣就可以得到掃描儀內(nèi)部的動態(tài)變化值，組合其數(shù)值計算過程及結(jié)果，至此，三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學模型設(shè)計完成。

2? 模擬結(jié)果及分析

為驗證本文設(shè)計的三維振鏡激光掃描儀數(shù)學模型的有效性，本文設(shè)計模擬實驗研究其性能。在實驗的過程中，采用與原有方法對比的形式完成數(shù)學模型性能研究。

2.1? 模擬實驗準備過程

為保證實驗過程的有效性，采用對比實驗的形式分析原有模型與本文設(shè)計模型的優(yōu)劣性。已知掃描儀在工作中呈動態(tài)模式。針對這一特性，采用模型動態(tài)數(shù)值精準度完成實驗對照。為保證在數(shù)學模型模擬實驗過程的一致性，設(shè)計實驗環(huán)境。

根據(jù)掃描儀數(shù)學模型的計算特點，將三維振鏡激光掃描儀模型結(jié)構(gòu)簡化，并將其在Simulink上完成搭建。通過使用本文設(shè)計模型與原有模型完成對其內(nèi)部動態(tài)數(shù)據(jù)的求值。在求值過程中對實驗設(shè)備的計算精準度要求較高，所采用的實驗設(shè)備具有較高的計算精密度，具體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

使用上述實驗設(shè)備完成數(shù)學模型模擬過程。在模擬過程中設(shè)定4組輸入值，分別為10，50，100，200，將其作為模型原始值錄入數(shù)學模型中，計算并對比兩種模型的計算結(jié)果。設(shè)定初始條件為：掃描儀全長為30 cm，掃描儀內(nèi)部激光傳播速度為0.1 m/s。將掃描儀內(nèi)部分割為10個小單元塊，模擬其內(nèi)部動態(tài)過程。同時，采用儀器對掃描儀內(nèi)部激光實現(xiàn)機密測量，對比實驗結(jié)果。

2.2? 模擬結(jié)果分析

根據(jù)上述模擬過程的設(shè)計以及實驗設(shè)備設(shè)定，完成掃描儀數(shù)學模型模擬分析。具體模擬結(jié)果如圖4所示。

通過圖4模擬結(jié)果可知，使用本文模型所得結(jié)果為動態(tài)區(qū)間，而實際測量結(jié)果包含在內(nèi)，且誤差較小。原有數(shù)學模型模擬結(jié)果為一確定值，模擬期間沒有模擬掃描儀動態(tài)過程，導致模擬結(jié)果誤差較大，僅有一次實驗結(jié)果與測量結(jié)果一致。原有數(shù)學模型所得模擬動態(tài)值精度較差，而本文設(shè)計模型對于三維振鏡激光掃描儀的研究更為精準，使用效果更加優(yōu)越。

3? 結(jié)? 語

三維振鏡激光掃描儀是激光測距成像的重要設(shè)備，在設(shè)計與使用上都易于實現(xiàn)掃描級精度，也滿足要求，在各行各業(yè)的使用案例都非常多。在對激光掃描儀的研究中，采用數(shù)學模型是最簡易的研究方法之一，可以有效地將掃描儀中的虛擬數(shù)值具象化。模擬掃描儀動態(tài)過程，驗證了數(shù)學模型的穩(wěn)定性，根據(jù)模型的模擬結(jié)果可知，使用本文設(shè)計的模型可以對掃描儀內(nèi)部完成詳細的計算，為日后對三維振鏡激光掃描儀的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供相應的計算依據(jù)。

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