折紙？這是個數(shù)學問題

沒有3D打印機怎么辦？其實只用一張紙，也能創(chuàng)造大千世界——

大家還記得以前大臉兔介紹過的折紙達人劉通嗎？區(qū)區(qū)一張方形紙，不剪不裁不拼貼，卻能被他折出萬千造型。他是怎么做到的？如果栗子君說是“算”出來的，你信嗎？

強大的折紙幾何學

拆開一件折紙作品，將其還原為一張紙，可以看到紙上布滿一條條折痕，構(gòu)成許多幾何圖形。這其中蘊含著大量數(shù)學概念和原理，例如你學過的相似、軸對稱、點對稱、全等、比例，以及將來可能要學的迭代、遞歸等等。

據(jù)說在8世紀中期，阿拉伯人就懂得運用幾何知識來折紙，同時他們也用折紙來研究幾何問題。到19世紀，歐洲人也開始將折紙用于數(shù)學和科學研究。

折著折著，人們發(fā)現(xiàn)，折紙能解決的數(shù)學問題比想象的多得多。在幾何作圖方面，折紙甚至能甩尺規(guī)作圖幾條街，許多任務，比如作正七邊形、三等分任意角、求2的立方根等，尺規(guī)作圖沒法完成的，折紙都能搞定。至于將一張紙等分成13、15、17……份，對劉通這樣的折紙玩家來說，不過是基礎的入門技能。

這還不算，還有更猛的——跟劉通同為世界頂級折紙大師的美國大叔羅伯特·朗，竟然開發(fā)出兩個折紙軟件Tree Make和Reference Finder。依靠7條折紙公理，這兩個軟件可以計算出用戶想要的任何造型的折痕展開圖，以及正確的折疊順序！

什么公理這么逆天？不用說，它就是咱們今天的教學重點——

藤田—羽鳥公理

中國人發(fā)明的折紙，自隋朝傳入日本后就立刻受到熱烈追捧，最后還成了日本的國粹。上世紀70年代，日本人又把眼光投向了折紙中的數(shù)理問題，掀起一股經(jīng)久不衰的研究熱潮。其中影響最深遠的成果，大概就是“藤田—羽鳥公理”。

這一組公理共7條，其中6條由日裔意大利數(shù)學家藤田文章于1991年提出。藤田指出了折紙過程中的6種基本操作，用來定義紙張如何折疊。10年后，另一位數(shù)學家羽鳥公士郎又補充了一種操作。于是這7種操作被合稱為“藤田—羽鳥公理”。經(jīng)羅伯特·朗證明，它們涵蓋了折紙過程中的全部折法。下面我們來看看7條公理的具體內(nèi)容。

公理1：已知A、B兩點，可以折出一條經(jīng)過A、B的折痕。

本操作非常好理解，即相當于過任意兩點作一條直線。

公理2：已知A、B兩點，可以將點A折疊到點B上去。

這一操作也很簡單，即相當于作出已知兩點的連線的垂直平分線。

公理3：已知a、b兩條直線，可以把直線a折到直線b上去。

在本操作中，只要直線a、b不平行，那么折痕就相當于是它們所形成的夾角的角平分線。

公理4：已知點A和直線a，可以沿著一條過點A的折痕，把直線a折到自身上。

不難看出，這一操作相當于過點A作直線a的垂線。

以上4個操作非常簡單，但你可別小看它們，會用的話已足以解決一些難題了，比如——n等分任意線段！先以三等分線段為例，步驟如下。

①取一張長方形紙（比例隨意），記為矩形ABCD，將點A折到點C上，點B折到點D上，折痕交于點E。

②過點E將邊AB折到自身上，折痕與邊AB、CD分別交于點F、G。

③過C、F兩點進行折疊，折痕CF交BD于點H。

④過點H將邊AB折到自身上，折痕JI交邊AB于點I。點I即邊AB的三等分點。

證明也不難，都是學過的知識，大概思路如下。（溫馨提示：幾何頭大的同學可以跳過，不過栗子君建議還是看看，因為真的很有趣）

更厲害的是，若重復步驟③和④，經(jīng)C、I兩點折疊，折痕交BD于點K，再過點K將邊AB折到自身上，得到的點即邊AB的四等分點;繼續(xù)以上過程，可將AB五等分、六等分……

怎么樣？見識到公理的威力了吧？然而有趣的還在后面。

公理5：已知A、B兩點和直線a，可以沿著一條過點B的折痕，把點A折到直線a上。

在大多數(shù)情況下，過一個點有兩條能把點A折到直線a上的折痕，即這一操作可以有兩個解。

公理6：已知A、B兩點和a、b兩條直線，可以把點A、B分別折到直線a、b上。

這個操作更猛，最多可以有3個解。等上高中學了解析幾何，你會知道其意義有多重大——這就相當于解一個三次方程！

也正因為如此，折紙操作才變得靈活無比，功能無比強大。相比之下，尺規(guī)作圖最多只能有兩個解，自然難望其項背了。

公理7：已知點A和a、b兩條直線，可以沿著一條垂直于直線b的折痕，把點A折到直線a上。

這一操作，相當于過點A作直線b的平行線，交直線a于點A'，折痕垂直平分線段AA'。

折紙，用劉通的話來形容，是一種“分配的藝術(shù)”——它不像繪畫、雕塑等是通過加減法來造型，而永遠必須在“1”張紙上進行構(gòu)想和創(chuàng)作，“一次成型”。所以折紙必須進行科學的計算和分配。以上7條公理，為精密計算折紙操作提供了可能，在其基礎上，全世界的折紙極客們各顯神通，開發(fā)出千千萬萬種玩法。

下面咱們一起來體驗幾種炫酷的玩法?？欤瑴蕚浜?，讓栗子君看見你的雙手——

更多操作猛如虎

玩法一：n等分任意線段。

這是一種比前面介紹的更簡單的折法。先以七等分為例。

①取任意一張紙，對折、再對折、再對折，得到將紙八等分的折痕。

②過右下角的頂點將底邊往上折，使得左下角的頂點落在左起第1條折痕上。

③將折起的底邊對準其他折痕一一折疊。

④打開，得到的折痕將底邊等分成了7份。

簡單不？自己試試將紙五、十一、十三、十七等分吧。

玩法二：三等分任意銳角。

①取一張長方形紙，記為矩形ABCD。在邊CD上任取一點E，∠EAB即為要三等分的角。

②在邊AD上任取一點F，過該點將邊AD折到自身上，折痕為FG。

③將邊AB折到線段FG上，折痕為HI。

④將點A折到線段HI上，同時點F折到線段AE上，此時點H的對應點為H'。將紙打開后再經(jīng)點A和點H'進行折疊，折痕AH'即為∠EAB的三等分線。

會分了沒？如果要三等分的是鈍角，又該如何分呢？

玩法三：三浦折疊。

該折法由日本人三浦公亮發(fā)明，它之所以大大的有名，是由于解決了困擾工程師們許久的衛(wèi)星太陽能電池板的收納問題，堪稱折紙助力科研的典范。其強悍之處在于可將物體折成原大的幾十分之一，然后實現(xiàn)秒開秒合。折疊方法非常有趣，咱們看圖說明。

好玩嗎？哼哼，以上不過是折紙學問中的滄海一粟。你能玩出什么新創(chuàng)意呢？要不然先從看折痕圖復原大師作品做起好了。

最后送上劉通最著名兩個作品的折痕圖，就算懶得動手折，涂上色掛到墻上欣賞也美美的啦。