適用于機(jī)床柔性進(jìn)給驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)反饋控制技術(shù)研究*

黃忠仕，余光懷，張為民

(1.百色職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，廣西 百色 533000;2.沈機(jī)集團(tuán) 昆明機(jī)床股份有限公司,云南 昆明 650203;3.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

0 引 言

進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)是機(jī)床設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵部件，用來實(shí)現(xiàn)刀具與工件之間所需的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，因此它們的定位精度和速度決定了機(jī)床的質(zhì)量和生產(chǎn)率[1-2]。

進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)精度受到系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)諧振的限制，在過程力或參考軌跡等因素的干擾下會(huì)引起諧振。平滑的軌跡生成和濾波技術(shù)有助于避免引起傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的輕微阻尼。然而，因外部干擾而產(chǎn)生的激發(fā)只能通過反饋控制進(jìn)行主動(dòng)抑制。因此，現(xiàn)代伺服控制系統(tǒng)需要實(shí)現(xiàn)的是機(jī)械諧振下的控制帶寬擴(kuò)展和提高進(jìn)給驅(qū)動(dòng)的抗干擾能力。

研究人員可以通過使用加速度反饋、輔助設(shè)備，或采用魯棒滑動(dòng)模式、廣義預(yù)測(cè)控制器等復(fù)雜的控制方案，來實(shí)現(xiàn)具有主動(dòng)減振特點(diǎn)的高帶寬反饋控制[3]。復(fù)雜的控制系統(tǒng)通常是難以實(shí)現(xiàn)的，并且可能需要提供輔助傳感器，這給機(jī)器設(shè)計(jì)帶來了更高的成本并且產(chǎn)生了更多的限制[4-5]。主動(dòng)振動(dòng)控制最成功的實(shí)現(xiàn)是在滾珠絲桿傳動(dòng)系統(tǒng)上，并且使用雙面(電機(jī)和工作臺(tái))位置和速度信號(hào)來引入“速度阻尼”。極點(diǎn)配置控制技術(shù)可用于調(diào)整帶寬和模態(tài)阻尼。然而，在電機(jī)和工作臺(tái)上使用兩個(gè)反饋回路，會(huì)導(dǎo)致前饋補(bǔ)償設(shè)計(jì)效率低下。其他解決方案旨在通過使用觀察器或直接測(cè)量負(fù)載側(cè)動(dòng)力，來減少傳感器數(shù)量[6-8]。

本文為柔性機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)提出一種新型最優(yōu)控制方法。

1 進(jìn)給傳動(dòng)控制建模

柔性滾珠絲桿進(jìn)給傳動(dòng)器系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 柔性滾珠絲桿進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)

由圖1可知，進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能極大地受到因結(jié)構(gòu)部件和接頭的柔性而產(chǎn)生的機(jī)械諧振的影響。

通常，簡(jiǎn)單的2自由度(2-degree of freedom，2-DOF)模型充分捕獲了柔性進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的剛體和主要振動(dòng)模式[9]，并且它可以有效地用于高帶寬控制設(shè)計(jì)，2DOF模型如圖2所示。

圖2 2DOF模型

可以從圖2模型中導(dǎo)出控制輸入u與電機(jī)GM(s)和工作臺(tái)GT(s)位置之間的開環(huán)傳遞函數(shù)(TFS)，如下所示：

(1)

(2)

式中：x1—電動(dòng)機(jī)m1；x2—負(fù)載(例如工作臺(tái)m2)；k—傳動(dòng)剛度；b1,2—作用在移動(dòng)元件上的粘性摩擦；u—控制輸入；c—阻尼。

其中：a0=0；a1=(b1+b2)k；a2=(b1b2+c(b1+b2)+k(m1m2))且a3=m1b2+m2b1+c(m1+m2)。

從式(1，2)的分母可以看出，兩個(gè)TFS都具有四階動(dòng)力學(xué)，并忽略了阻尼c。

2 最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)

最優(yōu)控制方法主要思路是設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置控制，分別分配剛體和結(jié)構(gòu)動(dòng)力。然而，這使得閉環(huán)系統(tǒng)失去了抵御干擾、參數(shù)不確定性和非建模動(dòng)態(tài)的魯棒性。

為了解決這一局限性，對(duì)SS表示增加了一個(gè)“積分狀態(tài)”，如下所示：

(3)

并給出了極點(diǎn)配置跟蹤控制規(guī)則，如下所示：

(4)

式中：Kp，KV，KA，KJ，KI—需要基于期望極點(diǎn)位置確定的控制器增益；x2r—工作臺(tái)參考軌跡。

通過上式可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的5極進(jìn)行分配。請(qǐng)注意，現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)產(chǎn)生的加加速度有限參考軌跡能夠?qū)崿F(xiàn)上述控制規(guī)則。

因此，上述控制規(guī)則可以用來實(shí)現(xiàn)位置信號(hào)PID控制：

(5)

其中，工作臺(tái)加速度和加加速度可以通過數(shù)字編碼器獲得。通常，進(jìn)給傳動(dòng)器系統(tǒng)的剛性體和的結(jié)構(gòu)動(dòng)力是分開分配的，而不考慮它們的相互作用。較為普遍的啟發(fā)式方法是簡(jiǎn)單地將模態(tài)阻尼添加到結(jié)構(gòu)模式。

這種方法改善了進(jìn)給傳動(dòng)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度，但它并沒有大大提高抗擾的性能。為此，結(jié)構(gòu)模式的固有頻率需要通過控制器來改變。這需要電動(dòng)機(jī)發(fā)出更大的力，以滿足要求并且在高加速度和負(fù)載下限制實(shí)際的跟蹤帶寬。此外，由于與工業(yè)串聯(lián)P-PI控制器[11-12]相比，PPC無法通過一組增益輕松調(diào)整，其實(shí)現(xiàn)需要經(jīng)過培訓(xùn)的控制工程師進(jìn)行。

因此，筆者將對(duì)用于平衡進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)性能的最優(yōu)控制設(shè)計(jì)框架進(jìn)行分析，以實(shí)現(xiàn)跟蹤、振動(dòng)和控制，同時(shí)允許設(shè)計(jì)人員使用一組增益或直接針對(duì)頻域要求進(jìn)行調(diào)整。

2.1 柔性進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)

尋求跟蹤、振動(dòng)抑制和控制力之間平衡的最優(yōu)控制問題可以被視為LQR問題，以找到最小化成本函數(shù)J的最優(yōu)極點(diǎn)位置，如下所示：

(6)

式中：x—狀態(tài)矩陣；u—控制力矩陣；Q—狀態(tài)x的權(quán)重矩陣；R—控制力u的權(quán)重大小。

需要對(duì)控制器進(jìn)行主動(dòng)減振。許多機(jī)床研究文獻(xiàn)將參考軌跡的加加速度內(nèi)容與剩余振動(dòng)連接起來，這使得加速度成為目標(biāo)函數(shù)的潛在候選項(xiàng)。

為了克服這個(gè)問題，負(fù)載側(cè)誤差的積分，即其積分狀態(tài)，需要與式(6)中的加加速度一起進(jìn)行處理。因此，最終的成本函數(shù)為：

(7)

式中：w—調(diào)節(jié)矩陣,w=[0,0,0,α,1]；α—與加速度相關(guān)的權(quán)重；ρ—與控制力相關(guān)的權(quán)重。

α和ρ是使成本函數(shù)J最小化的客觀權(quán)重。積分狀態(tài)的權(quán)重是“1”，因此，可以通過調(diào)整2個(gè)目標(biāo)權(quán)重來實(shí)現(xiàn)預(yù)期控制。如果結(jié)構(gòu)存在輕微阻尼，設(shè)計(jì)人員可以增加α來加大模態(tài)阻尼?；蛘邔⑵湓O(shè)置為較低值，以強(qiáng)調(diào)干擾性能。最后，通過調(diào)整控制力權(quán)重ρ來調(diào)整帶寬。該框架簡(jiǎn)單易行，能夠以真正優(yōu)化的方案滿足進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)控制的關(guān)鍵要求。

最后，通過求解LQR的式(7)并利用代數(shù)Riccati方程(ARE)[13]，可以獲得極點(diǎn)位置和控制增益Kp，KV，KA，KJ和KI。雖然這種方法在計(jì)算上是有效的，但它不是封閉形式的解決方案，因此不能直接分析客觀增益(α和ρ)的影響。以下部分為“最優(yōu)”閉環(huán)極點(diǎn)推導(dǎo)出的直接閉合形式解決方案，便于進(jìn)行控制分析，實(shí)現(xiàn)有效的動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)整。

2.2 控制權(quán)重分析

如果不是利用ARE來尋求LQR的解決方案和計(jì)算控制增益，而是從哈密頓動(dòng)力學(xué)中解決優(yōu)化問題，則可以建立最優(yōu)控制問題(式(7))的哈密頓函數(shù)為：

(8)

對(duì)式(8)執(zhí)行偏導(dǎo)數(shù)，以建立如下的齊次哈密頓系統(tǒng)：

(9)

式中：λ—哈密頓矩陣。

通過用代數(shù)方法處理H的特征方程，即|sI-H|=0，其特征值的軌跡在客觀權(quán)重(α和ρ)方面可以通過標(biāo)準(zhǔn)的根軌跡形式表示為：

(10)

閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡根據(jù)式(10)計(jì)算，可以得出最優(yōu)控制器的根軌跡，如圖3所示。

圖3 最優(yōu)控制器的根軌跡

由圖3可知，可以看出，設(shè)計(jì)人員可以即時(shí)分析并輕松調(diào)整α和ρ，以獲得最優(yōu)控制性能。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

將提出的最優(yōu)控制方法在單軸滾珠絲桿設(shè)置上進(jìn)行具體測(cè)試，滾珠絲桿實(shí)驗(yàn)設(shè)置如圖4所示。

圖4 滾珠絲桿實(shí)驗(yàn)設(shè)置

在圖4中，滾珠絲桿直徑為20 mm，導(dǎo)程為20 mm，行程為500 mm。它配備100 nm分辨率的旋轉(zhuǎn)線性編碼器，由dSpace系統(tǒng)[14]以20 kHz控制。利用量程為10 g的DC加速度計(jì)(PCB-3711E1110G)對(duì)加速度和加加速度進(jìn)行測(cè)量，其靈敏度為200 mV/g，低通濾波為1 kHz。

頻率響應(yīng)函數(shù)(Frequency Response Function，F(xiàn)RF)測(cè)量如圖5所示。

圖5 開環(huán)FRF

由圖5可知，2DOF模型清楚地捕獲了傳動(dòng)系統(tǒng)在228 Hz處的軸向和扭轉(zhuǎn)載荷。電動(dòng)機(jī)和工作臺(tái)側(cè)的反諧振分別在177 Hz和157 Hz處可見。與最先進(jìn)的級(jí)聯(lián)P-PI控制進(jìn)行比較分析。

所提出的控制具體參數(shù)為：ρ=2.30×106V2/m2s2，α=7.70×10-11s4。P-PI控制的具體參數(shù)為：Kp=20.41 s-1，KV=0.042 V/m，KI=12.68 V/m。由于行程的原因?qū)е聺L珠絲桿剛度變化小于10%，不使用增益調(diào)度，并且將控制系統(tǒng)的相位裕度(PM)匹配到40°以進(jìn)行穩(wěn)健操作。

3.2 結(jié)果分析

筆者在Amax=25 m/s2和Vmax=8 m/s高速前后軌跡上對(duì)控制方法的跟蹤能力進(jìn)行了測(cè)試，跟蹤性能比較如圖6所示。

圖6 跟蹤性能比較

由圖6可知，所提出的控制技術(shù)在高加速度時(shí)提供更好的跟蹤性能，最大誤差為±40 μm。所提出的控制方法可以控制諧振、抑制諧振，并獲得>300 Hz的跟蹤帶寬，從而實(shí)現(xiàn)更高的性能以滿足穩(wěn)定性要求。

最后，控制方法的干擾響應(yīng)性能比較如圖7所示。

圖7 干擾響應(yīng)性能比較

由圖7可知，與使用電機(jī)和工作臺(tái)(雙)反饋的傳統(tǒng)級(jí)聯(lián)P-PI和主流PPC伺服控制相比，所提出的最優(yōu)控制具有更好的干擾抑制性能。特別是在高頻率下，由于進(jìn)給傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的反諧振，控制器具有更優(yōu)異的性能。在低頻和高頻下，最優(yōu)控制效果更好，干擾抑制能力強(qiáng)。在大約157 Hz時(shí)，它可以實(shí)現(xiàn)大于5倍的干擾衰減。

4 結(jié)束語

針對(duì)機(jī)床柔性進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)控制問題，本文提出了一種最優(yōu)的反饋控制技術(shù)。

首先，筆者提出的最優(yōu)控制僅需要負(fù)載(工作臺(tái))側(cè)反饋信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)高跟蹤帶寬、干擾抑制和模態(tài)阻尼，可消除對(duì)高分辨率編碼器的需求，從而降低傳感器的成本并簡(jiǎn)化機(jī)械設(shè)計(jì)。值得注意的是，僅通過工作臺(tái)反饋，該控制方法就可以增加滾珠絲桿傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度，這是傳統(tǒng)雙面(電機(jī)和工作臺(tái))反饋無法實(shí)現(xiàn)的。其次，筆者提出一種調(diào)優(yōu)程序，允許設(shè)計(jì)人員利用2個(gè)權(quán)重對(duì)控制進(jìn)行調(diào)優(yōu)，以有效地平衡帶寬和模態(tài)阻尼。

該控制技術(shù)可用于具有柔性結(jié)構(gòu)的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)，并解決現(xiàn)有伺服控制中存在的不足；所提出的控制方法可以進(jìn)行最優(yōu)調(diào)整，以實(shí)現(xiàn)減振、高帶寬指令跟蹤和受力的有效干擾抑制，同時(shí)最大限度地減少額外硬件需求。

總體而言，最優(yōu)的反饋控制技術(shù)易于實(shí)現(xiàn)，并且傳感器成本降低了一半，性能大幅得到提升。因此，對(duì)機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)具有較大的應(yīng)用價(jià)值，能夠以更低的成本獲得更高的動(dòng)態(tài)精度。