重心插值配點(diǎn)法求解Black-Scholes方程

賴舒琴 華之維 翁智峰

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021)

0 引言

1973年，Black和Scholes[1]提出一種模型，稱為Black-Scholes(B-S)模型，用于描述基礎(chǔ)資產(chǎn)在期權(quán)定價(jià)中的近似行為.它已被期權(quán)交易員廣泛使用，并因其在預(yù)測期權(quán)價(jià)格方面的有效性和準(zhǔn)確性而導(dǎo)致期權(quán)交易的顯著增長.直至今日，Black-Scholes方程仍是金融數(shù)學(xué)中期權(quán)定價(jià)理論的重要模型，研究其解有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

目前，關(guān)于Black-Scholes方程的數(shù)值解法取得了很多進(jìn)展.譬如，文獻(xiàn)[2]給出Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的二叉樹方法、隱式差分方法和Crank-Nicolson差分方法等數(shù)值解法；文獻(xiàn)[3]討論了許多期權(quán)定價(jià)的數(shù)值計(jì)算問題及其現(xiàn)有數(shù)值方法的不足；文獻(xiàn)[4]討論了期權(quán)定價(jià)問題的鞅方法；文獻(xiàn)[5]提出Black-Scholes方程的一種θ加權(quán)差分格式；文獻(xiàn)[6]分析了美式期權(quán)定價(jià)的有限元方法；文獻(xiàn)[7]利用代數(shù)變換消去方程中對(duì)空間的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，導(dǎo)出四階緊致差分格式；文獻(xiàn)[8]用有限差分法研究一類帶有參數(shù)α的廣義Black-Scholes模型的數(shù)值解；文獻(xiàn)[9]利用Laplace變換和有限差分方法來求解美式期權(quán)定價(jià)問題；文獻(xiàn)[10]對(duì)支付紅利下Black-Scholes方程構(gòu)造了一種具有并行本性的交替分段Crank-Nicolson格式；文獻(xiàn)[11]對(duì)歐式看跌期權(quán)定價(jià)問題構(gòu)造一個(gè)四階緊致有限差分格式.

最近，文獻(xiàn)[12]利用重心插值配點(diǎn)法求解微分方程初邊值問題，很多學(xué)者將該方法推廣到求解各類微分方程，比如平面彈性問題[13]、分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程[14]和一維Allen-Cahn方程[15]等.重心插值配點(diǎn)法包括重心Lagrange插值和重心有理插值.對(duì)于給定插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)選取Lagrange插值公式來構(gòu)造近似函數(shù)時(shí)，由著名的Runge現(xiàn)象可以說明，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量增大時(shí)，Lagrange插值公式構(gòu)造的近似函數(shù)值容易出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，具有極大的數(shù)值不穩(wěn)定性.為了避免這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，Berrut等[16]將Lagrange插值公式改進(jìn)為重心型的Lagrange插值公式.由文獻(xiàn)[17]可知，重心型的Lagrange插值公式克服了Lagrange插值的缺點(diǎn)，解決了震蕩現(xiàn)象，具有了非常好的數(shù)值穩(wěn)定性.此外，Berrut等[18]提出了一種簡單的重心有理插值權(quán)，這之后Floater等[19]提出重心有理插值，其具有很好的節(jié)點(diǎn)適應(yīng)性，有較高的精度，被稱為一種理想的數(shù)值計(jì)算方法.重心插值配點(diǎn)法作為一種新型的無網(wǎng)格計(jì)算方法，其有效地避免了差分格式帶來的累積誤差，使用Chebyshev節(jié)點(diǎn)有效克服了Runge現(xiàn)象，且其具備計(jì)算格式簡單、精度高、程序?qū)嵤┓奖?、?jié)點(diǎn)適應(yīng)性好等特點(diǎn).如今，重心插值配點(diǎn)法廣泛地被應(yīng)用于彈性力學(xué)、微波技術(shù)及流體力學(xué)等多個(gè)方面[20.21].本文將該方法推廣到求解Black-Scholes方程，時(shí)間和空間方向均采用重心插值Chebyshev配點(diǎn)法離散，以得到較高的數(shù)值精度，與前人工作比較，我們的算法在時(shí)間和空間方向上都具有高精度.

1 Black-Scholes方程的重心插值配點(diǎn)法

1.1 Black-Scholes方程的指數(shù)變換

考慮單個(gè)Black-Scholes方程的初邊值問題

(1)

式中u為歐式看跌期權(quán)價(jià)格，u>0；S為股票價(jià)格，S>0；τ為時(shí)間；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，r>0；σ為股票價(jià)格S的波動(dòng)率，σ>0；K為執(zhí)行價(jià)格，K>0；T為到期日，T>0.

為便于用算例驗(yàn)證算法精度，令方程右端為f(x,t).此外，為消去(1)中偏導(dǎo)的變系數(shù)S，引入變換S=ex[7]，且作變換τ=T-t，將初始條件換為t=0時(shí)刻，則問題(1)化為

(2)

式中a,b是所取常數(shù).

(3)

(4)

1.2 重心型插值

1.2.1 重心Lagrange插值. 設(shè)有n+1個(gè)不同節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)和對(duì)應(yīng)一組值yi，p(x)為小于n次的多項(xiàng)式，滿足p(xi)=yi(i=0,1,…,n)，這樣的p(x)唯一存在，那么p(x)可寫成Lagrange插值公式，即

(5)

(6)

(7)

1.2.2 重心有理插值. 設(shè)有n+1個(gè)不同節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)以及對(duì)應(yīng)的一組函數(shù)值yi，選擇一整數(shù)d滿足0≤d≤n，對(duì)每個(gè)j=0,1,…,n-d令pj(x)為d個(gè)點(diǎn)對(duì)(xj,yj),(xj+1,yj+1),…,(xj+d,yj+d)的次數(shù)至多為d的插值多項(xiàng)式，則令

(8)

容易證明式(8)的r(x)插值給定插值點(diǎn)對(duì){(xi,yi),i=0,1,…,n}.于是，對(duì)于不同d(0≤d≤n)可得到一族有理函數(shù)插值，并且通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)d，可以提高插值精度.

此外，式(8)可寫成重心插值形式，首先將pj(x)寫成Lagrange插值形式，變形得

(9)

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)，得到高階重心有理插值公式

(11)

1.3 重心插值配點(diǎn)法求解Black-Scholes方程

1.3.1 一維熱傳導(dǎo)方程的一般形式. 由于Black-Scholes方程經(jīng)過指數(shù)變換轉(zhuǎn)化為問題(4)，根據(jù)文獻(xiàn)[23]的熱傳導(dǎo)方程，可知問題(4)與熱傳導(dǎo)方程類型相同，所以可考慮一維熱傳導(dǎo)方程的重心插值配點(diǎn)法.

以下為一般形式的一維熱傳導(dǎo)方程

(12)

邊界條件為

v(a,t)=φ1(t),v(b,t)=φ2(t) 或vx(a,t)=φ1(t),vx(b,t)=φ2(t),

(13)

初始條件為

v(x,0)=ψ(x).

(14)

1.3.2 一維熱傳導(dǎo)方程的離散. 設(shè)時(shí)間域?yàn)閇0,T]，將空間域[a,b]和[0,T]分別離散為m、n個(gè)第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)：a=x1

(15)

將式(15)代入方程(12)，且讓方程(12)在點(diǎn)x1,x2,…,xm上成立，得常微分方程組，即

(16)

引進(jìn)記號(hào)k(xi,t)=ki(t),g(xi,t)=gi(t),i=1,2,…,m，于是方程組(16)記為矩陣形式，即

(17)

將vi(t)在點(diǎn)t1,t2,…,tn的值vi(tj)=v(xi,tj):=vij，則vi(t)在t1,t2,…,tn上的重心插值函數(shù)為

(18)

將式(18)代入方程(17)，且讓方程(17)在點(diǎn)t1,t2,…,tn上成立，得常微分方程組，即

(19)

(20)

式中符號(hào)?表示矩陣的Kronecker積：C(p),D(p)(p=1,2,…)分別為關(guān)于節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xm和節(jié)點(diǎn)t1,t2,…,tn的重心型插值p階微分矩陣；Im、In分別為m、n階單位矩陣.

[(Im?D(1))-k(C(2)?In)]V=G.

(21)

1.3.3 邊界條件和初始條件的離散. 由于變換后問題(4)邊界屬于方程(13)前者這種形式，所以本文只作此邊界的離散.

初始條件(14)的離散：v(xi,0)=vi1=ψ(xi),i=1,2,…,m，記作矩陣形式，即

1.3.4 Black-Scholes方程的重心插值配點(diǎn)格式. 依照一般形式一維熱傳導(dǎo)方程的重心插值配點(diǎn)法，可以推導(dǎo)出Black-Scholes方程變換后的問題(4)的重心插值配點(diǎn)法計(jì)算格式，即

[(Im?D(1))-λImn(C(2)?In)+βImn]V=G.

(22)

2 數(shù)值算例

2.1 算例1

考察如下微分方程初邊值問題

(23)

右端項(xiàng)

下面分別利用重心Lagrange插值配點(diǎn)及重心有理插值配點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，將兩者進(jìn)行比較.其中，空間方向采用Chebyshev節(jié)點(diǎn)數(shù)為m+1，時(shí)間方向采用Chebyshev節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1.

數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表1所示，表中E=‖uc-ue‖表示誤差的無窮范數(shù)，記作絕對(duì)誤差，注：‖x‖表示相對(duì)誤差的無窮范數(shù)，記作相對(duì)誤差.

由表1知,在求解問題(23)時(shí)，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加，重心Lagrange插值配點(diǎn)法和重心有理插值配點(diǎn)法求解時(shí)的絕對(duì)誤差E和相對(duì)誤差Er均逐漸下降.此外，在節(jié)點(diǎn)數(shù)量相同時(shí)，利用重心Lagrange插值配點(diǎn)法求解方程時(shí)的E和Er均小于重心有理插值配點(diǎn)法的.

表1 不同插值配點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果

綜上，重心Lagrange插值配點(diǎn)法和重心有理插值配點(diǎn)法對(duì)求解問題(23)都有較高精度.在節(jié)點(diǎn)數(shù)一樣時(shí)，重心Lagrange插值配點(diǎn)法精度略高于重心有理插值配點(diǎn)法.由于重心有理插值中參數(shù)d使其精度具有不確定性，則重心Lagrange插值配點(diǎn)法的穩(wěn)定性較高.

兩種重心插值配點(diǎn)格式在區(qū)域x∈[0,1],t∈[0,1]的數(shù)值解及誤差分布圖，圖1是數(shù)值解圖，圖2是誤差分布圖，其中符號(hào)x,t指問題(23)中變量，設(shè)數(shù)值解uc，誤差error.

由圖1中可知,重心Lagrange插值配點(diǎn)法和重心有理插值配點(diǎn)法求出的方程數(shù)值解圖像均逼近于真實(shí)解，具有較高的精度.由圖2可知,采用重心Lagrange插值配點(diǎn)法較重心有理插值配點(diǎn)法，有更高的精度.

2.2 算例2

考察問題

(24)

式中u為看跌期權(quán)價(jià)格；S為股票價(jià)格；τ為時(shí)間；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率；K為執(zhí)行價(jià)格；T為到期日.這里取S區(qū)間為[e-26,e4](對(duì)應(yīng)的a=-26，b=4)，對(duì)空間、時(shí)間域各取81和41個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)，取r=0.005,σ=0.2,T=1,K=20.如圖3所示，是方程(24)在重心Lagrange插值配點(diǎn)法下的數(shù)值解曲面.由圖可知，用當(dāng)前的計(jì)算格式可以得到光滑且穩(wěn)定的數(shù)值解.

下面考察提出的計(jì)算格式(22)的運(yùn)用有效性，采取以下方法,分別對(duì)問題(24)的參數(shù)σ,r,K,T取不同值，比較它們對(duì)歐式看跌期權(quán)的價(jià)格u造成的影響是否與實(shí)際情形一致.

結(jié)果如圖4所示，由圖4(a)可知，當(dāng)取r=0.005,T=1,K=20，而σ在0.1、0.2、0.3、0.4中變化時(shí)，在股票價(jià)格S為執(zhí)行價(jià)格20附近，股票價(jià)格的波動(dòng)率σ升高會(huì)造成歐式看跌期權(quán)價(jià)格u的升高，這與金融界高風(fēng)險(xiǎn)、高回報(bào)的觀點(diǎn)相符合.由圖4(b)可知，當(dāng)取σ=0.2,T=1,K=20，而r在0.005、0.05、0.1、0.15中變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r越高，歐式看跌期權(quán)價(jià)格u會(huì)下跌.由圖4(c)可知，當(dāng)取r=0.005,σ=0.2,T=1，而K在15、20、30、40中變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)執(zhí)行價(jià)格K的提高會(huì)引起歐式看跌期權(quán)價(jià)格u的提高.由圖4(d)可知，當(dāng)取r=0.005,σ=0.2,K=20，而T在0.5、1、1.5、2中變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格變化不大.綜上，以上結(jié)果均與實(shí)際情形一致，可證實(shí)計(jì)算格式(22)具備實(shí)用有效性.

3 結(jié)束語

本文針對(duì)單個(gè)的Black-Scholes方程，考察歐式看跌期權(quán)定價(jià)問題.首先利用指數(shù)變換消去Black-Scholes方程中的空間一階導(dǎo)數(shù)，然后利用重心Lagrange插值配點(diǎn)法和重心有理插值配點(diǎn)法求Black-Scholes方程的數(shù)值解，并且通過數(shù)值算例一比較兩種重心插值配點(diǎn)法的數(shù)值解精度.比較兩種重心插值配點(diǎn)法，發(fā)現(xiàn)重心Lagrange插值配點(diǎn)法的精度略高于重心有理插值配點(diǎn)法.在第二個(gè)數(shù)值算例中，將重心Lagrange插值配點(diǎn)法運(yùn)用到Black-Scholes方程的求解中，得知這種計(jì)算格式具備實(shí)用有效性.尤其與文獻(xiàn)[11]的算法比較，我們的算法用很少的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)就使得時(shí)間和空間方向達(dá)到高精度.今后，可以將重心插值配點(diǎn)法推廣到其他微分方程，也為今后解決同類問題提供一種很好的數(shù)值求解方案.