圓錐曲線中范圍問題的求解策略

魏成年

(甘肅省武威第六中學(xué) 733000)

圓錐曲線中的取值范圍問題是高考的熱點，也是高考的難點.從學(xué)生的答題情況看，相當(dāng)多的毛病出在運算上，究其原因，往往是方法選擇不當(dāng)或運算不合理(策略意識差)，造成中途擱淺或結(jié)果出錯.問題的根源在于學(xué)生解題不講策略，遇到題目瞎撞亂碰，而運算時也缺乏目標意識，不講究運算的合理性.因此，如何增強圓錐曲線的解題策略意識，提高運算的速度和準確度就顯得尤為重要.下面我們以近年的高考題為例來說明解決這類問題的策略方法.

一、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造不等關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍

(2)解法略.

評析有關(guān)中點弦的問題，利用點差法：設(shè)點代入→作差→斜率關(guān)系，可以減少運算、降低難度，為解題帶來方便.

二、利用圓錐曲線中的判別式構(gòu)造不等關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍

例2 (同例1)

評析圓錐曲線中的范圍問題類型較多，解法靈活多變，靈活選取不同的方法會為解題帶來便利. 但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把待求的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.與例1的解法(幾何法)相比，本例的解法(代數(shù)法)就顯得運算繁雜，對運算能力的要求較高，因此，圓錐曲線的解題中對方法的選擇就顯得尤為重要.

三、利用求函數(shù)值域方法將待求量表示為其它變量的函數(shù)，求其值域來確定參數(shù)的范圍

例3 (2016·全國Ⅰ卷)設(shè)圓:

x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析(1)由橢圓的定義易得點E的軌跡方程.(2)解決直線與橢圓相關(guān)的問題，常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程來解決相關(guān)的問題.本題中設(shè)出直線方程代入橢圓方程中，利用弦長公式求出|MN|，再利用點到直線的距離公式求出|PQ|，從而將四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)問題，便可求得四邊形面積的范圍.

(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，

設(shè)l的方程為

y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

將l方程代入橢圓得：

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，

設(shè)過B且與l垂直的直線m為：

因此，所求四邊形MPNQ的面積為

當(dāng)l與x軸垂直時，易得四邊形MPNQ的面積為12.

評析求四邊形MPNQ面積的取值范圍，我們可構(gòu)造面積關(guān)于直線l的斜率的函數(shù)關(guān)系，通過S關(guān)于k的函數(shù)求得面積的范圍，這是求解這類問題常用的方法.

四、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍

(1)求橢圓的方程；

(2)求k的取值范圍；

(3)求△OAB的面積S的取值范圍.

將l方程代入橢圓方程， 得：

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

(3)由(1)(2)知，

設(shè)△OAB的AB邊上的高為d，則

評析這種類型的問題是圓錐曲線中常見的問題.由已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍思路相對簡單，思維要求也不是很高，但對運算能力的要求比較高，必須引起對運算的高度重視，以便在高考中立于不敗之地.

五、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式來確定參數(shù)的范圍

例5 (2016·天津卷)設(shè)橢圓

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍.

分析(1)易得橢圓的標準方程；

(2)由角的不等關(guān)系化為邊或坐標的不等關(guān)系，通過垂直關(guān)系簡化為l的斜率與邊或坐標的關(guān)系，解不等式便可得到所求范圍.

(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB)， 將l的方程代入橢圓方程，得

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0,yH)，所以，

在△MAO，由∠MOA≤∠MAO得:

評析本題由角的不等關(guān)系來尋找邊或坐標的不等關(guān)系是不太常見的題型.因此，圓錐曲線的學(xué)習(xí)除了關(guān)注運算能力外，對思維的靈活性、應(yīng)變能力也是不容忽視的.

六、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式來確定參數(shù)的范圍

(1)當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時，求k的范圍.

分析(1)易解△AMN的面積；

(2)根據(jù)點A的坐標寫出AM的方程，與橢圓聯(lián)立可求得|AM|；再用同樣的方法或整體代換斜率k得到|AN|，利用2|AM|=|AN|得到k與t的關(guān)系式，依據(jù)隱含的t>3的范圍可求得k的范圍.

解法略.

評析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長的計算方法等考查推理論證能力、運算能力以及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法，能力要求高，難度大，是大家在復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)中需要特別關(guān)注的問題.

圓錐曲線的解題策略主要體現(xiàn)在方法的選擇和運算的機智應(yīng)變上，只要我們在平時的學(xué)習(xí)中注意識別模式，擇優(yōu)定法，緊扣條件，布列方程，抓住主元，整體代換，圍繞目標，化繁為簡，經(jīng)歷這樣的思考、分析，高考中的圓錐曲線問題便不在話下.