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      常見的幾個抽象函數(shù)問題及其求解策略

      2020-07-22 08:07:24杜紅全
      數(shù)理化解題研究 2020年19期
      關鍵詞:元法定義域賦值

      杜紅全

      (甘肅省康縣教育局教研室 746500)

      抽象函數(shù)是相對個體的函數(shù)而言的,是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或對應關系,只是給出函數(shù)所滿足的一些條件或性質的一類函數(shù).抽象函數(shù)問題一般是由所給的條件或性質,討論函數(shù)的其他性質,下面舉例說明.

      一、根據(jù)條件等式求解析式

      例1已知3f(x)+2f(-x)=x+3,求f(x).

      分析x,-x同時使得f(x)有意義,用-x代替x建立關于f(x),f(-x)的兩個方程即可求得f(x).

      解因為3f(x)+2f(-x)=x+3, ①

      用-x代替x,得3f(-x)+2f(x)=-x+3. ②

      點評求解本題的策略是利用方程消元法,所謂方程消元法就是指利用方程組通過消參、消元的途徑達到求函數(shù)解析式的目的.

      二、求抽象函數(shù)的值

      點評本題求值策略是利用迭代法. 求抽象函數(shù)的值還有賦值法、代換法等.

      三、求抽象函數(shù)的定義域

      點評求抽象函數(shù)的定義域的策略是利用函數(shù)的概念,即由f(x)的定義域[a,b],求f[g(x)]的定義域的方法:由a≤g(x)≤b,求出x的取值范圍,即為函數(shù)y=f[g(x)]的定義域;由f[g(x)]的定義域[a,b],求f(x)的定義域的方法:由a≤x≤b,求出g(x)的取值范圍即可,即與由f(x)的定義域[a,b],求y=f[g(x)]的定義域恰好相反.

      四、求抽象函數(shù)的值域

      分析利用換元法求解.

      點評求解本題的策略是利用換元法,但必須把新元的取值范圍弄清楚.

      五、求抽象函數(shù)單調(diào)區(qū)間

      例5 若函數(shù)f(x)在(-,+)上是減函數(shù),求函數(shù)f(2x-x2)單調(diào)遞增區(qū)間.

      分析用復合函數(shù)的單調(diào)性來求.

      解因為f(x)在(-,+)上是減函數(shù),所以f(2x-x2)單調(diào)遞增區(qū)間應是u=2x-x2單調(diào)遞減區(qū)間,又u=2x-x2的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,+),所以函數(shù)f(2x-x2)單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+).

      點評求解本題的策略是利用復合函數(shù)單調(diào)性的求法.

      六、比較抽象函數(shù)值的大小

      點評求解本題的關鍵是把對應的兩個變量的值轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),求解策略是利用函數(shù)的單調(diào)性和轉化思想.

      七、抽象函數(shù)圖象問題

      例7 由函數(shù)y=f(x-1)的圖象,通過怎樣的圖象變換可得函數(shù)y=f(-x+2)的圖象.

      分析解答此題須綜合應用函數(shù)圖象的變換的對稱、平移變換.

      解將函數(shù)y=f(x-1)的圖象向左平移1個單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,將函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸翻折,得到函數(shù)y=f(-x)的圖象,將函數(shù)y=f(-x)的圖象向右平移2個單位,就可以得到函數(shù)y=f(-x+2)的圖象.

      點評求解本題的策略是利用函數(shù)圖象變換的規(guī)律.

      八、解抽象不等式

      例8 已知f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,解不等式f(x)>f[8(x-2)].

      分析求解本題的關鍵在于由f(x)>f[8(x-2)]去掉函數(shù)關系符號“f”,使抽象的不等式問題轉化為具體不等式問題,注意函數(shù)的定義域也是一個限制條件.

      解由f(x)>f[8(x-2)]和f(x)在(0,+)上是增函數(shù),得解不等式組,得所以原不等式的解集為

      點評單調(diào)性定義要能夠逆用,f(x)是[a,b]上的增函數(shù),則f(x1)

      九、證明等式

      點評求解此類問題的策略是適當?shù)馁x值(代入特殊值).

      十、抽象函數(shù)的綜合問題

      例10 函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),又當x>0時,f(x)<0,f(1)=-2.

      (1)證明f(x)是奇函數(shù);

      (2)證明f(x)在R上是減函數(shù);

      (3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]的最大值和最小值.

      分析給出函數(shù)滿足的條件關系式而未給出解析式,要證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,關鍵是緊扣條件f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,對其中的x,y不斷賦值,根據(jù)f(x)在R上是減函數(shù)求出最值.

      解(1)令y=-x,得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=f(0).又因為f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).

      (2)任取x1,x2∈R,且x10.又因為當x>0時,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,所以-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上是減函數(shù).

      (3)因為f(x)在R上是減函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×(-2)=-6,所以f(-3)=-f(3)=6.從而f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是6,最小值是-6.

      點評求解此類問題的策略是利用賦值法,即對抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明,圍繞證明奇偶性與單調(diào)性所需要的關系式,對所給的函數(shù)關系式賦值.

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