三種思路破解一道定值題

江蘇省淮安市新淮高級(jí)中學(xué) (223001) 王恩普

高考中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)涉及到定值的一類題型，難度較大，考查的知識(shí)相對(duì)綜合，典型的特點(diǎn)是運(yùn)算量大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，令很多人望而生畏，下面分別從通法、設(shè)而不求、平面幾何三個(gè)角度，對(duì)一道直線與圓中的定值問題進(jìn)行研究.

題目已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點(diǎn)A(1,0)，若l1與圓相交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷|AM|·|AN|是否為定值.若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

思路1:(通法)如圖1，因?yàn)橹本€l1與圓相交，所以斜率存在，不妨設(shè)為k，則直線l1：y=k(x-1),聯(lián)立

圖1

點(diǎn)評(píng):解法自然，屬于通性通法，重在通過聯(lián)立方程組解交點(diǎn).方法容易想到，但是需要一定的運(yùn)算求解和邏輯推理素養(yǎng).同時(shí)也提醒我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

圖2

點(diǎn)評(píng):與解法一相比，整體思路相似，但是設(shè)而不求的方法避開了繁瑣的解交點(diǎn)的步驟，大大減少了運(yùn)算量，“隔山打?！钡倪^程，既提高了速度，又增加了過程的準(zhǔn)確率.

圖3

點(diǎn)評(píng):題目中的隱含條件的挖掘顯得很重要，發(fā)現(xiàn)了垂直條件，進(jìn)而得到兩個(gè)三角形相似，從而使得所求的距離之積轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)定值的乘積，得到解決.順著這個(gè)思路，還可以歸納出一般性的結(jié)論，其實(shí)就是垂直條件是最后定值的保證.

在平時(shí)的解題過程中，我們不僅要關(guān)注通性通法，熟練的掌握通性通法，同時(shí)也要關(guān)注在通性通法下的解題過程的優(yōu)化，可以是思路上的調(diào)整，也可以是運(yùn)算過程的調(diào)整，這樣的思考也會(huì)真正提高自身的解題能力，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).