例析向量投影法在解數量積問題中的應用

江西省瑞金第一中學 (342500) 魏東升

江西省大余縣新城鎮(zhèn)中學 (341501) 王華亮

平面向量是高中數學大家庭中的重要一員，而平面向量數量積問題是高中數學中的一個非常重要的內容，求兩個向量的數量積也是高考的執(zhí)點之一，近幾年在新高考改革背景下，各省市高考的試題都涌現了一些以數量積為背景的好題.而向量投影的巧妙應用，往往能夠讓我們在解決和數量積有關問題時事半功倍，歷年來相關的高考題就很好地說明了這一點.下面，讓我們通過其在高考中的幾類妙用來感受它的魅力.

圖1

評析：求向量數量積的一種常見思路是進行坐標化運算，由于坐標化這種方法是數與形的結合，它既是向量幾何意義的具體體現，同時又能很好地體現學生的數學運算素養(yǎng)，因而是許多同學的最愛．而本題采取向量投影的方法，即能減少相應的運算量，又能很好地體現學生的直觀想象素養(yǎng).

圖2

評析：本題方法頗多，投影法雖說只是平面向量數量積眾多常見方法中(公式法、坐標化法、基底法、投影法、極化恒等式法和特殊化法等)的一種，但其優(yōu)勢在本題中可謂體現地淋漓盡致．

圖3

圖4

評析：本題常規(guī)的思路是結合向量數量積公式和三角形面積公式求出A，再在ΔABC中利用余弦定理求得a．該思路較之向量投影的運用，計算稍顯繁瑣．

上述真題讓我們感受到了向量投影解決問題的魅力，但如何尋找合適的切入點,真正發(fā)揮向量投影的幾何意義,這是我們應該關注到的，有時為了能夠順利使用投影，目標向量的合理轉化是十分必要的．對于不是共起點的向量；或者雖然是共起點，但投影不能確定；又或者兩條都是動向量的情況，可以考慮對目標向量進行適當的轉化．