變與不變的較量

呂小燕

【摘 要】 本文以一節(jié)高三數(shù)學(xué)習(xí)題課——《解三角形》中的一道原題為例，引導(dǎo)學(xué)生對原題進(jìn)行變式，通過變式去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建可行的命題，在變的現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，在不變的本質(zhì)中去探究變的規(guī)律，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】 變式教學(xué);高中數(shù)學(xué);創(chuàng)新思維

所謂變式教學(xué)是指教師在教學(xué)過程中，有目的、有計(jì)劃地對已有的命題進(jìn)行合理化地改編。在課堂中經(jīng)常需要通過運(yùn)用不同形式的材料或事例來歸納事物的本質(zhì)屬性，或者通過變換同類事物的一些輔助特征以突出事物的本質(zhì)特征。變式教學(xué)的用意在于讓學(xué)生去抓住事物的本質(zhì)特征，從而對該類事物形成概念。

變式教學(xué)作為一種行之有效的教學(xué)方法，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)得到廣泛推廣，大多數(shù)的教師都能在課堂上靈活運(yùn)用變式教學(xué)。但是相比之下，很少有教師會(huì)在課堂上嘗試讓學(xué)生對原題進(jìn)行變式。學(xué)生通過對“變”的過程的參與、實(shí)踐，從中體會(huì)變式中變的是什么，什么沒有改變，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是值得我們高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考的問題！

在高三的復(fù)習(xí)課教學(xué)中常常要通過講解習(xí)題去探究解題的策略。要做到舉一反三，變式教學(xué)不可或缺，讓學(xué)生來設(shè)計(jì)變式尤其重要。本文以一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課——《解三角形》中的一道原題為例，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度加以變式并闡述改編的理由，進(jìn)而啟發(fā)全班同學(xué)對改編后的問題深入思考，去探究變式的規(guī)律。

原題：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c。b=acosC+csinA。

（1）角A大小;

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積。

原題中，已知三角形的一邊及對角，外加一個(gè)關(guān)于另兩條邊的條件，此時(shí)三角形固定，各邊和角的量確定，因此該三角形的面積為定值。在研究解三角形時(shí)，隨著給定三角形條件的改變，我們可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出一系列的變式。

一、條件的弱化與強(qiáng)化

當(dāng)一個(gè)命題所給定的條件比較豐富時(shí)，可以考慮減少其中的一兩個(gè)條件，從而加工成新命題。本題中如果弱化引例中的b+c=4的條件，三角形變得不穩(wěn)定，引起三角形面積的變化，直接求三角形的面積問題變成了求面積的最值問題。

變式1：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，角A=，求△ABC面積的最大值。

要是把角的條件去掉，增加另兩條邊的約束關(guān)系，三角形的面積會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？

變式2：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，c=2b，求△ABC面積的最大值。

借助變式設(shè)計(jì)，學(xué)生逐步把握解題的關(guān)鍵。這兩個(gè)變式的方向都很明確，固定的三角形經(jīng)弱化條件后變成動(dòng)的三角形，結(jié)論由求值問題轉(zhuǎn)化為范圍問題。因而該題由一道基礎(chǔ)題上升為中檔題，這也是我們命題的方向。在課堂教學(xué)中通過引導(dǎo)學(xué)生參與變式研究，幫助學(xué)生逐層深入地建立簡單問題與復(fù)雜問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于有層次地推進(jìn)思考的深度，符合學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”。

二、結(jié)論的延伸與拓展

除了考查已有的性質(zhì)，還能有哪些性質(zhì)的改變呢？進(jìn)一步思考，三角形的不穩(wěn)定除了引起面積的變化，還會(huì)引起邊的長度的變化。因此在變式3中，學(xué)生把變式1的目標(biāo)由求面積的最值變?yōu)榍笾荛L的最值。

變式3：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，角A=，求△ABC周長的取值范圍。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中通過有層次地推進(jìn)，讓學(xué)生去逐步解決問題從而積累各種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

三、情境的抽象與具體

針對基本問題中的線段、角等元素，將其設(shè)計(jì)成實(shí)際應(yīng)用問題，增強(qiáng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決生活中實(shí)際問題的能力。

變式4：已知河岸一側(cè)的工廠B、工廠C之間的距離為2000米，村莊A位于河岸的另一側(cè)，村莊A到工廠B的距離是到工廠C的距離的兩倍，求A，B，C圍成面積的最大值。

數(shù)學(xué)問題總是在一定的背景或情境中產(chǎn)生，離開情境的數(shù)學(xué)是沒有煙火氣的數(shù)學(xué)。只有讓學(xué)生弄清問題產(chǎn)生的背景，在生活中找到模型，知道數(shù)學(xué)與生活是緊密聯(lián)系不可分割的，才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

四、圖形的變形與維度

根據(jù)圖中三角形一邊是另一邊的兩倍的圖形特征，不妨將三角形的短邊延伸，變?yōu)橐粋€(gè)大的等腰三角形，一腰上的中線長為2。

變式5：等腰△ABC中腰上的中線BD為定長2，當(dāng)頂角A變化時(shí)，求△ABC面積的最大值。

通過觀察圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，從數(shù)學(xué)問題的本源出發(fā)，把握問題的本質(zhì)，提升轉(zhuǎn)化能力，促進(jìn)思維能力的形成。

五、條件與結(jié)論互換

通過條件與結(jié)論的互換，發(fā)現(xiàn)邊角面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，便于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

變式6：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b=acosC+csinA。

（1）求角A大小;

（2）若a=2，△ABC面積為，求△ABC的周長。

六、變式中的不變

變式必須聚焦核心概念和思想方法。一系列的變式，旨在讓學(xué)生梳理出解決這一類問題的方向：從邊的角度考慮，用余弦定理聯(lián)系三邊及一角，建立三邊的關(guān)系，用邊表示出要求的目標(biāo)，然后運(yùn)用基本不等式的知識(shí)求解;從角的角度，借助正弦定理將邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題，從而轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎堑姆秶?，求三角函?shù)的最值問題;從形的角度考慮，從變化的三角形中尋找一些確定的關(guān)系，不妨以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來考察某個(gè)頂點(diǎn)的軌跡，巧用外接圓，借助于軌跡圓的特點(diǎn)求范圍。

變式可以從對知識(shí)的理解上切入、從對方法的反思中切入、從對條件的反思切入、從問題的呈現(xiàn)形式切入、從幾何圖形的聯(lián)系上切入、從動(dòng)態(tài)的情境上切入，多角度去思考。學(xué)生經(jīng)歷原題的改編，在學(xué)習(xí)上不再只是停留在事物的表象的認(rèn)識(shí)，而是不知不覺中主動(dòng)從本質(zhì)看問題，學(xué)會(huì)比較全面地看問題，注重從事物之間的聯(lián)系中來深度挖掘隱蔽的本質(zhì)特征。

變式教學(xué)貫穿于整個(gè)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，嘗試讓學(xué)生變式，讓學(xué)生從變式中認(rèn)識(shí)到一個(gè)命題的產(chǎn)生、發(fā)展、變化及應(yīng)用，多側(cè)面、多渠道、多角度思考問題，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、培養(yǎng)科學(xué)的思維方法以及創(chuàng)新能力具有重要意義。在探討、爭論、實(shí)踐中從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

向前推進(jìn)是人們認(rèn)識(shí)事物的必然趨勢，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和命題的改造就是前進(jìn)中的進(jìn)程。在教育改革的大背景下，引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)計(jì)變式去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建可行的命題，用數(shù)學(xué)的眼光去探究研究對象，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去分析問題，不正是高中數(shù)學(xué)課程的根本任務(wù)嗎？

【參考文獻(xiàn)】

[1]郝世波.變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（z3）.

[2]肖鋒.變式教學(xué)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（33）.