含Ornstein-Uhlenbeck過程的隨機(jī)SIS傳染病模型

李淑一, 韋煜明, 彭華勤

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

自古以來, 傳染病的流行給人類造成了巨大的危害。公元6—19世紀(jì)間, 鼠疫在全球發(fā)生了3 次大流行, 波及亞、歐、美和非洲60多個(gè)國家, 死亡人數(shù)達(dá)千萬。自1817年以來, 霍亂已經(jīng)在全球發(fā)生7次大流行, 死亡人數(shù)也以千萬計(jì)[1]。傳染病給人類造成的損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過歷史上所有戰(zhàn)爭的總和。隨著科學(xué)的發(fā)展, 許多對人類有嚴(yán)重威脅的傳染病得到了有效控制，然而人類與傳染病的斗爭還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束, 因此, 傳染病的防治仍是當(dāng)前世界各國公共衛(wèi)生工作的重要內(nèi)容之一。充分了解傳染病的傳播模式和疾病控制理論, 對人類與傳染病斗爭有很大的幫助。

近年來, 許多學(xué)者通過建立數(shù)學(xué)動(dòng)力學(xué)模型來分析和解決傳染病引起的各種現(xiàn)象和問題[2-8], 為傳染病防控策略的研究提供可靠的理論依據(jù)。例如，沒有持久免疫力的性傳播疾病和細(xì)菌疾病，對于這類疾病，人類從易感狀態(tài)開始, 感染之后經(jīng)過一些周期之后又重新回到易感狀態(tài)。這類疾病是典型的SIS模型[9-11]。文獻(xiàn)[12]給出如下確定性傳染病模型

(1)

由于環(huán)境的隨機(jī)多變性, 人們常常引入白噪聲來建立隨機(jī)傳染病動(dòng)力學(xué)模型。例如，γ→γ+σdB(t), 確定性系統(tǒng)(1) 就轉(zhuǎn)化成隨機(jī)系統(tǒng)

(2)

除了這種線性的白噪音擾動(dòng)，還有另一種方法。本文將研究含有均值回復(fù)的隨機(jī)傳染病模型來討論回復(fù)速率和波動(dòng)強(qiáng)度對傳染病的影響。假設(shè)參數(shù)γ滿足均值回復(fù)過程[13-19]，即

dγ(t)=θ(γe-γ(t))dt+ξdB(t),

(3)

式中θ、ξ都是正數(shù)，θ是回復(fù)速率,ξ是波動(dòng)強(qiáng)度。Dixit和Pindyck[20]在Financial-Economics理論中已經(jīng)研究了均值回復(fù)過程。用伊藤公式計(jì)算式(3)，得

(4)

式中γ0:=γ(0)。計(jì)算得γ(t)的期望是

E(γ(t))=γe+(γ0-γe)e-θt。

(5)

γ(t)方差是:

(6)

式中B(t) 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。因此式(4)可以寫成如下形式

(7)

其中

(8)

將式(7)帶入式(1)中得到如下隨機(jī)微分方程

(9)

1 全局正解的存在唯一性

研究傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為的前提是系統(tǒng)是否有全局正解, 本章將證明系統(tǒng)(9)有全局唯一正解。

定理1對于任意給定初值(S(0),I(0))∈D, 系統(tǒng)(9)存在全局唯一正解(S(t),I(t))∈D(t≥0), 且概率為1, 即

證明顯然系統(tǒng)(9)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件, 并且存在局部解(S(t),I(t)),t∈[0,τe),τe是爆炸時(shí)間。欲證該解是全局的, 只需證τe=∞ a.s.。設(shè)η0>0且滿足S(0)>η0,I(0)>η0。對任意η≤η0(η>0)，定義停時(shí)

τη=inf {t∈[0,τe):S(t)≤η,I(t)≤η},

V(S(t),I(t))=S-1-lnS+I-1-lnI。

顯然V(S(t),I(t))是正定的。由伊藤公式得

式中M是正常數(shù)。所以

對上式兩端從0 到τη∧T求積分并取期望得

E(V(S(τη∧T),I(τη∧T)))≤V(S(0),I(0))+MT。

令Ωη={τη≤T}, 則P(Ωη)≥。對每一個(gè)ω∈Ωη, 由停時(shí)定義知，在S(τη∧T)和I(τη∧T)中至少有一個(gè)等于η, 可得V(S(τη∧T),I(τη∧T))≥η-1-lnη。所以

V(S(0),I(0))+MT≥E(χΩηV(S(τη∧T),I(τη∧T)≥(η-1-lnη),

式中χΩη是Ωη的示性函數(shù), 當(dāng)η→0,∞>V(S(0),I(0))+MT=∞,矛盾,所以τ0=∞ a.s.,即τe=∞, 局部解u(t)為全局解, 得證。

2 疾病的滅絕與持久

2.1 疾病的滅絕

記系統(tǒng)(9)的確定性系統(tǒng)(即ξ=0)的基本再生數(shù)為

系統(tǒng)(9)的基本再生數(shù)為

(10)

即傳染病以概率為1滅絕。

證明用伊藤公式計(jì)算得

兩邊同時(shí)從0 到t積分得

所以

2.2 疾病的持久性

(11)

和

(12)

式中

(13)

證明用伊藤公式計(jì)算得

N(0)=N0=S0+I0為初值。

對固定ω∈Ω2∩Ω4∩Ω5,t≥T1(ω)，

3 回復(fù)速率和波動(dòng)強(qiáng)度

(14)

則ρ嚴(yán)格單減，且

得證。

(15)

則ρ嚴(yán)格單增，且

得證。

由定理5知,ρ關(guān)于θ嚴(yán)格單增, 且θ→θ*時(shí)ρ趨于0, 即疾病滅亡。從生物學(xué)角度看，回復(fù)速率越小可抑制疾病, 當(dāng)回復(fù)速率足夠小時(shí)疾病滅亡。

4 數(shù)值模擬

5 總結(jié)