非自治離散型浮游生物系統(tǒng)的多個(gè)正周期解

呂小俊，趙凱宏，李 睿

(1.云南大學(xué) 旅游文化學(xué)院 信息學(xué)院, 云南 麗江 674199；2.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院, 云南 昆明 650093)

近幾十年來(lái)，微分方程模型被廣泛地應(yīng)用于生態(tài)系統(tǒng)中，用于描述生態(tài)系統(tǒng)內(nèi)部的變化規(guī)律。由于生物系統(tǒng)受到食物供給、氣候變化和季節(jié)更替等因素的影響，運(yùn)用周期系統(tǒng)去描述生物競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)是非常有必要的，故對(duì)生物競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)周期現(xiàn)象的研究已成為一個(gè)新的熱點(diǎn)[1-3]。當(dāng)種群間沒有代級(jí)重疊時(shí)，差分方程比微分方程更適合于描述種群生態(tài)系統(tǒng)。由于離散的差分系統(tǒng)可以提供有效的數(shù)值模擬，因此，研究離散生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征是有意義的。ZHANG等[4]運(yùn)用疊合度理論研究了帶有功能函數(shù)的離散食餌-捕食者系統(tǒng)的周期解。同時(shí)，LIU等[5]運(yùn)用Mawhin連續(xù)定理研究了以下離散型時(shí)滯浮游生態(tài)系統(tǒng)的周期解問題：

式中：Ni(k)表示第i個(gè)種群第k代的種群密度；ri(k)表示第i個(gè)種群第k代的內(nèi)部增長(zhǎng)率；ail(k)表示第i個(gè)種群在第k-l代的內(nèi)部影響率；bil(k)表示第i個(gè)種群在第k-l代的種間影響率；cil(k)表示第k-l代第j個(gè)種群對(duì)第i個(gè)種群的抑制率；i，j=1，2，i≠j。

為了促使生態(tài)系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展，定期種群收獲被廣泛地應(yīng)用于漁業(yè)、林業(yè)和野生動(dòng)物管理中。因此，有必要在生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中增加收獲項(xiàng)，從而更加客觀、準(zhǔn)確地描述生物競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的內(nèi)部特征。然而，收獲項(xiàng)的增加會(huì)影響生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的多個(gè)周期或概周期規(guī)則[1,6]。

受以上分析和文獻(xiàn)啟示，很少有作者研究帶有收獲項(xiàng)的離散生物種群系統(tǒng)的多解性。因此，在本文中，我們采取Mawhin連續(xù)定理去研究以下帶有收獲項(xiàng)的離散浮游生物系統(tǒng)的多解性問題：

(1)

且Ni(-l)≥0,l=0,1,…,m,Ni(0)>0,i=1,2。式中：hi(k)(i=1,2)表示第i個(gè)種群第k代的收獲量；ri,ail,bil,cil,hi:Z→R+的ω周期函數(shù)，i=1,2,l=1,2,…,m。Z表示整數(shù)集，R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集。

1 預(yù)備知識(shí)

為了描述簡(jiǎn)單和證明方便，我們需定義以下2個(gè)概念：

為了運(yùn)用引理2證明系統(tǒng)(1)至少存在4個(gè)不同的正周期解，需作如下假設(shè)：

這里：

引理1的證明過程和文獻(xiàn)[4]中引理2的證明類似，故在此不再重復(fù)。

(a) 對(duì)于任意λ∈(0,1)，x是Lx=λNx的任意解，滿足x??Ω∩DomL；

(b) 對(duì)于任意x∈?Ω∩KerL，滿足QNx≠0；

(c) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0。

進(jìn)一步，作如下定義：

容易驗(yàn)證，lω是一個(gè)有限維數(shù)的Banach空間。

2 4個(gè)正周期解的存在性

定理1如果條件(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)(1)至少存在4個(gè)ω-正周期解。

證明利用指數(shù)變換：N1(k)=exp(x1(k))，N2(k)=exp(x2(k))，將系統(tǒng)(1)重新改寫為系統(tǒng)(2)。

(2)

令X=Y=lω,(Lx)(k)=x(k+1)-x(k),x∈X,k∈Z。

(3)

接下來(lái)，為了找到滿足引理2中所有條件的有界開集Ωi?X,i=1,2,3,4。本文考慮方程：Lx=λN(x,λ),λ∈(0,1),即：

(4)

將式(4)中每個(gè)等式左右兩邊關(guān)于k從0到ω-1累加，可得：

(5)

和

(6)

由式(4)～(6)，可得：

(7)

和

(8)

接下來(lái)，我們分析式(5)，可得

從而，

(9)

進(jìn)一步，利用不等式技巧分析式(5)，可知

因此，

(10)

同理，由式(6)可得

(11)

再次，利用不等式技巧分析式(6)可知

因此，

(12)

接下來(lái)，由式(5)和式(11)可得

進(jìn)一步，可得

(13)

由式(13)和條件(H1)，可得：

或

結(jié)合條件(H1)和以上分析，不難驗(yàn)證

同理，分析式(6)和式(9)可知

由以上分析可得

(14)

結(jié)合條件(H2)和式(14)，可得：

或

結(jié)合條件(H2)和以上分析，不難驗(yàn)證

現(xiàn)構(gòu)造4個(gè)不同的集合Ωi(i=1,2,3,4)：

顯然，Ωi(i=1,2,3,4)是空間X上的有界開集，且Ωi∩Ωj=φ(i,j=1,2,3,4,i≠j)。因此，Ωi(i=1,2,3,4)滿足引理2的條件(a)。

接下來(lái)，我們?nèi)ヲ?yàn)證引理2的條件(b)也是成立的。利用反證法，我們假設(shè)當(dāng)x∈?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2(i=1,2,3,4)時(shí)，QN(x,0)=(0,0)T成立。即，對(duì)于常向量x=(x1,x2)T∈?Ωi，i=1,2,3,4，滿足以下的代數(shù)方程：

(15)

由于KerL=ImQ，令J=I。由Leray-Schauder度的定義直接計(jì)算，可得

因此，引理2的條件(c)成立。

綜上所述，Ωi(i=1,2,3,4)滿足引理2的所有條件，由引理2可知，系統(tǒng)(2)至少存在4個(gè)不同的ω-正周期解。所以，系統(tǒng)(1)至少存在4個(gè)不同的ω-正周期解。證畢。

3 舉例

例1考慮以下非自治浮游生物競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)存在多個(gè)正周期解。

(16)

這里：

利用MATLAB軟件計(jì)算，可得：

通過以上分析可知，定理1中的條件(H1)和(H2)成立。因此，由定理1可知，生物系統(tǒng)(16)至少存在4個(gè)不同的正周期解，周期為2。

4 總結(jié)

我們通過使用微分不等式技巧和Mawhin連續(xù)定理，獲得離散型非自治浮游生物系統(tǒng)(1)至少存在4個(gè)不同正周期解的充分條件。由定理1的證明過程可知，如果系統(tǒng)(1)中h1(k)=h2(k)≡0，我們只能獲得系統(tǒng)(1)存在1個(gè)正周期解，由于我們無(wú)法得到4個(gè)不同的Ωi(i=1,2,3,4)，且滿足Ωi∩Ωj=φ(i≠j,i,j=1,2,3,4)。因此，在離散生態(tài)系統(tǒng)中，增加收獲項(xiàng)h(k)會(huì)影響其多個(gè)周期變化規(guī)則和局部穩(wěn)定的周期現(xiàn)象。