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      一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其差分問(wèn)題的研究*

      2020-07-15 06:52:40汪慶康
      關(guān)鍵詞:解性差分定理

      汪慶康

      (廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541006)

      0 引言

      微分方程近來(lái)受到了數(shù)學(xué)和相關(guān)學(xué)科的高度關(guān)注,廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、通信工程等領(lǐng)域,然而一般分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論研究并沒(méi)有達(dá)到完全成熟的階段.在文[2]中研究了具有時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程

      的Cauchy問(wèn)題及其相關(guān)性質(zhì).

      與分?jǐn)?shù)階微分方程理論方面的大量工作相比,關(guān)于它數(shù)值分析的研究還是很少的,Sanz-Serna在文[3]中提出了一種時(shí)間半離散算法,并證明了一階收斂性;在文[4]中研究了方程

      的差分形式及其相關(guān)性質(zhì).

      本文首先研究了方程

      初邊值問(wèn)題的解,通過(guò)利用變量分離法將其轉(zhuǎn)化為另一種形式的微分方程,再利用Yurii Luchko和Rudolf Gorenflo在文[1]中的定理得出原方程的解.然后在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上將微分方程差分化,研究了差分形式的唯一可解性、穩(wěn)定性和收斂性.

      1 預(yù)備知識(shí)

      本節(jié)主要介紹相關(guān)的概念及其解決后續(xù)問(wèn)題所需的定理.

      定義1[1]設(shè)α∈?,在L1[a,b]上定義α階分?jǐn)?shù)階Remann-Liouvlie積分算子,表示成

      定義2[6]設(shè)α∈?+,函數(shù)f(x)定義在[a,b]上,n是大于等于α的最小整數(shù),則α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

      定義3[1]函數(shù)f(x),x>0,若存在實(shí)數(shù)p>α,α∈?,使得

      且f1(x)∈C([0,+∞)),則有f(x)∈Cα.

      定義4[1]函數(shù)f(x),x>0,f(x)∈Cmα,當(dāng)且僅當(dāng)f(m)(x)∈Cα.

      定義5[7]多參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)定義為

      其中系數(shù)

      特別地,當(dāng)n=1時(shí)

      定理1[1]設(shè)μ>μ1> … >μi≥0,mi-1<μi≤mi,mi∈ ?0=? ∪ {0},λi∈ ?,i=1,…,n.初值問(wèn)題

      其中當(dāng)μ∈ ?,g∈C-1,當(dāng)μ? ?,g∈.則未知函數(shù)y(x)在中有唯一的解,其形為

      其中

      是問(wèn)題(2)具有零初值條件的解,且

      由定義5中(1)式給出.

      其中l(wèi)k,k=0,1,…,m-1由以下條件確定

      如果mi≤k,i=1,…,m-1,則lk:=0;如果mi≥k+1,i=1,…,m-1,則lk:=n.

      2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的求解

      本節(jié)主要研究如下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題,其中0<α<1.

      為了求非齊次邊界問(wèn)題(7)的解,我們令

      其中w(x,t)滿足

      v(x,t)具有如下表達(dá)

      其中

      用分離變量法求齊次方程(10)的解(f(x,t)=0時(shí)),設(shè)v(x,t)=X(x)T(t)滿足方程,我們可以得到微分方程

      對(duì)應(yīng)特征函數(shù)為

      假設(shè)非齊次方程的解是

      為了確定Bn(t),我們?cè)O(shè)級(jí)數(shù)(14)是可逐項(xiàng)微分的,將exp12xf(x,t)按特征函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)

      則有

      將(14),(17)帶入方程(10)可得

      同時(shí)v(x,t)滿足初始條件,我們有

      于是

      對(duì)于任意的n(n=1,2,…),(19)和(21)構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問(wèn)題,由定理1可知方程的解為

      其中

      則(10)式的解為

      于是(7)式的解是

      3 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的差分形式

      本節(jié)主要將方程(7)轉(zhuǎn)化為差分形式,研究其數(shù)值解的相關(guān)性質(zhì).

      3.1 差分形式的建立

      引理1[4,8]設(shè)u(x,t)∈C4,2([0,L]×[0,T]),則有

      其中c是正常數(shù),aj=(j+1)1-α-j1-α,j=0,…,n-1;1≤i≤M-1,1≤n≤N.

      考慮初邊值條件有

      引理2[9]設(shè)α∈ (0,1),aj=(j+1)1-α-j1-α,j=0,1,2,…,則

      (1-α)j-α

      在(26)式中省略余項(xiàng)可得(7)式的差分形式

      記 s=ταΓ(2-α).

      3.2 唯一可解性

      定理2 差分形式(27)是唯一可解的.

      證明:記

      由(27)我們知道u0已知,現(xiàn)在設(shè)前n個(gè)值u0,u1,…,un-1已唯一確定,則由(27)可得關(guān)于un的線性方程組.要證明它的唯一可解性,只需證明對(duì)應(yīng)齊次方程組

      有且僅有零解.

      設(shè) ‖un‖∞=||,其中in∈ {1,2,…,M-1},將(29)改寫為

      上式中令i=in,并取絕對(duì)值,再利用三角不等式得

      所以‖un‖∞=0,從而un=0.

      由歸納法可知定理成立.

      3.3 穩(wěn)定性

      定理3 設(shè){|0≤i≤M,0≤n≤N}為差分方程

      的解,則有

      其中

      證明:將(30)改寫為

      設(shè) ‖un‖∞=||,其中in∈ {1,2,…,M-1},上式中令i=in,并取絕對(duì)值,在利用三角不等式得

      于是

      由引理2知

      從而

      對(duì)不等式(31)由數(shù)學(xué)歸納法得

      3.4 收斂性

      定理4 設(shè)|0≤i≤M,0≤n≤N}是微分方程(7)的解,{uin|0≤i≤M,0≤n≤N}是差分形式(27)的解,令

      則有

      ‖en‖∞≤c TαΓ(1-α)(τ2-α+h2),1≤n≤N.

      證明:(26)與(27)相減得誤差方程

      由定理3可知

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