淺談關(guān)于“比賽是否投保”的數(shù)學(xué)建模問題

王菲

摘 要 本文首先利用最小二乘法，得到冠軍成績的線性回歸方程，進(jìn)一步計算出理論上成績每下降一秒所需的時間;然后利用通貨膨脹率來刻畫保險公司的時間成本、人力成本和運(yùn)營成本等，在平均成本的基礎(chǔ)上計算得到每年所需的保費(fèi);從組委會的角度出發(fā)，考慮資本的時間價值，利用復(fù)利計算出在打破記錄的屆數(shù)的期望值時，組委會所交保費(fèi)的總額，此數(shù)額與記錄獎金進(jìn)行比較，從而為組委會作出決策提供依據(jù);最后，對于不同的運(yùn)動項目，由于線性回歸方程不同，可引起打破記錄的期望值的變化，從而影響每年所需交的保費(fèi)，組委會依據(jù)保費(fèi)總額和記錄獎金，進(jìn)而對每項比賽是否投保做出決策。

關(guān)鍵詞 線性回歸方程 最小二乘法 期望值 資金時間價值

1背景分析

（1）組委會的決策。組委會采取的措施，大大提高了運(yùn)動員勇于刷新紀(jì)律的積極性，而對于打破記錄就要支付25000歐元來說，這筆費(fèi)用讓組委會承擔(dān)了一部分風(fēng)險。既要提高成績又要避免過多的損失最好的辦法就要投保。可以讓保險公司來承擔(dān)這部分虧損的費(fèi)用。但同時也要考慮組委會需要給保險公司多少錢，自己才不會虧損。如果保險公司要價過高超出了組委會的預(yù)算，這樣的話組委會不如選擇自保。保險公司給出的價格直接影響到組委會的決策。

（2）保險公司的預(yù)算。對于組委會要求的投保。保險公司需要考慮資金時間價值的影響，例如十年前的1000元與十年后的1000元是等價但不等值的。如果每年都是固定的1000元，那保險公司必然是虧損的。保險公司需要考慮如何在資金時間價值、人力等因素的影響下，使自己獲得一定的利潤，當(dāng)然這個利潤越高越好。但還要考慮組委會方面。在組委會與保險公司相互權(quán)衡的情況下，需要取一個臨界值，使他們的收益和支出剛好達(dá)到權(quán)衡。只有在雙方都認(rèn)為利益得當(dāng)時，才能簽訂合同。保險公司的預(yù)算須考慮雙方的利益。

2問題重述

（1）以上描述的獎金為25000歐元的15千米賽跑，獎金的平均成本是多少？

（2）保險公司應(yīng)該用什么標(biāo)準(zhǔn)來合理的確定每年收取的保費(fèi)？

（3）組委會根據(jù)保險公司要求收取的保費(fèi)和什么其他標(biāo)準(zhǔn)來決定是否投保？

（4）組委會根據(jù)歷年的比賽記錄來確定每一個項目是否投保？

（5）如何為組委會做一個表格來決定每場賽事是買保險還是自身保險？

3模型假設(shè)

對于問題1，我們首先定義平均成本。定義2.1：獎金的平均成本為獎金總數(shù)與預(yù)計打破目前的記錄所需的比賽次數(shù)的比值，即，其中C為平均成本，N為獎金總數(shù)，t為預(yù)計打破目前的記錄所需的比賽次數(shù)。在平均成本C的定義式，N為固定值，所以只需要確定t即可得到平均成本。而t的確定與運(yùn)動員比賽成績的規(guī)律性有關(guān)。

運(yùn)動員的比賽成績應(yīng)受到進(jìn)化論、訓(xùn)練的科學(xué)性、計時設(shè)備的進(jìn)步等因素的影響。所以，隨著時間的推移，科技不斷發(fā)展以及人類的不斷進(jìn)化，運(yùn)動員的比賽成績應(yīng)該逐年加快。假設(shè)2.1運(yùn)動員的奪冠成績與時間呈線性關(guān)系，即運(yùn)動員的奪冠成績隨時間的推移而逐年降低。

問題2由于資本具有時間價值，對于保險公司來說，需要在打破記錄的期望年份之前，累積收取等值于破紀(jì)錄獎金的保費(fèi)。假設(shè)2.2：每屆比賽打破記錄的概率相等。

4模型的建立和求解

（1）問題一基于定義?；?.1和假設(shè)2.1，我們利用最小二乘法得到每屆比賽的冠軍成績的擬合直線，那么從理論上成績相較于目前的記錄要下降一秒所需的時間即為定義2.1中的t。將舉辦比賽的年份設(shè)為X軸，冠軍成績設(shè)為Y軸，每屆比賽的奪冠成績在坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)的線性回歸直線方程為，其中為任意實數(shù)。要確定系數(shù)，我們應(yīng)用最小二乘法，使實測值與計算值的離差的平方和最小。令，則回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條。

（2）問題二?；诩僭O(shè)2.2和第一問的求解，可以得到在理論上每過年，會打破一次記錄，那么每屆比賽打破記錄的概率即為。那么記錄被打破最有可能發(fā)生在

第幾屆，即破紀(jì)錄的年份的期望為

即記錄最有可能在第屆被打破。

保險公司希望在平均成本的基礎(chǔ)上加收一部分比例，用以負(fù)擔(dān)保險期間的時間成本、人力成本和運(yùn)營成本等。影響保險公司決定的因素既要包括資本隨時間的貶值情況，也要包括人工費(fèi)用的增長。綜合幾方面因素，本文考慮用通貨膨脹率來衡量以上因素。因為通貨膨脹率，是貨幣超發(fā)部分與實際需要的貨幣量之比，用以反映通貨膨脹、貨幣貶值的程度。由于貨幣隨著時間在不斷貶值，同樣的價格幾年之后是買不到同樣的商品的，保險作為一種商品也具有這個特點(diǎn)。在實際中，一般不直接、也不可能計算通貨膨脹，而是通過價格指數(shù)的增長率來間接表示。因此，消費(fèi)者價格指數(shù)是最能充分、全面反映通貨膨脹率的價格指數(shù)。世界各國基本上均用消費(fèi)者價格指數(shù)CPI來反映通貨膨脹的程度。CPI提高，相應(yīng)的員工工資水平就要提高，所以通貨膨脹率也從一定程度上包含了一部分人力成本。

記平均通貨膨脹率為，保險公司每年收取的保費(fèi)為，在最有可能打破記錄之前，保險公司所收取的保費(fèi)應(yīng)大于等于，即以為基數(shù)，考慮通貨膨脹率的影響，那么保險公司每年應(yīng)收保費(fèi)為。

（3）問題三。設(shè)平均年利率為，按此利率如果繼續(xù)交年的實際價值記為，則。

當(dāng)時，對于組委會來說是不利的，不應(yīng)該應(yīng)該投保。因為在最有可能打破記錄的屆數(shù)時，組委會所交保費(fèi)已經(jīng)超過了打破紀(jì)錄的獎金。當(dāng)時，對于組委會來說是有利的，應(yīng)該投保。因為在最有可能打破記錄的屆數(shù)時，組委會所交保費(fèi)并沒有超過打破紀(jì)錄的獎金。

（4）問題四。假如男女共有40個項目，記為，根據(jù)第三題的結(jié)果，組委會只需計算出每個項目的打破記錄的期望屆數(shù)，結(jié)合平均通貨膨脹率和平均利率的情況，計算得到問題三中的交年保費(fèi)的實際價值，將與打破記錄的獎金進(jìn)行比較，從而做出決策。記第個項目所交保費(fèi)的實際價值為，打破記錄的獎金為，若，組委會不應(yīng)投保;若，組委會應(yīng)投保。

（5）問題五。結(jié)合以上問題，為組委會做出決策制定表格如下：

5模型檢驗

6模型評價

組委會在2001年需自付25000歐元，從2003年至2010年期間為記錄投保。由此，可發(fā)現(xiàn)此模型在經(jīng)濟(jì)情況穩(wěn)定的形勢下，可以平均分擔(dān)風(fēng)險。但是打破記錄具有很大的隨機(jī)性，而且此模型依賴于平均通貨膨脹率和平均年利率，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性對結(jié)果也會造成一定的影響。改進(jìn)的方向主要是對保險公司的時間成本、人力成本和運(yùn)營成本的進(jìn)一步刻畫。

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