固定和增長(zhǎng)區(qū)域上一類互惠模型的擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)

林支桂，張琬婧

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

在自然界中，生物群落總是由于種種原因在不斷地變化著，它是自然界里某一區(qū)域的生物所形成的一個(gè)平衡和諧的整體．種群間通過多種方式進(jìn)行不斷演化，其中包括互惠共生、協(xié)同競(jìng)爭(zhēng)、寄生、捕食等，最終使得自然界達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)[1]．物種與物種、群落和生物圈之間還存在相互制約的關(guān)系，所處環(huán)境分布的不均勻、種群的遷徙以及個(gè)體所分配到的資源不均等都會(huì)導(dǎo)致物種除了隨時(shí)間的演化外，還會(huì)隨著空間的變化而變化[2-3]．為了更好地研究物種為適應(yīng)生態(tài)環(huán)境而進(jìn)行的遷徙行為，人們建立了許多基于偏微分方程組的生物數(shù)學(xué)模型[4]．

Albrecht等[5]提出互惠關(guān)系的兩種群模型，即論文所要研究的互惠模型

(1)

其中：u和v表示兩個(gè)種群；ai(i=1,2)為種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，其反映了在理想狀態(tài)下生物種群的最大增長(zhǎng)能力；bi和Ki(i=1,2)表示兩種群間的相互影響關(guān)系及承載能力；ci(i=1,2)表示種群內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)．系數(shù)ai，bi，ci和Ki均為正常值．

種群的擴(kuò)散與種群密度有關(guān)[6]，從而得出如下互惠擴(kuò)散模型

(2)

其中：正常數(shù)d1,d2代表物種u,v的自由擴(kuò)散系數(shù)．

實(shí)際上，種群的棲息地是隨時(shí)間不斷變化的，例如我國(guó)鄱陽湖水域面積隨季節(jié)變化而變化，冬季水域面積明顯小于夏季水域面積[7]，最小值出現(xiàn)在1月中下旬，最大值出現(xiàn)在8月上旬，其面積變化超過3倍.這種區(qū)域的變化也會(huì)影響方程(組)解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)．近年來，區(qū)域的增長(zhǎng)對(duì)種群發(fā)展演化的影響引起了人們的關(guān)注[8-9]．因此，論文在固定和增長(zhǎng)區(qū)域兩個(gè)方面考慮互惠擴(kuò)散模型的動(dòng)力學(xué)．

1 固定區(qū)域上的互惠模型

在(2)式的基礎(chǔ)上，給出在齊次Neumann邊界條件下固定區(qū)域上的互惠擴(kuò)散模型

(3)

其中：η是?Ω上的單位外法向量；u0(x)和v0(x)是非負(fù)有界函數(shù)；Ω?Rn為有界區(qū)域，其邊界?Ω光滑．

由偏微分方程理論，易知系統(tǒng)(3)的局部解存在唯一，又通過比較原理[10]，得其有界性和全局存在性．

(4)

定理2平凡解(0,0)是不穩(wěn)定的．

證明首先將方程(3)在(0,0)處線性化，得

(5)

令u=eλtφ，v=eλtψ，代入(5)式得

取特征函數(shù)φ=1，ψ=0，得到λ1=a1>0；取φ=0，ψ=1，得到λ2=a2>0.由局部穩(wěn)定性定理可知平凡解(0,0)是不穩(wěn)定的．

定理3半平凡解(uΔ,0)和(0,vΔ)均是不穩(wěn)定的．

證明首先證明半平凡解(uΔ,0)是不穩(wěn)定的．

令U=u-uΔ，V=v-0，將方程(3)在(u,v)=(uΔ,0)處線性化，得

(6)

相同地，令U=eλtφ，V=eλtψ，代入(6)式得特征問題

定理4正平衡解(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明先給定一個(gè)t0>0，得u(x,t0)>0,v(x,t0)>0，故可以取得δ>0且充分小，滿足

(7)

取(M1,M2)滿足

(8)

(9)

由正性引理，易知上述序列的單調(diào)性質(zhì)

再由單調(diào)有界定理，可知此序列的極限

存在，且滿足

在問題(9)中令m→∞，則

(10)

2 增長(zhǎng)區(qū)域上的互惠模型

考慮增長(zhǎng)區(qū)域上具Dirichlet邊界條件的互惠擴(kuò)散模型，探究棲息地的演化對(duì)種群生存的影響．假設(shè)區(qū)域Ω(t)隨時(shí)間增長(zhǎng)，根據(jù)質(zhì)量守恒定律和Reynolds輸運(yùn)定理，再利用Fick擴(kuò)散定律，得演化區(qū)域Ω(t)上的互惠擴(kuò)散模型

(11)

由于問題(11)中的方程含有對(duì)流項(xiàng)和稀釋項(xiàng)，故研究此問題解的長(zhǎng)期性態(tài)有一定的困難．類似文獻(xiàn)[11]，利用Lagrangian坐標(biāo)變化，筆者設(shè)法將一個(gè)連續(xù)演化的區(qū)域Ω(t)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)固定的區(qū)域Ω(0)．

假設(shè)區(qū)域Ω(t)的增長(zhǎng)是各向同性的[12]，亦即區(qū)域Ω(t)隨著時(shí)間的增加在所有方向上同比例增長(zhǎng)，數(shù)學(xué)上表示為

x(t)=ρ(t)y,y∈Ω(0),

(12)

(13)

這是論文要進(jìn)一步研究的新的互惠擴(kuò)散模型．

將問題(13)在(0,0)處線性化，得

(14)

(15)

同樣地，對(duì)于問題(14)中的第2個(gè)方程，其相應(yīng)的特征值問題為

(16)

顯然當(dāng)di>0且ai(i=1,2)，ρ∞均是常值時(shí)，問題(15)，(16)必有唯一的主特征值Ru(>0)和Rv(>0)，并且其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)φ(y,t)和ψ(y,t)是正有界的．為了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)Ru，Rv對(duì)于系數(shù)di，ρ∞的依賴性，記Ru=Ru(d1,ρ∞)，Rv=Rv(d2,ρ∞)，稱之為生態(tài)再生指數(shù)．

證明設(shè)(λ0,φ(y))是特征值問題

(17)

的主特征值和特征函數(shù)．

(18)

(19)

定理得證．

觀察式(18)，(19)，顯然Ru和Rv分別是di(i=1,2)的單調(diào)減函數(shù)，是ρ∞的單調(diào)增函數(shù)．

例取a1=2.79，a2=2.4，得

周期演化下的穩(wěn)定狀態(tài)如圖1所示.

(a)，(b)分別表示物種u和v在增長(zhǎng)區(qū)域上最終將穩(wěn)定于一個(gè)正平衡解;(c)表示在增長(zhǎng)區(qū)域上種群的分布情況，彩色條表示 的是種群的密度;(d)表示模型(13)的解收斂于一個(gè)穩(wěn)定態(tài)(紅色虛線). 圖1 周期演化下的穩(wěn)定狀態(tài)

由圖1可知，在區(qū)域增長(zhǎng)的情況下，Ru>1且Rv>1時(shí)，物種u和v不斷繁衍進(jìn)化，最終趨于一個(gè)穩(wěn)定規(guī)模.

3 結(jié)束語