淺談高中數(shù)學(xué)平面向量解題中的消元思想

摘 要：平面向量的主要作用是將代數(shù)和幾何之間建立了聯(lián)系，而代數(shù)和幾何又是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，因此可以說(shuō)平面向量是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中非常重要的一部分，所以教師要在教學(xué)過(guò)程中盡量保證每一個(gè)學(xué)生都能夠充分掌握和運(yùn)用平面向量的知識(shí)。解決高中數(shù)學(xué)平面向量這部分題目的方法有很多種，教師可主要探討高中數(shù)學(xué)中平面向量解題中的消元思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);平面向量;解題;消元思想

中圖分類號(hào)：G63? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2020）22-0091-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.22.045

一、消元思想在高中數(shù)學(xué)平面向量解題中的主要作用

在高中教學(xué)階段，數(shù)學(xué)是一門重點(diǎn)科目，平面向量教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)課程中重要的組成部分，平面向量知識(shí)具有非常強(qiáng)的邏輯性和概念性，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解來(lái)說(shuō)有一定的難度，因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生采取合理的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生能夠更透徹地領(lǐng)悟平面向量知識(shí)的概念，提升學(xué)生的解題能力。消元思想就是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的思想方法之一，其既可以幫助學(xué)生掌握具體的解題技能，也可以為學(xué)生指引正確的解題方向，是提高學(xué)生平面向量知識(shí)運(yùn)用能力的重要途徑之一。消元思想在平面向量解題過(guò)程中，可以促使學(xué)生對(duì)題目和結(jié)論產(chǎn)生刪繁就簡(jiǎn)的解題意識(shí)，讓學(xué)生明確條件和結(jié)論之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，使學(xué)生掌握正確的解題思想，發(fā)散學(xué)生的解題思維，培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)。因此，消元思想對(duì)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)平面向量解題中產(chǎn)生著積極的影響作用，其不僅可以深化學(xué)生對(duì)平面向量知識(shí)的記憶和理解，也能顯著提升學(xué)生的解題能力和運(yùn)用能力。除此之外，在解題時(shí)融合消元思想，可以有效提高學(xué)生的解題效率，使學(xué)生在成功解題的過(guò)程中獲取成就感，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生不斷探索平面向量知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，為學(xué)生構(gòu)建更完善的平面向量知識(shí)體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而達(dá)成教師理想的教學(xué)目標(biāo)。

二、運(yùn)用消元法解題的常規(guī)步驟

在解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目時(shí)，題目中往往會(huì)有許多復(fù)雜的變量，為了求出每一個(gè)變量，就需要通過(guò)等效代替或者化簡(jiǎn)的方式進(jìn)行，從而可以從復(fù)雜的關(guān)系式中求出某一個(gè)變量的值，而這種解決問(wèn)題的方法就叫做消元法。消元法在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛，它不僅可以解決平面向量中的一些問(wèn)題，而且可以解決解析幾何中的一些問(wèn)題。

1.認(rèn)真審題，通過(guò)觀察題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系式，或者挖掘題目中隱藏的數(shù)學(xué)關(guān)系式，來(lái)尋找下手點(diǎn)。同時(shí)，認(rèn)真審題也是學(xué)生解題的基礎(chǔ)條件，能夠使學(xué)生樹(shù)立正確的解題思路，為學(xué)生接下來(lái)的解題過(guò)程創(chuàng)造有利的先決條件。

2.可以將題目中的條件轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系式，然后將題目中給出的關(guān)系式進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)有一種量的數(shù)值相同，那么就可以把這種數(shù)值消去，實(shí)現(xiàn)消元思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

3.如果在比較題目給出的數(shù)量關(guān)系式時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種量的數(shù)都不相同，這時(shí)不要著急，可以用一個(gè)特殊的數(shù)或者關(guān)系式去乘等式的兩邊，經(jīng)過(guò)變換后會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)量的數(shù)相同，從而也就將這個(gè)量消去，發(fā)揮消元思想的具體解題作用。

4.用消元法解答完之后，需要將算出的結(jié)果帶入到題目給出的關(guān)系式中，從而檢查結(jié)果是否正確，發(fā)揮消元思想在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的實(shí)際作用，使學(xué)生更透徹地掌握消元思想的運(yùn)用方式，更有效地拓展學(xué)生的思維空間，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的特性。

三、消元法在平面向量題目中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是高中數(shù)學(xué)的核心，也是學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該注重教授學(xué)生一些數(shù)學(xué)的思想和解決問(wèn)題的方法，并且根據(jù)具體的題目探討這道題運(yùn)用到了什么思想和方法，簡(jiǎn)單地讓學(xué)生明白具體的過(guò)程和正確的答案，使學(xué)生掌握一定的解題技巧，從而有效提高學(xué)生的解題能力。平面向量可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)橋梁，它將高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)大板塊—代數(shù)和幾何緊密聯(lián)系到了一起，幫助學(xué)生更加深入地了解代數(shù)和幾何的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。而消元思想也是在解決平面向量問(wèn)題的過(guò)程中最常用的方法之一，下面我們將探討消元法在平面向量解決中的具體運(yùn)用。

（一）運(yùn)用消元法解決普通平面向量題目的常規(guī)步驟

在利用消元法解決平面向量的題目時(shí)，第一步要認(rèn)真審題，建立明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式，第二步明確解決這個(gè)題目要消去什么量，第三步就是選擇基本量，基本量可以是一個(gè)向量，也可以是多個(gè)向量。選擇基本量的主要用途是用基本量表示其他的向量，從而達(dá)到消元的目的。運(yùn)用消元法解決普通平面向量題目時(shí)一定要把握好兩點(diǎn)，第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是一定要找到題目中向量之間的關(guān)系式，普通題目給出的向量和關(guān)系式很明確，但是在解決一些其他題目時(shí)，就需要我們審題，分析題目，整理出題目隱藏的關(guān)系式。消元法主要有代入消元法、加減消元法、整體消元法、換元消元法、構(gòu)造消元法、因式分解消元法、常數(shù)消元法、利用比例性質(zhì)消元法等。在用消元法解決平面向量的普通題目時(shí)，第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是消元，消元可以用帶入消元法，也可以用加減消元法，需要我們根據(jù)題目采用合適的消元法，然后用基本向量表示出題目中的其他向量，題目就可以解決。因此，學(xué)生在利用消元法解決平面向量問(wèn)題時(shí)，教師一定要注重培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，指導(dǎo)學(xué)生分析題設(shè)，抓住問(wèn)題的重點(diǎn)，確立數(shù)學(xué)關(guān)系式，使學(xué)生知道所要消掉的量，引導(dǎo)學(xué)生正確選擇基本量，再根據(jù)不同的問(wèn)題進(jìn)行具體消元法的甄別和選擇，為學(xué)生的解題思路不偏離正確方向提供保障，鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力和自主解題能力，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)異的探索能力和分析能力，使學(xué)生更科學(xué)有效地實(shí)現(xiàn)消元法在解決平面向量問(wèn)題中的運(yùn)用，提高學(xué)生的解題效率，最大程度地發(fā)揮消元法在平面向量解題中的作用，收獲理想的教學(xué)成果[1]。

（二）運(yùn)用平面向量基本定理進(jìn)行消元

平面向量基本定理說(shuō)如果兩個(gè)向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使p=xa+yb。我們通過(guò)學(xué)習(xí)理解平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，在解題過(guò)程中可以用基底來(lái)表示其他向量。平面向量的基本定理告訴我們，兩個(gè)不共線的向量都可以作為基本向量來(lái)表示其他向量，因此我們?cè)谶x擇基本向量時(shí)，可以利用平面向量的基本定理來(lái)選擇。用一組向量來(lái)表示其他向量解決平面向量的題目，也是消元的一種方法。但是，我們不能太死板，因?yàn)椴煌念}目基本量的個(gè)數(shù)也是不同的，因此我們需要根據(jù)具體題目選擇合適的基本量。另外，基本向量的線性組合也可以作為基本向量來(lái)表示其他向量，這也是一種消元的方法，并且這種方法還體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。

教師想要實(shí)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)用平面向量基本定理進(jìn)行消元思想解題的教學(xué)目的，首先要做的就是鞏固學(xué)生的平面向量基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生只有具備了過(guò)硬的基礎(chǔ)概念素質(zhì)，才能在分析題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)題目和平面向量基本定理之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而在解題時(shí)合理運(yùn)用基本定理，并且能夠根據(jù)不同的題目?jī)?nèi)容，選擇正確的基本量，提升學(xué)生靈活運(yùn)用平面向量基礎(chǔ)定理的能力，鍛煉學(xué)生的思考能力和解題能力，最終實(shí)現(xiàn)平面向量問(wèn)題的合理解決。

（三）根據(jù)圖形的性質(zhì)完成消元

消元的途徑有很多種，在利用消元法解決平面向量的題目時(shí)，我們通常采用基本量表示其他向量，然后用與實(shí)數(shù)運(yùn)算類似的加減法來(lái)進(jìn)行消元。但是，有時(shí)候我們無(wú)法用加減消元法來(lái)完成一些題目，而這類無(wú)法解決的題目基本都包括圖形，這時(shí)我們需要根據(jù)圖形的性質(zhì)來(lái)完成消元。運(yùn)用消元法解決這類含有圖形的題目主要是通過(guò)構(gòu)建圖形，充分利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)，再通過(guò)利用向量的運(yùn)算進(jìn)行消元。在用消元法解決高中數(shù)學(xué)平面向量的題目時(shí)，主要是利用類似實(shí)數(shù)運(yùn)算的方法進(jìn)行消元，但是有時(shí)候我們需要根據(jù)圖形的性質(zhì)間接消元。因此，對(duì)于一些無(wú)法用加減消元法解決的平面向量問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該首先分析題目的類別，然后采取“數(shù)形結(jié)合”的解題思路，根據(jù)題目?jī)?nèi)容構(gòu)建圖形，將圖形的性質(zhì)和運(yùn)算進(jìn)行融合和轉(zhuǎn)化，完成間接的消元，進(jìn)而順利解決平面向量問(wèn)題。

利用圖像的性質(zhì)不僅可以完成消元解題，同時(shí)，構(gòu)建圖像也是最快的解題方法，因?yàn)槠矫嫦蛄勘旧砭褪菐缀魏痛鷶?shù)的結(jié)合體，所有的向量都是建立在圖像的基礎(chǔ)上，學(xué)生在解題時(shí)構(gòu)建圖形、圖像可以清晰展示出各個(gè)向量之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠正確選擇所要消去的基本量，有效拓展學(xué)生的思維空間，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，幫助學(xué)生更透徹地掌握消元思想在平面向量解題過(guò)程中的運(yùn)用要點(diǎn)，使學(xué)生的解題效率產(chǎn)生實(shí)效性的提高，發(fā)揮消元思想理想的教學(xué)目的[2]。

四、教師應(yīng)用消元思想解題教學(xué)時(shí)的注意事項(xiàng)

教師在將消元思想融入平面向量解題教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該把學(xué)生的審題能力設(shè)置為第一教學(xué)要素，旨在培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣和思考習(xí)慣，問(wèn)題分析得透徹，就意味著問(wèn)題解決了一半。教師要強(qiáng)化學(xué)生的審題能力，引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察平面向量問(wèn)題，找到相關(guān)向量聯(lián)系，使學(xué)生能夠由表及里，抓住問(wèn)題本質(zhì)，采取恰當(dāng)?shù)南绞?，從而更有效地解決問(wèn)題[3]。

教師還可以在學(xué)生解決平面向量問(wèn)題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解或者一法多用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考能力，使學(xué)生的解題思路不局限于狹窄的空間，也不拘泥于某一種固定形式。如果一道題可以用消元法解決，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生采取其他可以替代的方法，使學(xué)生能夠多角度地鉆研問(wèn)題，更加深入地了解平面向量知識(shí)點(diǎn)的特征、差異和隱含關(guān)系，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的記憶和理解，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，拓展學(xué)生的思維空間，挖掘?qū)W生的思維廣度，發(fā)揮消元思想在解題過(guò)程中的最大作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]邊秀麗.基于“先學(xué)后教”教學(xué)模式的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)——以高中數(shù)學(xué)《平面向量數(shù)量積（1）》的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（15）：13.

[2]劉佳，李琪，蘇淑華，皮帥玲.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教材例題設(shè)置的難度研究——以平面向量為例[J].科教導(dǎo)刊（中旬刊），2019（7）：146.

[3]裴黎黎，殷木森.高中數(shù)學(xué)智慧課堂的建構(gòu)與思考——以人教A版必修四《平面向量基本定理》一課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（下半月），2019（6）：F0002.

作者簡(jiǎn)介：茍建忠（1976.11— ），男，漢族，甘肅臨洮人，中小學(xué)一級(jí)，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。