分塊矩陣在行列式及逆矩陣計算中的應用研究

王從徐

(滁州城市職業(yè)學院 教育系，安徽 滁州 239000)

線性代數(shù)是高等學校理工科專業(yè)必修的基礎(chǔ)理論課之一，邏輯嚴密、抽象性強，在自然科學和工程技術(shù)等領(lǐng)域應用廣泛.分塊矩陣與行列式是線性代數(shù)的重要組成部分,是重要的研究工具[1].而分塊矩陣能夠為高階矩陣的求逆和高階行列式的計算提供“打包”的思想，有助于簡化計算.岳靖[2]和沈進中[3]分別探討了分塊矩陣在矩陣求逆和行列式的應用.本文首先對分塊矩陣在高階行列式及特殊的高階矩陣求逆方面進行理論分析，并應用具體例子探討了分塊矩陣的理論運算和工程技術(shù)方面的應用.

1 分塊矩陣的基本概念

定義2.1：設(shè)A是數(shù)域F上的m×n矩陣,把A分成如下形式的矩陣,

其中Aij是mi×nj矩

(i=1,2，…,r,j=1,2,…,s,m1+m2+…+mr=m,

n1+n2+…+ns=n),稱為A的一個分塊矩陣.

分塊矩陣的應用過程，就是采用“打包”的思想,把若干個小矩陣看作其中的元素，從而實現(xiàn)降階和簡化計算的目的.分塊矩陣的結(jié)構(gòu)與矩陣類似,因此運算也可以按照普通矩陣的運算規(guī)則，進行加(減)、數(shù)乘、乘積、逆矩陣、轉(zhuǎn)置和初等變換等運算.下面我們將討論分塊矩陣的若干應用.

2 分塊矩陣的若干應用

2.1 在行列式計算中的應用

行列式的計算方法有兩種：一種是利用性質(zhì)化為特殊的行列式進行計算，另一種是采用展開加降階的思想進行計算.利用分塊矩陣的思想，可以使我們的行列式計算對象向低階和特殊結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)化，從而達到簡化計算的目的[4].

事實上,計算逆矩陣并非易事.對于定理1，通常需要考慮特殊的可逆矩陣.結(jié)合分塊矩陣的結(jié)構(gòu)和行列式的性質(zhì),考慮特殊的可逆矩陣,我們給出注1～3.

下面,我們通過例子來說明分塊矩陣在行列式計算中的應用.

該題的求解通常是利用行列式的展開定理得到遞推公式,然后利用遞推思想進行求解.下面我們利用分塊的思想進行計算.

由于B-CA-1D=diag(b-ca-1d).，所以得D2n=|A||B-CA-1D|=an(b-ca-1d)n=(ab-cd)n.

本題屬于“爪”型行列式,通常是通過經(jīng)行消邊，轉(zhuǎn)化為特殊的行列式進行求解.由于所求行列式的階數(shù)較高,經(jīng)行消邊的計算量比較大.利用分塊矩陣的思想進行計算.

利用克萊姆法則求解，計算

2.2 在矩陣求逆運算中的應用

求逆矩陣是矩陣中的一種重要計算.逆矩陣的求解方法常見有兩種：一種是利用伴隨矩陣來求解，由于伴隨矩陣的結(jié)構(gòu)問題，高階矩陣的逆矩陣的計算量會非常大；另一種方法是利用矩陣的初等變換方法求逆，這是最常用的方法.利用分塊矩陣的思想，將高階矩陣往低階矩陣或特殊矩陣上靠攏，從而達到簡化計算的目的.

分塊矩求逆矩陣的判定及求逆公式[3]十分繁瑣,利用從一般到特殊的思想,如果子塊十分特殊,考慮某些固定類型的分塊矩陣求逆運算.

利用定理2則有

則計算就轉(zhuǎn)化為計算三階矩陣B-E的逆矩陣(B-E)-1和E+(B-E)-1.

為加密矩陣，求其解密矩陣.

解：解密矩陣為加密矩陣A的逆矩陣.

3 結(jié) 論

從上述分析可以看出，分塊矩陣的主要思想是“打包”，利用“打包”來達到降階和向特殊矩陣靠攏的目的.分塊矩陣在高階行列式及高階矩陣的研究中起著重要作用，一方面可以簡化運算，另一方面也可以幫我們看清楚運算過程中子塊的結(jié)構(gòu)特點.