考慮抗彎剛度的耦合吊索自振特性研究

陳煒 王榮輝 周浩恩 甄曉霞? 張卓杰

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640；2.中交隧道工程局有限公司華南分公司，廣東 廣州 510700；3.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

隨著懸索橋跨度的增大，吊索在交通荷載及環(huán)境激勵(lì)下容易產(chǎn)生較大的振動(dòng)，如果吊索振動(dòng)得不到消除或控制，很容易引起索的疲勞破壞及套筒保護(hù)層的破壞，甚至導(dǎo)致橋梁的破壞[1- 2]。為了有效地控制吊索的振動(dòng)，通常把同一吊點(diǎn)的多根索股用減振架連接起來(lái)[3]，從而形成一個(gè)協(xié)同工作系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各根索間的耦合作用導(dǎo)致吊索的自振特性與單根索股不同，分析時(shí)須進(jìn)行簡(jiǎn)化或等效。

文獻(xiàn)[4- 5]將帶減振架的吊索簡(jiǎn)化為不同約束與荷載作用下的單根吊索受力模型，但懸索橋吊索實(shí)際上是在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)耦合下的多索股系統(tǒng)，其振動(dòng)是各索股相互作用的綜合體現(xiàn)，與單根索股或完整性良好拉索的振動(dòng)行為不一樣。

文獻(xiàn)[6- 8]對(duì)通過(guò)耦合連接的雙層及多層索網(wǎng)進(jìn)行了初步的自振特性分析；文獻(xiàn)[9- 10]對(duì)通過(guò)耦合連接的索網(wǎng)和外置阻尼器混合索網(wǎng)系統(tǒng)的自振特性進(jìn)行了進(jìn)一步分析；文獻(xiàn)[11- 12]將拉索-彈簧-阻尼器系統(tǒng)模型用于斜拉橋的輔助索減振機(jī)理分析；文獻(xiàn)[13]通過(guò)環(huán)境激勵(lì)法確定了吊索的動(dòng)力特性及分隔器減振方案，并對(duì)分隔器減振效果進(jìn)行了對(duì)比研究；文獻(xiàn)[14]考慮雙索股吊索的面內(nèi)振動(dòng)，推導(dǎo)了雙索股之間安裝阻尼器時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程；文獻(xiàn)[15]建立了帶減振架吊桿的運(yùn)動(dòng)微分方程，明確了減振架剛度、吊桿索力及其振動(dòng)頻率間的關(guān)系；文獻(xiàn)[16- 18]建立了兩拉索-彈簧-阻尼系統(tǒng)模型，分析了系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率及阻尼特性。文獻(xiàn)[6- 18]的理論研究未考慮索的抗彎剛度，由于懸索橋吊索相對(duì)于斜拉索等其他索結(jié)構(gòu)而言長(zhǎng)度較短、剛度相對(duì)較大，抗彎剛度影響的比重較大，如果對(duì)耦合后的索股系統(tǒng)自振特性進(jìn)行計(jì)算時(shí)忽略抗彎剛度的影響，會(huì)使理論公式計(jì)算得到的索自振頻率小于實(shí)際值，這將導(dǎo)致與實(shí)際情況有所差別，因此在研究耦合吊索自振特性時(shí)，有必要考慮吊索的抗彎剛度。

本研究提出了考慮索抗彎剛度的雙索股耦合系統(tǒng)模型，推導(dǎo)了吊索振動(dòng)的理論公式；對(duì)吊索自振頻率進(jìn)行求解后使用試驗(yàn)及數(shù)值分析方法對(duì)該理論公式進(jìn)行驗(yàn)證；另外，還研究了索的抗彎剛度、減振架耦合位置、耦合剛度、索的長(zhǎng)度與索的振動(dòng)頻率和模態(tài)振型之間的關(guān)系；以期為研究減振架減振機(jī)理提供依據(jù)。

1 吊索耦合振動(dòng)模型建立

本研究以矮寨大橋?yàn)槔齺?lái)展示把同一吊點(diǎn)的多根索股用減振架連接起來(lái)而形成的協(xié)同工作系統(tǒng)，矮寨大橋吊索及減振架布置圖如圖1所示，矮寨大橋典型吊索構(gòu)造圖如圖2所示。

圖1 矮寨大橋吊索及減振架布置圖

Fig.1 Layout of suspenders and anti-vibration mount of Aizhai Bridge

懸索橋主纜上同一吊點(diǎn)位置通常有2根、4根或6根索股，吊索與索夾為騎跨式連接，橫橋向2根 索股頂端通過(guò)索夾連接，底端通過(guò)錨頭錨固在加勁梁上，索股間設(shè)置減振架。可將索股等效為橫橋向兩根由彈簧連接的弦，索端固定，從而帶減振架的吊索系統(tǒng)均可簡(jiǎn)化為圖3所示的模型，索間連接方式可根據(jù)減振架剛度等效為剛性耦合和彈性耦合兩類?；诖四Ｐ涂汕蠼獾跛飨到y(tǒng)的振動(dòng)方程。圖3中T1、T2分別為左右索所受的拉力，索股總長(zhǎng)為L(zhǎng)，分段索長(zhǎng)分別為l1、l2，建立坐標(biāo)系x1o1y1、x2o2y2。

圖 2 矮寨大橋典型吊索構(gòu)造圖(單位：mm)

Fig.2 Structural layout of typical suspender of Aizhai Bridge(Unit：mm)

圖3 雙索股耦合系統(tǒng)模型

任意外力作用下各索股的橫向振動(dòng)的微分方程可表示為[19]

(1)

式中：v(x，t)為拉索橫向位移；x為沿拉索軸線的坐標(biāo)；t為振動(dòng)時(shí)間；E為拉索彈性模量；I為拉索橫截面對(duì)中心主軸的慣性矩；T為拉索拉力；m為拉索的單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

式(1)可采用分離變量法求解，設(shè)方程解的形式為

v(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

其中：φ(x)為關(guān)于x的函數(shù)，q(t)為關(guān)于t的函數(shù)。把式(2)代入式(1)，兩邊同除mφ(x)q(t)，得到等號(hào)兩邊不同變量的等式，由于兩個(gè)變量x、t沒(méi)有相關(guān)性，可得:

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行分離變量后，可以轉(zhuǎn)換為以下兩個(gè)方程式：

(4)

(5)

式中，ω為圓頻率。

式(5)為四階齊次線性常微分方程，其解為

φ(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)+

Ccosh(βx)+Dsinh(βx)

(6)

其中

(7)

(8)

式(4)的解為

q(t)=Ecos(ωt)+Fsin(ωt)

(9)

(10)

其中

(11)

(12)

對(duì)式(9)進(jìn)行無(wú)量綱化得

(13)

故得

(14)

在各子系統(tǒng)內(nèi)，各索股振動(dòng)方程的解形式如下：

(15)

式中：i表示索股號(hào)，i=1，2；j表示子系統(tǒng)號(hào)，j=1，2。

由于各索股通過(guò)耦合形成整體，故各索股的振動(dòng)頻率相等，即

(16)

因此，只需求解各索股的振型方程即可，

(17)

2 方程求解

對(duì)于雙索股單節(jié)點(diǎn)耦合系統(tǒng)，式(17)為含有16個(gè)待定系數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可通過(guò)邊界條件、連續(xù)性要求及豎向力平衡要求確定。

2.1 邊界條件

由于索股兩端固結(jié)，索股端部的位移、斜率均為零，即

(18)

2.2 連續(xù)性要求

由于對(duì)同一索股的耦合作用可等效為一作用力，因此考慮抗彎剛度的同一索股在耦合處的位移、斜率、彎矩不會(huì)發(fā)生突變，因此同一索股在耦合處兩端的位移、斜率、彎矩相等，即

(19)

2.3 豎向力平衡要求

由于同一索股在耦合處只受到耦合變形對(duì)它的作用力，此作用力與索股耦合處兩端的剪力差相等，即

(20)

共有2個(gè)方程。

2.4 頻率求解

上述得到的16個(gè)方程，寫(xiě)成矩陣形式為

KX=0

(21)

式中：K為16×16的系數(shù)矩陣；X為16×1的待定系數(shù)列向量，其中

若式(21)有解，則系數(shù)矩陣行列式為零，即

det(K)=0

(22)

2.5 不考慮抗彎剛度的頻率方程

另外，若將單根索股看作完整性良好的柔性弦，系統(tǒng)索力T和基頻f1之間的關(guān)系可表示為

(23)

式中，m為拉索的線密度，L為拉索長(zhǎng)度。

對(duì)懸索橋，若同一吊點(diǎn)的各根索股索力及線密度、索長(zhǎng)均相同，即

T=T1=T2，

m=m1=m2，

不考慮索的抗彎剛度時(shí)，頻率方程可簡(jiǎn)化為

βTsin2(βL)+2ksin(βl1)sin(βl2)sin(βL)=0

(24)

式中：L為整根索股的長(zhǎng)度；l1、l2為被耦合點(diǎn)分開(kāi)的兩段索股的長(zhǎng)度。

式(24)中k在兩種極限狀態(tài)下的解族分別對(duì)應(yīng)索股間無(wú)耦合作用及帶剛性減振架的自由振動(dòng)：

(2)k→時(shí)，sin(βL)=0，sin(βli)=0(i=1，2)的兩組解族為βL=n和βli=n，即f=nf1和分別對(duì)應(yīng)索的整體振動(dòng)與附加振動(dòng)。

3 理論推導(dǎo)正確性驗(yàn)證

通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)對(duì)理論推導(dǎo)公式進(jìn)行驗(yàn)證。圖4所示為兩根張拉著一定拉力值的鋼絞線獨(dú)立錨固在自制的受力架上組成的雙索股單索夾系統(tǒng)，各索股的長(zhǎng)度L均為3.37 m，在距離索股左端L/10處用帶有一定剛度的索夾進(jìn)行連接，即l1=0.337 m，l2=3.033 m。索股的拉力存在10%的偏差，即索股的拉力T1=31.5 N，T2=28.5 N，試驗(yàn)索股參數(shù)如表1所示。

圖4 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)裝置圖

表1 試驗(yàn)索股參數(shù)

索股的拉力由配套著油壓表的千斤頂進(jìn)行施加后，再通過(guò)旋轉(zhuǎn)索股右側(cè)的螺母對(duì)拉力值進(jìn)行細(xì)調(diào)，拉力值可通過(guò)圖5(a)所示的壓力傳感器測(cè)得并由連接著壓力傳感器的靜態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)讀出。索間耦合連接可通過(guò)圖5(b)、5(c)所示的不同剛度的索夾進(jìn)行模擬，索夾的剛度在實(shí)驗(yàn)前通過(guò)壓力試驗(yàn)機(jī)測(cè)出，分別為k1=107N/m、k2=104N/m。張拉完成后，在每根索股各布置兩個(gè)加速度傳感器來(lái)收集索股的振動(dòng)數(shù)據(jù)，并通過(guò)連接著加速度傳感器的動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)顯示的頻譜圖讀取自振頻率，圖6所示為兩索股單索夾系統(tǒng)的頻譜圖。各個(gè)傳感器讀取的自振頻率均一樣。

利用有限元軟件ANSYS建立考慮拉索抗彎剛度的兩索股單節(jié)點(diǎn)耦合拉索模型，其中拉索采用Beam188單元模擬，單元參數(shù)按表1進(jìn)行設(shè)置，并且拉索拉力用預(yù)拉力的方式進(jìn)行施加，節(jié)點(diǎn)耦合采用Combin14單元模擬。

(a)壓力傳感器

(b)索夾k1=107 N/m

(c)索夾k2=104 N/m

圖6 兩索股單索夾系統(tǒng)頻譜圖(k=107 N/m)

Fig.6 Spectrogram of two strands system with single cross-link(k=107N/m)

由本文算法、有限元算法及試驗(yàn)得到的索股系統(tǒng)前十階自振頻率分別如表2中的fS1、fS2、fS3所示，表中s1、s2分別為fS1與fS2、fS1與fS3的相對(duì)誤差。

由表2可見(jiàn)，當(dāng)索夾剛度k=107N/m時(shí)，本文方法與有限元方法最大誤差為0.13%，與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果最大誤差為-2.01%；當(dāng)索夾剛度k=104N/m 時(shí)，本文方法與有限元方法最大誤差為0.13%，與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果最大誤差為-6.21%；由此可以驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性。

4 帶減振架的吊索自振特性研究

為研究減振架對(duì)吊索振動(dòng)特性的影響，以矮寨特大懸索橋C21L號(hào)索(總索長(zhǎng)39.841 m，計(jì)算長(zhǎng)度LA=17.7 m)、C12L號(hào)索(總索長(zhǎng)89.53 m，計(jì)算長(zhǎng)度LB=42.048 m)、C03L號(hào)索(總索長(zhǎng)163.758 m，計(jì)算長(zhǎng)度LC=79.176 m)為例進(jìn)行算例分析，主纜上同一吊點(diǎn)有4根索股，吊索與索夾為騎跨式連接，索股在中點(diǎn)位置用減振架連接，吊索索力T1=T2=1 000 kN，分析模型如圖3所示，相關(guān)參數(shù)值如表3所示。

表3 索股參數(shù)

4.1 索股抗彎剛度對(duì)吊索振動(dòng)特性的影響

由圖7可知：當(dāng)剛性減振架位于L/2位置時(shí)，若不考慮索的抗彎剛度，因單根索股所受拉力與各結(jié)構(gòu)參數(shù)均相同，以f1表示單根索股自由振動(dòng)時(shí)的基頻，吊索的自振頻率值均為基頻的整數(shù)倍(即為nf1，其中n是整數(shù))；吊索的頻率分布曲線呈“階梯狀”，每4階為一個(gè)變化周期，每個(gè)變化周期內(nèi)第1階對(duì)應(yīng)同相整體振動(dòng)模態(tài)，第2、3階對(duì)應(yīng)單根索單獨(dú)振動(dòng)模態(tài)，第4階對(duì)應(yīng)反相整體振動(dòng)模態(tài)，第2、3、4階頻率值相等；考慮索的抗彎剛度后，頻率分布曲線也呈現(xiàn)每4階一個(gè)變化周期的階梯狀，但是反相整體振動(dòng)頻率比單根索單獨(dú)振動(dòng)頻率大。隨著減振架剛度減小，同相整體振動(dòng)和單根索單獨(dú)振動(dòng)的頻率不變，反相整體振動(dòng)的頻率值減小，趨近于前一階同相整體振動(dòng)模態(tài)的頻率值。

(a) k=∞

(b)k=104 N/m

Fig.7 First 20th order natural frequencies of the suspenders(the anti-vibration mount atL/2 position)

(a) C21L(k=∞)

(b) C12L(k=∞)

(c) C03L(k=∞)

(d) C21L(k=104 N/m)

(e) C12L(k=104 N/m)

(f) C03L(k=104 N/m)

圖8 考慮抗彎剛度后吊索前20階自振頻率的增長(zhǎng)百分比(減振架位于L/2位置)

Fig.8 Increasing percentage of the first 20th order natural frequencies of the suspenders after considering bending stiffness (the anti-vibration mount atL/2 position)

由圖8可知：索的抗彎剛度會(huì)對(duì)吊索的自振頻率產(chǎn)生影響，索越短，考慮抗彎剛度后索的自振頻率值增大越明顯，隨著索長(zhǎng)增加，r1值逐漸減小；設(shè)置剛性減振架時(shí)，考慮抗彎剛度后C21L、C12L、C03L的r1最大值分別達(dá)到23.44%、7.12%、2.98%；減振架剛度為k=104N/m時(shí)，C21L、C12L、C03L的r1最大值分別達(dá)到20.11%、5.42%、2.05%。由于減振架剛度只影響反相整體振動(dòng)的頻率，而反相整體振動(dòng)頻率隨著減振架剛度減小而減小，因此r1值隨減振架剛度減小而減小。

4.2 減振架對(duì)吊索振動(dòng)特性的影響

取減振架剛度k≥104N/m的情況進(jìn)行研究，圖9所示為減振架剛度k=∞與k=104N/m時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的前20階自振頻率隨減振架位置的變化規(guī)律，圖10所示為單根索股前5階振型圖與在L/2、L/4位置處設(shè)置減振架的C03L號(hào)吊索的前5階振型圖。

(a) C21L(k=∞)

(b) C12L (k=∞)

(c) C03L(k=∞)

(d) C21L(k=104 N/m)

(e) C12L (k=104 N/m)

(f) C03L(k=104 N/m)

Fig.9 Curve of the first 20th order natural frequencies of the suspenders changing with the position of anti-vibration mount

(a) 單根索

(b) l1=L/2(k=∞)

(c) l1=L/4(k=∞)

(d) l1=L/2(k=104 N/m)

(e) l1=L/4(k=104 N/m)

由圖9及圖10可知，除減振架在吊索L/2位置處外，設(shè)置減振架后吊索的奇數(shù)階振動(dòng)模態(tài)為同相整體振動(dòng)模態(tài)，其自振頻率及振型與單根索股相應(yīng)的自振頻率及振型一致，減振架保證了多根吊索同相整體振動(dòng)模態(tài)的一致性，減振架剛度對(duì)吊索同相整體振動(dòng)模態(tài)的自振頻率值無(wú)影響；吊索的偶數(shù)階振動(dòng)模態(tài)為設(shè)置減振架引起的反相振動(dòng)模態(tài)，其自振頻率、振型均受到減振架位置及剛度的影響。

不考慮索的抗彎剛度時(shí)，吊索同相整體振動(dòng)模態(tài)的頻率值呈整數(shù)倍增長(zhǎng)；考慮索的抗彎剛度后，同相整體振動(dòng)模態(tài)下各階頻率不再為基頻的整數(shù)倍，索越短，其整體振動(dòng)的頻率值增長(zhǎng)越快，隨著索長(zhǎng)增加，其整體振動(dòng)的頻率值接近似整數(shù)倍增長(zhǎng)。

以r2表示減振架在不同位置時(shí)吊索的自振頻率與減振架在L/2處時(shí)的差值百分比，吊索的反相振動(dòng)頻率值與減振架位置相關(guān)，設(shè)置剛性減振架的工況下，l1=L/8時(shí)C03L號(hào)吊索的最大r2值達(dá)到42.95%；隨著減振架剛度減小，減振架位置對(duì)頻率的影響也逐漸減小，k=104N/m時(shí)最大r2值為10.44%。

進(jìn)一步分析減振架剛度對(duì)吊索自振頻率的影響，l1=L/2、L/4、L/8時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索前20階自振頻率隨減振架剛度的變化情況如圖11所示。

由圖10(b)、10(d)和圖11可知，當(dāng)減振架位于L/2位置處時(shí)，頻率分布曲線呈現(xiàn)為每4階一個(gè)變化周期的階梯狀，同相整體振動(dòng)和單根索單獨(dú)振動(dòng)的頻率不會(huì)隨著減振架剛度的變化而改變，而反相整體振動(dòng)的頻率隨著減振架剛度的減小而減小。當(dāng)減振架剛度k≤106N/m時(shí)，出現(xiàn)“跳階”現(xiàn)象，第2階振型表現(xiàn)為反相整體振動(dòng)模態(tài)，其頻率值隨著減振架剛度的減小趨近于第1階同相整體振動(dòng)模態(tài)的頻率值，第4階振型表現(xiàn)為單根索單獨(dú)振動(dòng)模態(tài)。

(a) l1=L/2，C21L號(hào)吊索

(b) l1=L/4，C21L號(hào)吊索

(c) l1=L/8，C21L號(hào)吊索

(d)l1=L/2，C12L號(hào)吊索

(e)l1=L/4，C12L號(hào)吊索

(f)l1=L/8，C12L號(hào)吊索

(g)l1=L/2，C03L號(hào)吊索

(h)l1=L/4，C03L號(hào)吊索

(i)l1=L/8，C03L號(hào)吊索

Fig.11 Curve of the first 20th order natural frequencies of the suspenders changing with the rigidity of anti-vibration mount

以r3表示減振架剛度不同時(shí)吊索的自振頻率與減振架剛度為無(wú)窮大時(shí)的差值百分比，由圖10-11可知，減振架剛度對(duì)反相振動(dòng)模態(tài)的自振頻率值有影響，減振架位置一定時(shí)，其剛度越小，r3值越大，并且減振架的約束減弱，造成局部振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)越不明顯。

當(dāng)減振架在L/3、L/4、L/8位置處，減振架剛度分別為k=104N/m、k=5×106N/m時(shí)跟減振架剛度為無(wú)窮大時(shí)吊索前20階自振頻率的差值百分比(r3)如表4所示。

從表4可以看出，對(duì)于不同長(zhǎng)度的吊索，減振振架的剛度及相對(duì)位置一定時(shí)，r3值隨著索長(zhǎng)增長(zhǎng)而減??；隨著減振架剛度增大，r3值隨索長(zhǎng)增長(zhǎng)而減小的相對(duì)幅度增大。如在k=104N/m的工況下，減振架位于L/3位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為33.36%、32.29%、31.30%，減振架位于L/4位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為25.43%、24.61%、24.23%，減振架位于L/8位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為13.85%、12.56%、12.38%。在k=5×106N/m的工況下，減振架位于L/3位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為4.32%、1.15%、0.55%，減振架位于L/4位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為4.59%、1.31%、0.64%，減振架位于L/8位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的r3最大值分別為7.98%、2.12%、1.14%。

表4 特定減振架剛度下吊索前20階自振頻率與減振架剛度為無(wú)窮大時(shí)的差值百分比

Table 4 Increasing percentage of the first 20th order natural frequencies of the suspenders between certain rigidity and infinite rigidity of anti-vibration mount

階次r3/%l1=L/3l1=L/4l1=L/8 k=104N/m k=5×106N/m k=104N/m k=5×106N/m k=104N/m k=5×106N/m C21LC12LC03LC21LC12LC03LC21LC12LC03LC21LC12LC03LC21LC12LC03LC21LC12LC03L10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00232.2929.7626.800.910.360.1924.0222.2720.140.830.330.1711.8011.4010.710.780.290.1530.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00433.3632.2931.300.270.100.0524.8523.5522.170.800.320.1711.9911.5410.900.800.290.1550.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.0066.342.621.382.731.030.5325.4324.6124.230.380.130.0612.3011.7411.200.820.290.1570.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00812.2811.1410.631.130.380.199.183.862.043.411.230.6312.6811.9911.570.850.280.1590.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001018.0416.6716.290.420.110.057.106.276.031.290.370.1813.1112.2511.950.870.280.14110.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00126.202.611.383.371.070.5411.3010.079.681.150.330.1713.5312.4712.240.870.260.13130.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00148.437.046.641.590.420.2014.1912.6612.360.760.140.0713.8512.5612.380.750.160.07150.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001613.2411.4411.030.920.120.058.573.832.034.591.310.6413.558.744.792.152.121.14170.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00185.952.611.394.321.150.555.023.823.572.150.440.208.061.821.507.980.700.20190.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00206.845.304.882.270.460.208.126.626.241.920.380.174.172.822.662.660.440.17

此外，由于實(shí)際工程頻率法測(cè)量索力時(shí)低階較為明顯，在k=5×106N/m的工況下，減振架位于L/3位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的二階r3值分別為0.91%、0.36%、0.19%，減振架位于L/4位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的二階r3值分別為0.83%、0.33%、0.17%，減振架位于L/8位置處時(shí)C21L、C12L、C03L號(hào)吊索的二階r3值分別為0.78%、0.29%、0.15%，二階r3值均小于1%，且前二十階r3值絕大部分少于5%。因此，對(duì)于不同長(zhǎng)度的吊索，當(dāng)設(shè)置的減振架剛度k≥5×106N/m時(shí)，均可近似視為剛性減振架。

5 結(jié)論

本研究提出了考慮抗彎剛度的雙索股耦合系統(tǒng)模型，并基于該模型對(duì)懸索橋吊索的自振特性進(jìn)行研究，研究結(jié)果表明：

(1)設(shè)置減振架后，各根索股的自振頻率均相同，減振架可保證兩根索股同相整體振動(dòng)模態(tài)的一致性，同相整體振動(dòng)模態(tài)的自振頻率值不受減振架影響；在同相整體振動(dòng)模態(tài)之間存在單根索股單獨(dú)振動(dòng)模態(tài)(減振架位于吊索中點(diǎn)時(shí)成對(duì)出現(xiàn))及反相振動(dòng)模態(tài)，反相振動(dòng)模態(tài)的頻率值、振型均受減振架位置及剛度影響。

(2)考慮索的抗彎剛度后，帶減振架的吊索自振頻率值明顯增大，索越短，增長(zhǎng)幅度越大，其影響不可忽略；隨著減振架剛度減小，吊索反相整體振動(dòng)模態(tài)的自振頻率增長(zhǎng)幅度略有減小。

(3)減振架位置對(duì)吊索反相振動(dòng)模態(tài)的自振頻率及振型有顯著影響，隨著減振架剛度減小，其影響逐漸減小。

(4)與剛性減振架相比，彈性減振架導(dǎo)致反相振動(dòng)模態(tài)的自振頻率值降低，減振架剛度越小，其差值越大；減振架的剛度及相對(duì)位置一定時(shí)，吊索自振頻率與剛性減振架情況下的差值百分比受索長(zhǎng)影響，索長(zhǎng)越長(zhǎng)差值百分比越小；隨著減振架剛度增大，差值百分比隨索長(zhǎng)增長(zhǎng)而減小的相對(duì)幅度增大；對(duì)于不同長(zhǎng)度的吊索，當(dāng)設(shè)置的減振架剛度k≥5×106N/m時(shí)，均可近似視為剛性減振架。