利用彈簧法精確測量砝碼質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)探究

張 新 羅 嬋 DARRACQ Bruno 劉 科 唐明君 李 玲 謝林華 周曉林

(1四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 四川 成都 610066；2巴黎第十一大學(xué)奧賽科技學(xué)院，法國 巴黎)

2018年11月在法國的凡爾賽召開了國際計(jì)量大會(huì)，大會(huì)對國際單位制中的千克、開爾文、摩爾和安培進(jìn)行了重新定義[1]。千克的重新定義對科學(xué)發(fā)展具有重要意義，在此之前，千克是唯一以特定人工實(shí)物——國際千克原器定義的基本單位，然而千克原器的質(zhì)量受各種因素的影響已經(jīng)出現(xiàn)了細(xì)微的變化，難以滿足現(xiàn)代測量要求對精密程度的需要。因此，本次國際計(jì)量大會(huì)決定修改千克的定義，由物理常數(shù)——普朗克常量重新定義千克?；诖吮尘埃?0月，小組成員在法國巴黎第十一大學(xué)(University of Paris-Sud)交換實(shí)習(xí)期間，在實(shí)習(xí)導(dǎo)師的指導(dǎo)下，我們完成了以“千克”為主題的項(xiàng)目式課題，通過方案設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了較為準(zhǔn)確地用彈簧測量砝碼的質(zhì)量。

1 方案的確定及改進(jìn)

我們對如何“用彈簧測量砝碼質(zhì)量”進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，根據(jù)已學(xué)知識(shí)并結(jié)合生活實(shí)踐提出了以下兩種想法：(1)模擬電子秤的工作原理：將彈簧放置在裝載砝碼的托盤之上，通過讀取力傳感器傳輸彈簧所承受的力，再計(jì)算得出測量砝碼的質(zhì)量。(2)彈簧振子原理：將砝碼和彈簧相連做成彈簧振子，測量其做簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)周期，可由周期公式求解出砝碼的質(zhì)量。

兩種方案各有優(yōu)點(diǎn)，小組成員討論決定選取簡單、方便、最具可行性且符合實(shí)際條件的方案(2)：以理想彈簧振子做簡諧振動(dòng)，通過周期公式(1)計(jì)算砝碼質(zhì)量：

(1)

式中，k為彈簧的勁度系數(shù)；M為懸掛物體的質(zhì)量。顯然，要得到懸掛物體的質(zhì)量就需要先得到彈簧的勁度系數(shù)k和物體與輕質(zhì)彈簧組成的彈簧振子的振動(dòng)周期。方案的優(yōu)化過程如下：

將輕質(zhì)彈簧上端固定在鐵架臺(tái)上，下端掛上已知質(zhì)量為Ma的砝碼。測出彈簧拉伸的長度Δx，利用胡克定律

Mag=ΔF=kΔx

(2)

即可得到勁度系數(shù)k；然后懸掛上一個(gè)質(zhì)量待測的砝碼，將砝碼下拉至適當(dāng)位置(彈簧彈性限度范圍內(nèi))后松手，讓其做自由振動(dòng)，待振動(dòng)穩(wěn)定后，測出彈簧振子的振動(dòng)周期T，代入式(1)中即可求出待測砝碼的質(zhì)量。

然而實(shí)驗(yàn)過程中我們注意到，彈簧并不是理想的輕質(zhì)彈簧，在測量較小質(zhì)量的物體時(shí)彈簧質(zhì)量顯然不能完全忽略。為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確，我們繼續(xù)進(jìn)行方案的改進(jìn)，在查閱簡諧振動(dòng)相關(guān)文獻(xiàn)后[2,3]，我們將彈簧振子的周期公式修正為式(3)：

(3)

式中ms為彈簧的質(zhì)量。此外，在前面所述方案中，在測量彈簧拉伸長度Δx時(shí)操作不便，且Δx的讀數(shù)結(jié)果存在較大誤差，由它所算得的彈簧勁度系數(shù)k不準(zhǔn)確。于是，我們決定采用類比方法解決這一問題，即選擇一個(gè)已知質(zhì)量為M0(M0=50g)的砝碼懸掛于彈簧下端，將砝碼豎直下拉至適當(dāng)位置后松手，讓其振動(dòng)，待振動(dòng)穩(wěn)定后，測出彈簧振子的振動(dòng)周期T，為了減小實(shí)驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，我們多次測量，求出該彈簧振子的平均周期T0，則

(4)

M0和T0作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把一個(gè)質(zhì)量未知的任意物體(其質(zhì)量用Mx表示)懸掛在同一個(gè)彈簧上，重復(fù)之前的操作，多次測量彈簧振子的周期，并求出振動(dòng)周期平均值Tx，可以得到

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，可以得到

(6)

上式M0、T0、ms可以看作已知量，并引入系數(shù)a、b替換，式(6)可化簡為

(7)

根據(jù)上式，只需測出待測物體懸掛于彈簧時(shí)的振動(dòng)周期Tx就能求出其質(zhì)量Mx。此方案中使用的是同一彈簧，不再需要求解k，減小了實(shí)驗(yàn)誤差。在彈簧的彈性限度內(nèi)更換不同的物體，我們就能快捷方便準(zhǔn)確地測量不同物體的質(zhì)量。

2 實(shí)驗(yàn)的架構(gòu)與實(shí)現(xiàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

方案完善后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)的需要，采用彈簧、鐵架臺(tái)、砝碼盒、激光器、電路板、光電二極管、數(shù)據(jù)采集器[4](NI myDAQ)等主要器材搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，在采集和處理數(shù)據(jù)過程中，用到的器材和軟件及其對應(yīng)的功能和用途如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)所需器材、軟件及其對應(yīng)功能

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由3大模塊構(gòu)成，模型圖和實(shí)物圖分別如圖1和圖2所示。圖1中a為數(shù)據(jù)處

圖1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)模型圖

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖

理模塊，主要包含電腦、LabVIEW軟件、Fortran程序等數(shù)據(jù)處理硬件和軟件；b為數(shù)據(jù)采集模塊，主要包括數(shù)據(jù)采集器(NI myDAQ)以及包含光電二極管的電路板等；c為測試模塊，包括彈簧、砝碼和激光發(fā)射器等器材。

2.2 實(shí)驗(yàn)過程調(diào)試與效果分析

2.2.1 定標(biāo)裝置的標(biāo)準(zhǔn)砝碼質(zhì)量M0、振動(dòng)周期T0、彈簧的質(zhì)量ms的測量

在進(jìn)行待測物體質(zhì)量測量之前，根據(jù)式(6)，需要先測出我們定義的標(biāo)準(zhǔn)裝置的特征參數(shù)。首先，利用質(zhì)量比較儀對標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為M0(M0=50.000g)的砝碼進(jìn)行了校準(zhǔn)，采用電子秤測量彈簧的質(zhì)量ms(ms=3.566g)。其次，為了測量作為標(biāo)準(zhǔn)的彈簧振子的平均振動(dòng)周期T0，我們設(shè)計(jì)了一個(gè)能測出彈簧振子振動(dòng)周期的傳感裝置(如圖2所示)，設(shè)計(jì)原理在于利用IN myDAQ器件探測光電二極管感受光強(qiáng)變化時(shí)兩端電壓的變化，并通過LabVIEW軟件在電腦上顯示出電壓變化圖，電壓的變化周期正是該彈簧振子的振動(dòng)周期。具體操作過程及改進(jìn)措施如下：光電二極管電路的電源電壓設(shè)置為3V；打開激光，照射光電二極管，選取砝碼靜止時(shí)的位置為平衡位置，調(diào)節(jié)彈簧與砝碼的整體高度，使砝碼的上平面剛好擋住激光；用手將砝碼豎直下拉一定的距離，然后釋放，砝碼與彈簧組成的彈簧振子振動(dòng)，電腦屏幕上顯示出光電二極管兩端電壓隨時(shí)間變化的圖像，如圖3(a)所示，待圖像穩(wěn)定后手動(dòng)截取振動(dòng)周期并讀數(shù)。

圖3 (a) 光電二極管兩端電壓隨時(shí)間變化的圖像； (b) 電壓隨時(shí)間變化的失真圖像

實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)如下兩個(gè)問題會(huì)導(dǎo)致圖像失真(圖3(b))：①砝碼和彈簧整體橫向擺動(dòng)；②砝碼上平面的掛鉤和彈簧會(huì)遮擋激光。此外,手動(dòng)截取一個(gè)周期時(shí)產(chǎn)生的誤差也較大。為了解決以上問題，盡量減小誤差，我們提出了如下解決方案：①在包裝盒外選擇參照點(diǎn)并做標(biāo)記，保證砝碼每次在豎直下方離平衡位置1cm處釋放，且盡量避免砝碼橫向擺動(dòng)；②為防止砝碼掛鉤及彈簧對激光的遮擋，選取砝碼靜止時(shí)其下平面位置為平衡位置參考點(diǎn)，使砝碼下平面剛好擋住激光；③由原先的每次截取一個(gè)振動(dòng)周期改為截取兩個(gè)振動(dòng)周期。實(shí)驗(yàn)改進(jìn)以后，項(xiàng)目組在每次測量時(shí)讀取兩個(gè)周期，重復(fù)測量10次，舍棄數(shù)據(jù)中的最大值及最小值，然后求得標(biāo)準(zhǔn)砝碼的振動(dòng)周期平均值T0。方程(7)中的常數(shù)a、b就已確定。

2.2.2 測量待測物體的振動(dòng)周期Tx

為了方便懸掛，同時(shí)為了驗(yàn)證方案的精確度，選取一組質(zhì)量已知的砝碼作為待測物體，并對所有砝碼都提前進(jìn)行了校準(zhǔn)。方案如下：取下標(biāo)準(zhǔn)砝碼，更換待測砝碼，考慮到彈簧的彈性限度，我們選取了校準(zhǔn)質(zhì)量分別為9.997g、19.994g、29.993g、39.988g、49.984g、59.981g的6種砝碼，依次測量并記錄不同砝碼的振動(dòng)周期數(shù)據(jù)。

2.2.3 數(shù)據(jù)計(jì)算及分析

根據(jù)已測的振動(dòng)周期Tx，采用Fortran軟件編寫的計(jì)算程序計(jì)算出待測物體的質(zhì)量Mx，結(jié)果如表2所示。同時(shí)，進(jìn)行誤差分析和不確定度的計(jì)算。

從測試結(jié)果可看出，所有待測砝碼的測量質(zhì)量均處于展伸不確定度范圍內(nèi)，表明測量結(jié)果的置信概率較高。實(shí)驗(yàn)中引入的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差[5,6]分析如下，其一，理論公式推導(dǎo)中的近似處理，比如方案中依據(jù)的式(3)和推導(dǎo)式(6)所做的近似；其二，儀器精度和環(huán)境影響所引入的系統(tǒng)誤差，如在測量定標(biāo)砝碼的質(zhì)量M0以及彈簧的質(zhì)量ms時(shí)，儀器精度、空氣阻力等因素的影響；其三，在操作過程中，尤其在測量T0和Tx時(shí)，手動(dòng)釋放彈簧以及人工截取振動(dòng)周期等帶來的隨機(jī)誤差。

3 結(jié)論與展望

本文以“用彈簧測量物體質(zhì)量”為例進(jìn)行了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)探索，項(xiàng)目組設(shè)計(jì)了以振動(dòng)周期為唯一測量值進(jìn)行質(zhì)量計(jì)算的簡便可靠方案，并較好地測量出了待測物體的質(zhì)量。在知識(shí)與技能方面，這種基于設(shè)計(jì)與實(shí)踐的綜合性學(xué)習(xí)模式體現(xiàn)了STEM的教學(xué)理念[7]，使參與者置于真實(shí)問題情境中，通過思維碰撞、動(dòng)手實(shí)操，真正實(shí)現(xiàn)了科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)的融合，提升了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力和實(shí)踐動(dòng)手能力。在情感與價(jià)值觀方面，參與者在解決問題的過程中對知識(shí)進(jìn)行自主建構(gòu)，在“做中學(xué)”的實(shí)驗(yàn)過程中初步意識(shí)到用工程的概念去解決實(shí)際問題，形成了一種工程意識(shí)，踐行了“從物理走向生活”的理念，體會(huì)到了科學(xué)和技術(shù)是推進(jìn)社會(huì)發(fā)展的重要力量。本文對未來教學(xué)過程中更多的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提供了啟迪和借鑒的素材。

表2 待測砝碼的周期和質(zhì)量