以立體幾何為背景的江蘇中高考題的命題趨勢(shì)

江蘇省宜興碩博教育培訓(xùn)中心 孫 宇

一、利用初中的方法來(lái)解答高中題

例1：如圖1 是一個(gè)用鐵絲圍成的籃框，我們來(lái)仿制一個(gè)類似的柱體形籃框。如圖2，它是由一個(gè)半徑為r、圓心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO及若干個(gè)缺一邊的矩形狀框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG圍成，其中A1、G、B1在 上，A2、A3…、An與B2、B3、…Bn分別在半徑OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分別在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，F(xiàn)H1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距離平行排放（最后一個(gè)矩形狀框的邊CnDn與點(diǎn)E間的距離應(yīng)不超過(guò)d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn。

（1）求d的值；

（2）CnDn與點(diǎn)E間的距離能否等于d？如果能，求出這樣的n的值，如果不能，那么它們之間的距離是多少？

例2：如圖3，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10 cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1 的長(zhǎng)分別為14cm 和62cm。分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm。現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm。（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度。

綜合分析：在江蘇高考的2016 年、2017 年連續(xù)出現(xiàn)了立體幾何的問(wèn)題。上面的例1 是2016 年無(wú)錫中考的最后一題，例2 是2017年的江蘇高考真題，這種題型也可在教材上找到它的影子，如蘇科版《數(shù)學(xué)2》（必修）第60 頁(yè)練習(xí)第4 題。這兩道題目的解題方法類似，而且例2 作為高考真題可以利用初中的方法進(jìn)行解答。這兩道題目的 基本解題方法均是將立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求解。而立體圖轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D的基本方法有兩種：一是將圖形進(jìn)行展開(kāi)（如例3 及其變式），另一種就是通過(guò)截面圖來(lái)進(jìn)行求解——例1 作出俯視圖、例2 作出截面圖。對(duì)于例1，由于是等腰三角形為背景，只要畫出俯視圖后，基本上理解清楚題意就可以很快求解出來(lái)；對(duì)于例2，作出截面圖，然后需要利用相似三角形的方法進(jìn)行求解。讀者可以自行做一下這兩道例題，相信會(huì)有很大收獲。

二、江蘇高考應(yīng)用題對(duì)中考數(shù)學(xué)命題的滲透與影響

例3：請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖4 所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm。

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值。

【變式】在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600 平方厘米的矩形紙板ABCD，如圖5，再在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖6，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米。

（1）當(dāng)矩形紙板ABCD的一邊長(zhǎng)為90 厘米時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；

（2）當(dāng)EH∶EF=7 ∶2，且側(cè)面積與底面積之比為9 ∶7 時(shí)，求x的值。

綜合分析：例3 及變式的命題背景類似，均是以長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖為背景，求解相關(guān)問(wèn)題。試題的來(lái)源均是這樣一道題——蘇科版《數(shù)學(xué)1》（必修1）第二章《函數(shù)》的復(fù)習(xí)參考題：如變式圖所示，在一張邊長(zhǎng)為20cm 的正方形鐵皮的4 個(gè)角上，各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是xcm 的小正方形，折成一個(gè)容積是ycm3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒，試寫出用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，并指出它的定義域。題目的解答難度不大，但是卻體現(xiàn)了高考命題和中考命題的一種趨勢(shì)，以立體幾何為背景的題型開(kāi)始顯示出威力。立體圖形包裝盒問(wèn)題，除了出現(xiàn)在2011 年江蘇高考題（例3），還出現(xiàn)在2006 年無(wú)錫中考真題、2010 年無(wú)錫中考真題中；再?gòu)?016 年無(wú)錫中考模擬題到2017 模擬題（如變式2）、2018 及2019 年模擬題，近幾年這類題型層出不窮，大有“翻身”的趨勢(shì)。