兩點(diǎn)邊值特征值問題的弱有限元方法

徐曉明 馮立婷 孫軼男

（東北大學(xué)，遼寧 沈陽110004）

1 概述

弱有限元方法可以看作是標(biāo)準(zhǔn)有限元方法的推廣，在變分方程中，經(jīng)典導(dǎo)數(shù)被弱有限元函數(shù)上定義的弱導(dǎo)數(shù)所代替。這個方法的主要特點(diǎn)是可以使用完全不連續(xù)的有限元函數(shù)，而有限元函數(shù)在邊界上的值可能與單元內(nèi)部的值無關(guān)。

本文將重點(diǎn)研究一維兩點(diǎn)邊值特征值問題的弱有限元方法。首先建立弱有限元空間，并給出一維兩點(diǎn)邊值問題的弱有限元近似；然后將這些結(jié)果應(yīng)用于一維兩點(diǎn)邊值特征值問題的求解并給出誤差分析。

2 一維兩點(diǎn)邊值問題的弱有限元逼近

考慮一維兩點(diǎn)邊值問題的特征值問題：求實(shí)數(shù)λ 和函數(shù)u是滿足：

則該問題的等價變分問題為：求λ 和||u||=1 使?jié)M足

現(xiàn)在考慮問題（1）的弱有限元逼近。在區(qū)間I=（0，1）上，對區(qū)間I 進(jìn)行剖分：

在弱有限元的分析中，在剖分Ih上定義全局離散弱函數(shù)空間，空間如下：

下面在一維空間中定義弱有限元空間：

其中

現(xiàn)在給出（1）的弱有限元方程，對于uh∈Sh，有

那么一維兩點(diǎn)邊值問題的變分方程為，對于f∈L（2Ω），求Ω）滿足

則問題（5）的弱有限元逼近為：求uh∈Sh滿足

也即：u=Kf 是問題（5）的唯一解。

然后定義算子K 的弱有限元離散近似Kh：f∈L2（Ω）→（Khf）0∈Sh滿足

可得u=（Khf）0是問題（6）的弱有限元近似。

根據(jù)橢圓問題的有限元逼近理論得到

因?yàn)閒∈L2（Ω），Khf∈Sh而不屬于L2（Ω）空間，所以我們需要引進(jìn)一個新的算子。

根據(jù)上面兩個式子整理可以得到

3 特征值問題弱有限元逼近的誤差分析

證明：利用特征函數(shù)的正規(guī)正交性，有

綜合上述，得到

因此結(jié)論成立。

故得到