Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)離散格式

孫軼男 徐曉明 馮立婷

（東北大學(xué)，遼寧 沈陽110004）

1 Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散格式

考慮只有時(shí)間t 得Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散。

引入如下記號(hào)

在節(jié)點(diǎn)tn處由（1）可以得到

在[tk-1，tk]對(duì)u 作Hermite 插值，則

顯然有

將H"2，ku（t）代替u"帶入（2）得

誤差函數(shù)為：

令

由于

那么，由（5）有

應(yīng)用分步求和公式

得：

令yk=u'k，k=1，2…n，由（8）有

我們知道其中誤差函數(shù)將（10）帶入（9）整理

其中誤差函數(shù)

2 離散格式的誤差

對(duì)于二次多項(xiàng)式H2，ku（t），它的誤差函數(shù)RH，k（t）=u（t）-H2，ku（t），1≤k≤N，有

將（14）帶入（6）

由于

我們有

由于

再將（11），（15）帶入（13）放縮整理有

3 結(jié)論

本文針對(duì)只含有時(shí)間t 的Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散提供了一個(gè)新的來源，并得到了O（τ3-β）的收斂階。利用本格式可以為以波動(dòng)擴(kuò)散方程為例的分?jǐn)?shù)階偏微分方程提供新的差分格式，并得到收斂性與穩(wěn)定性分析。