隨機泛函偏微分方程解的存在唯一性

余國勝

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

0 引言

長期以來，眾多學(xué)者研究了隨機微分方程解的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［1-5］得到了相關(guān)隨機偏微分方程解的穩(wěn)定性，但是沒有討論解的存在唯一性。文獻(xiàn)［6］主要研究了中立型隨機泛函偏微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性，同時也證明了解的存在唯一性。文獻(xiàn)［7］討論了Hilbert空間上一類隨機泛函偏微分方程強解的存在唯一性。文獻(xiàn)［8］采用變分法得到了延遲隨機發(fā)展方程解的存在唯一性。文獻(xiàn)［9］研究了無窮時滯隨機泛函微分方程解的存在唯一性。文獻(xiàn)［10］考慮了無窮維空間上隨機泛函微分方程解的存在唯一性。本文在文獻(xiàn)［6-10］的研究基礎(chǔ)上，擬討論更一般的可分的Hilbert空間上隨機泛函偏微分方程解的存在唯一性。

1 預(yù)備知識

下面給出分析的框架。V和H是實的、可分的Hilbert空間，其范數(shù)分別為||·||和|·|，相應(yīng)地V?H≡H*?V*，V*是V的對偶。映射是連續(xù)稠密的，且

令 ||·||，|·|和 ||·||*分別表示V,H和V*中的范數(shù)，< ·，·＞ 表示V*和V之間的對偶乘積，(·，·)表示H中的內(nèi)積。W(t)是定義在完備概率空間(Ω,?,P)上取值于可分Hilbert空間K的Wiener過程，其增量協(xié)方算子為Q。{?t}t≥0是由{W(s),0≤s≤t}生成的σ代數(shù)，于是W(t)是關(guān)于{?t}t≥0的一個鞅。本文擬討論下列隨機泛函偏微分方程：

其中假設(shè)ψ是?0-可測的。

A:[0,∞)× V→V*,F1:[0,∞)×C→V*和G1:[0,∞)×C→L(K,H),C=C([-r,0],H)表示從[-r,0]到H的所有連續(xù)函數(shù)全體，其中

定義1如果下列條件滿足：

①x(t)∈M2(-r,T;V)?L2(Ω,C([-r,T],H)),T＞ 0，其中M2(-r,T;V)表示定義在[-r,T]× Ω上的V-值可測函數(shù)空間，且滿足

∫T E-r||x(t)||2dt<∞。

②對t∈[0,T],幾乎必然在V*中有下列方程成立：

③下面的隨機能量等式成立：

則定義在(Ω,?,P)上的一個?t-適應(yīng)隨機過程x(t)為方程（1）的能量解。

2 相關(guān)引理

為得到（1）式的能量解x(t)存在且唯一，假設(shè)滿足以下條件：

a1.單調(diào)、壓縮條件：存在αθ＞ 0,λθ∈ R滿足

a2.可測性：對v∈V,映射t∈(0,T)→A(t,v)∈V*是Lebesgue可測的。

a3.半連續(xù)性：對u,v,w∈V,a.e.t∈ (0,T)，有

a4.有界性：對v∈V,a.e.t∈(0,T),存在c＞ 0使得

b1.Lipschitz條件：存在一個常數(shù)c1＞ 0,滿足對于ξ,η∈C,則有

證明由Burkholder-Davis-Gundy不等式有

則引理1可證。

引理2令u0≡ 0,遞歸地定義一個過程序列{un}n≥1為

則{un(t)}n≥1是一個Cauchy序列。

證明注意到u0≡ 0∈M2(-r,T;V)?L2(Ω;C(-r,T;H)),由文獻(xiàn)［11］的結(jié)果，存在唯一的un∈M2(-r,T;V)?L2(Ω ;C(-r,T;H))是式（3）的解。下面證明 {un}n≥1在M2(-r,T;V)?L2(Ω;C(-r,T;H))是一個Cauchy序列。對過程un+1(t)-un(t)運用It?公式，且由條件a1可得

由（4）式可以得到

注意到

由引理1有

由（5）～（8）式以及條件b1，則存在一個正常數(shù)k,對n≥ 1,t∈[0,T]有

由此可以定義

則有

遞推上面的不等式，可以得到

由于un+1(t)=un(t),?t∈ [-r,0],（9）式意味著在M2(-r,T;V)?L2(Ω;C(-r,T;H))中{un(t)}n≥1為一Cauchy序列。

3 主要結(jié)果

定理1若假設(shè)條件a1～a4和b1均滿足，則方程（1）存在唯一能量解，而且

證明第一步：證解的唯一性。假設(shè)u,v∈M2(-r,T;V)?L2(Ω,C(-r,T;H))是方程（1）的兩個解。由It?公式和條件a1，對于?t∈ [0,T]有

因而對于?t∈[0,T],有

對（10）式右邊估計，由條件b1，一方面

由引理1有

由（10）～（12）式，對于所有的t∈ [0,T],有

由Gronwall引理，唯一性得證。

第二步：證解的存在性。由引理2，{un(t)}n≥1為一個Cauchy序列。

方程因而存在u∈M2(-r,T;V)?L2(Ω;C(-r,T;H))有un(t)→u(t)。往證過程u(t)恰好是方程（1）的解。由條件b1有

由條件a4序列{A(t,un(t))}n≥1在M2(0,T;V*)中是有界的。因而存在子序列

以及ξ∈M2(0,T;V*),使得A(t,unk(t))弱收斂于ξ，（3）式關(guān)于nk取極限，則u是下列方程的一個解。

其中，ξ(t)由u(t)唯一確定，因而不妨假設(shè)在M2(0,T;V*)中整個序列{A(t,un(t))}弱收斂于ξ。為了證明u是方程（1）的解，往證ξ(t)=A(t,u(t)),t∈(0,T)。在區(qū)間[0,T]上分別對|un(t)|2和|u(t)|2運用It?公式可以得到

和

將（14）式兩邊取極限，并與（15）式比較有

對?x∈M2(0,T;V)和所有n≥ 1，由條件a1有

對（17）式兩邊取極限，?x∈M2(0,T;V)有

令x(s)=u(s)-δ z(s)，其中z∈M2(0,T;V),δ＞ 0，于是

將（18）式兩邊同時除以δ，并令δ→ 0，由條件a3有

因而A(s,u(s))=ξ(s), ?s∈ (0,T)。