矩陣秩的求解方法及應(yīng)用探索

李燕娟

(蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院，蘭州 730000)

1 矩陣秩的定義及性質(zhì)

由文獻(xiàn)[1]，給出k階子式、矩陣秩的定義及矩陣秩的性質(zhì)：

定義1：在m×n矩陣A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。

定義2：設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有高于r階的子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)=r，并規(guī)定零矩陣的秩為0。

講解時，強(qiáng)調(diào)“有1個”r階子式不等于0，“所有”高于r階的子式全等于0，說明高于r階的子式可能不存在(比如r階方陣的行列式不等于0，此時不存在高于r階的子式)。

注：矩陣A的秩R(A)就是A的非零子式的最高階數(shù)。

講解矩陣秩的概念后，給出3個問題讓學(xué)生們思考：

(i)若R(A)=r，是否所有r階子式都不等于0？(否，因?yàn)橛?個即可。)

(ii)若存在r+1階子式等于0，是否有R(A)=r？(否，因此要求所有，而不是存在。)

(iii)若所有r+1階子式等于0，是否所有高于r+1階子式全等于0？(是，可以由行列式按行(列)展開定理保證。)

由矩陣A秩的定義，可得到矩陣的秩具有下列性質(zhì)：

(i)若A為m×n矩陣，則0≤R(A)≤min{m,n}；(由定義1和2可得)

(ii)R(A)=R(AT)；(由行列式的性質(zhì)行列式與行列式的轉(zhuǎn)置相等及定義2可得)

(iii)n階方陣可逆的充要條件是R(A)=n。(由矩陣A可逆的充要條件|A|≠0及定義2可得)

由此可見，可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)。因此，可逆陣(非奇異陣)又稱滿秩矩陣，不可逆陣(奇異陣)又稱降秩矩陣。

2 矩陣秩的求解

由例1可知：

(i)對于r階方陣A，若其行列式不等于0，則R(A)=r滿秩，否則，尋求是否有1個r-1階子式不等于0。若有1個r-1階子式不等于0，則R(A)=r-1，否則，尋求是否有1個r-2階子式不等于0，以此類推……

(ii)對于一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)與列數(shù)較高時，按定義求秩很麻煩。然而對于行階梯形矩陣，它的秩就等于非零行的行數(shù)，一看便知。因此，自然想到利用初等變換把矩陣化為行階梯形矩陣。

問題：初等變換前后兩個等價矩陣的秩是否相等呢？

定理[2]：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。

由定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩。

解：將A進(jìn)行初等行變換化成行階梯形矩陣，

∴R(A)=3

解：先對矩陣A進(jìn)行初等行變換化成行階梯形矩陣，

∵R(A)=2，∴第三行元素全為0，因此m=6,n=27。

矩陣求秩除了定義法和化行階梯形矩陣法，還可利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件求解。比如對于例2，只需在Matlab中編寫程序：

clear all; clc

A=[1,1,1,0;1,2,3,-1;2,-1,0,1;2,3,0,1]

B=rank(A)

按Enter鍵，即可輸出矩陣A和A的秩B=3。

3 矩陣秩的應(yīng)用

矩陣秩的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，如：可以用來判定方陣是否可逆、判定向量組的線性相關(guān)性、判定線性方程組解的情況，等等。下面就矩陣的秩在判定向量組的線性相關(guān)性和解線性方程組中的應(yīng)用進(jìn)行闡釋。

(1)當(dāng)m+12=0，即m=-12時，R(A)=2<3，則向量組α1,α2,α3線性相關(guān)。

(2)當(dāng)m+12≠0，即m≠-12時，R(A)=3，則向量組α1,α2,α3線性無關(guān)。

注：該題也可利用行列式是否為零來判定向量組的線性相關(guān)性。

解：對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，首先化成行階梯形矩陣，

∴R(A)=2<4，因此該方程組有非零解。進(jìn)一步對矩陣進(jìn)行初等行變換化成行最簡形矩陣，

注：從此例中，我們看到3個方程構(gòu)成的線性方程組，系數(shù)矩陣的秩為2，“真正起作用”的只有2個方程，即線性方程組中系數(shù)矩陣的秩等于“真正起作用”的方程的個數(shù)。

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對學(xué)生進(jìn)行思政教育，在此引入《韓非子·內(nèi)儲說上》中“濫竽充數(shù)”的故事：“齊宣王使人吹竽，必三百人。南郭處士請為王吹竽，宣王說之，廩食以數(shù)百人。宣王死，湣王立。好一一聽之，處士逃?！惫适轮械哪瞎壬鸁o真實(shí)才學(xué)，300人中真正會吹芋的只有299人。這個300人的樂隊(duì)，如果看作一個由300個方程構(gòu)成的線性方程組的話，“真正起作用”的只有299個方程。此時，教育學(xué)生唯有勤奮好學(xué)，腳踏實(shí)地，學(xué)得真本領(lǐng)，將來才能真正做個對社會有用的人，方可立于不敗之地。

4 結(jié)語

從矩陣秩的定義著手，深入剖析矩陣秩概念蘊(yùn)含的意義，多角度深層次闡釋矩陣的秩。首先由定義求解矩陣的秩，進(jìn)而針對實(shí)際求解中可能遇到的問題，發(fā)現(xiàn)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)等于矩陣的秩，因此對矩陣進(jìn)行初等行變換化成行階梯形矩陣，從而獲得矩陣的秩。由不含未知參數(shù)和含未知參數(shù)兩種情況舉例說明。為了適應(yīng)信息時代的發(fā)展，文中給出了利用Matlab軟件求解矩陣秩的方法步驟。最后給出了矩陣秩的應(yīng)用，分別舉例說明矩陣的秩在判定向量組的線性相關(guān)性和求解線性方程組中的實(shí)際應(yīng)用。為了闡釋矩陣的秩表示了線性方程組中“真正起作用”的方程的個數(shù)，舉例“濫竽充數(shù)”的故事，既提高了課堂的趣味性，又起到了育人的作用。