基于T-X變換的廣義指數(shù)威布爾分布及性質(zhì)

包振華, 王海玥

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

指數(shù)分布在可靠性領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，可用來描述電子產(chǎn)品在隨機(jī)失效階段的可靠性. 然而，由于產(chǎn)品自身的復(fù)雜性以及所處階段的不確定性等因素，僅僅使用指數(shù)分布進(jìn)行數(shù)據(jù)耦合是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 基于此，文獻(xiàn)中對指數(shù)分布進(jìn)行了各種形式的推廣. 例如，Barreto-Souza等[1]研究了β廣義指數(shù)分布，并證明它的擬合優(yōu)于Nadarajah和Kotz[2]研究的β指數(shù)分布和Gupta和Kundu[3]研究的廣義指數(shù)分布.

威布爾分布是指數(shù)分布的另外一種推廣形式，近年來，在工程學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、電子等領(lǐng)域受到了廣泛的應(yīng)用. 與此同時(shí)，威布爾分布所產(chǎn)生的局限性也逐步暴露，它難以解決失效率函數(shù)圖像為浴盆或倒浴盆形狀的情況. Mudholkar和Srivastava[4]提出了指數(shù)威布爾分布，該分布能很好地解決失效率函數(shù)圖像為浴盆和倒浴盆形狀的情形. 該分布是通過在威布爾分布中添加一個(gè)形狀參數(shù)推廣得到的，其分布具有單峰、浴盆和單調(diào)形狀的失效率函數(shù)圖像. Bourguignon等[5]研究了威布爾指數(shù)分布，實(shí)證結(jié)果顯示，它比指數(shù)威布爾分布具有更優(yōu)的擬合效果. Cordeiro等[6]研究了帶有兩個(gè)參數(shù)的廣義威布爾分布族，全面地討論了它的一般統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，這些模型可以應(yīng)用于生存分析中的刪失數(shù)據(jù)，數(shù)值分析表明該分布族具有顯著的擬合優(yōu)勢. 其他相關(guān)模型參見文獻(xiàn)[7].

本文使用T-X變換方法，得到一類廣義指數(shù)威布爾分布，并研究了它的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，包括分位數(shù)函數(shù)、概率加權(quán)矩、Rényi熵等的解析表達(dá)式.

1 模型構(gòu)建

Alzaatreh等[8]提出了一種生成連續(xù)分布族的新方法，稱為T-X變換法. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為G(x)，概率密度函數(shù)g(x)；設(shè)T是定義在[a,b]上的連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為r(t)，分布函數(shù)為R(t)，則新的分布族的分布函數(shù)由下式給出:

(1)

其中,W(G(x))需滿足一定的附加條件，參見文獻(xiàn)[8]. 特別的，令式(1)中W(G(x))=-log(1-G(x))，則可以得到

(2)

假設(shè)隨機(jī)變量T具有指數(shù)威布爾分布，其分布函數(shù)定義為

R(t)=[1-exp(-αtβ)]θ, 0≤t≤∞.

(3)

當(dāng)式(2)中的T具有指數(shù)威布爾分布時(shí)，給出一個(gè)特定的分布G(x)，就可以得到一個(gè)廣義指數(shù)威布爾分布，簡記為GEW-G分布,分布函數(shù)為

F(x)={1-exp[-α(-log(1-G(x)))β]}θ.

(4)

式(4)對應(yīng)的密度函數(shù)為

(5)

GEW-G分布允許尾部具有更大的靈活性. 當(dāng)分布函數(shù)G(x)和密度函數(shù)g(x)具有簡單的解析表達(dá)式,如正態(tài)分布、岡貝爾分布、對數(shù)正態(tài)分布、對數(shù)邏輯分布等，式(5)處理起來就會變得非常容易.

2 GEW-G分布函數(shù)的緊湊表達(dá)式

對于任何實(shí)參數(shù)c和z∈(0,1)，可以證明

(6)

其中,pi(c)是Stirling多項(xiàng)式. 前6項(xiàng)分別為

p0(ω)=1/2,p1(ω)=(2+3ω)/24,p2(ω)=(ω+ω2)/48,p3(ω)=(-8-10ω+15ω2+15ω3)/5 760，

p4(ω)=(-6ω-7ω2+2ω3+3ω4)/11 520,p5(ω)=(96+140ω-224ω2-315ω3+63ω5)/2 903 040.

為了分析式(4)和式(5)，對于任意的分布函數(shù)G(x)和參數(shù)a>0，定義一個(gè)新的隨機(jī)變量expG(a)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)如下:

ha(x)=aG(x)a-1g(x),Ha(x)=G(x)a.

用廣義二項(xiàng)式定理和冪級數(shù)展開式(2)，得到

將{-log[1-G(x)]}β m用式(6)展開，得到

將G(x)β m和G(x)i+β m+1用冪級數(shù)展開，代入F(x)得到

因此，F(xiàn)(x)可以表示為

(7)

其中,Hk(x)表示expG(k)分布的分布函數(shù),其中,

(8)

對式(7)求導(dǎo)得到相應(yīng)的密度函數(shù)為

(9)

其中,hk+1(x)表示expG(k)分布的密度函數(shù)，vk=ωk+1.

3 GEW-G分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

本節(jié)討論GEW-G的相關(guān)統(tǒng)計(jì)性質(zhì).首先，給出GEW-G分布的分位數(shù)函數(shù)的表達(dá)式.設(shè)QG(u)=G-1(u)為G的分位數(shù)函數(shù)，其中,0

(10)

式(10)表明GEW-G的分位數(shù)函數(shù)可以用G的分位數(shù)函數(shù)來表示. 特別的，當(dāng)u=1/2時(shí)，GEW-G的中位數(shù)可以表示為

還可以使用式(10)通過將u設(shè)置為單位區(qū)間(0,1)中的均勻隨機(jī)變量模擬GEW-G隨機(jī)變量. 將式(10)用冪級數(shù)展開，可以得到:

假設(shè)隨機(jī)變量Y服從GEW-G分布,Y的(n,s)-階概率加權(quán)矩定義為Kn,s=E[YnF(Y)s]，利用二項(xiàng)式定理可以得到

將Kn,s中的指數(shù)用冪級數(shù)展開并整理得

用式(6)，經(jīng)計(jì)算可得

用廣義二項(xiàng)式定理展開G(x)β(m+l+t+1)+q-1和G(x)β(m+l+t+1)+i+q+1，可以得到

令

則有

(11)

其中,

式(11)可應(yīng)用于多數(shù)基準(zhǔn)G分布.

最后討論GEW-G分布的熵. 熵是隨機(jī)變量不確定性的一種度量. 一種常用的熵測度是Rényi[9]提出的. 密度函數(shù)為f(·)的隨機(jī)變量的Rényi熵定義如下:

當(dāng)隨機(jī)變量Y服從GEW-G分布時(shí)，

{exp[-α(-log(1-G(x)))β]}r(-log(1-G(x)))r(θ-1).

將上式用廣義二項(xiàng)式定理展開

{αr(θ-1)[-log(1-G(x))]β}m=

(12)

其中,

(13)

(14)

用式(6)和二項(xiàng)式定理得

其中,

所以,

則Y的Rényi熵為