高觀點下一個中學概率問題的分析與啟示①

李杰民 廖運章

(1.廣州大學數(shù)學與信息科學學院 510006；2.嶺南師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 524048)

1 問題提出

《數(shù)學通報》2017年第5期刊登了文章《一個概率問題的解決及其啟示》，該文介紹了一個“不起眼”的概率題以及如何尋找問題解答的過程和思考[1]. 問題是：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面記1分，出現(xiàn)反面記2分，連續(xù)拋擲多次，問恰好得到3分的概率為多少？

為了解決該“困擾”，文[1]由賽制啟發(fā)得到了一種“虛擬解法”. 形式上，它是一個類似賽制的表格；本質(zhì)上，是將“2維”的樣本點升級到“3維”，統(tǒng)一到一個樣本空間，回到“古典概型”框架下解決問題.

2 高觀點下問題的探究與解決

以“高觀點下的初等數(shù)學”為主題的研究日漸增多，不少高師院校還專門開設了此類課程，但要找出中學數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系并非易事，學習了高等數(shù)學而不能很好的指導中學數(shù)學教學的情況也普遍存在，以致很多學生錯誤的認為高等數(shù)學的學習并不能為初等數(shù)學教學帶來多少幫助. 文[1]關(guān)于一個概率問題的探究為我們提供了一個難得的案例，我們在大學教學中引入該案例，讓學生清晰地看出了問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，深刻領(lǐng)悟到大學知識與方法對中學問題及其解決的指導意義，以及大學概率課程與中學概率知識一脈相承的關(guān)系，引發(fā)了學生的強烈共鳴.

馬爾可夫過程是隨機過程的重要組成部分，也是隨機過程研究中最為成熟一個分支，離散時間離散狀態(tài)的馬爾可夫鏈更是因其通俗易懂、應用廣泛而廣為人知. 學完馬爾可夫鏈的定義后，書本介紹了幾個“隨機游動”的例子，但“隨機游動”也是概率統(tǒng)計學家從實際問題中抽象出來的模型，尚未與學生的認知建立深刻的聯(lián)系. 此時我們開始向?qū)W生介紹文[1]中的問題，首先讓學生思考，由于文[1]的問題比較簡單，又來自高中，學生非常興奮，很快解答出來，解法大多與文[1]中“教師B的方法”相同. 然后，告知學生該問題的本質(zhì)是一個馬爾可夫鏈，學生難以置信，怎么突然和馬爾可夫鏈聯(lián)系起來了？

事實上，引進隨機變量Yn,n=1,2,…. 若第n次拋擲時出現(xiàn)反面，令Yn=2；若第n次拋擲時出現(xiàn)正面，令Yn=1；再引進隨機變量Xn,n=0,1,2,…，令Xn=Y1+Y2+…+Yn,n=1,2,…，規(guī)定X0=0. 顯然，這里的Xn表示拋擲n次后的得分情況.

要計算得到3分的概率，即研究n取何時Xn=3，并計算該事件發(fā)生的概率. 由前面教師B的解法可知，所求概率為P(X2=3)+P(X3=3)，但如此繼續(xù)下去，與教師B的解法并無實質(zhì)不同. 其實，n取何時Xn=3并不是問題的重點，n取何時Xn=0也無關(guān)緊要，問題的核心是：計算“Xn從0分變到3分的概率”，抓到了這個本質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為一個條件概率的計算問題.

我們將隨機變量序列Xn,n=0,1,2,…的取值情況作圖如下(圖1).

圖1 隨機變量序列取值狀態(tài)變化圖(等可能情形)

這是一個有向圖，賦權(quán)圖，這不正是馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖嗎？圖中數(shù)字0,1,2,…原本表示“得分”，經(jīng)過抽象，稱其為隨機變量序列所處的“狀態(tài)”，圖中的其他數(shù)字即“權(quán)”，正是馬爾可夫鏈的“一步轉(zhuǎn)移概率”，表示隨機變量序列從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另外一個狀態(tài)的概率.

具體的說，pij=P(Xn+1=j|Xn=i)表示隨機變量序列Xn,n=0,1,2,…從“n時刻處在狀態(tài)i”轉(zhuǎn)移到“n+1時刻處在狀態(tài)j”這樣一個條件概率，很明顯，此條件概率的值與隨機變量序列在n時刻之前的時刻所處的狀態(tài)無關(guān)，即滿足“馬爾可夫性”，也稱“無后效性”.

因此，隨機變量序列Xn,n=0,1,2,…描述的正是一個馬爾可夫鏈，而且是齊次馬爾可夫鏈，文[1]中的問題轉(zhuǎn)化為求此馬爾可夫鏈由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“3”的概率.

學生恍然大悟，原來，求馬爾可夫鏈由一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的概率并非概率統(tǒng)計學家憑空想象出來的，而是存在實際問題的需求與驅(qū)動，馬爾可夫鏈也不僅僅是教材上的概念，而是在生活中廣泛存在的，拋擲硬幣這樣簡單的試驗竟然“拋出”一個馬爾可夫鏈. 事實上，馬爾可夫鏈正是概率統(tǒng)計學家從隨機現(xiàn)象研究中發(fā)現(xiàn)并抽象出來的一類隨機模型，通過對該類模型的研究反過來可以指導解決一大批實際問題.

接下來，考慮由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“3”的概率的計算.

方法1：從圖1可以看出，從狀態(tài)“0”變成狀態(tài)“3”，有三條不同的“道路”，所求的概率為

如此簡明，如此清晰.

不僅如此，即使沒有等可能性，問題解決沒有任何難度增加. 比如，若硬幣是非均勻的，假設出現(xiàn)正面的概率是1/3，出現(xiàn)反面的概率是2/3，只需將圖1中的表示概率的數(shù)字改動一下，如圖2.

圖2 隨機變量序列取值狀態(tài)變化圖(非等可能情形)

此時，所求的概率為

可見，“等可能性”并非文[1]問題的本質(zhì)特征.

方法2：正如圖的矩陣表示一樣，馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化圖可以用矩陣表示，而且根據(jù)C-K方程，馬爾可夫鏈的“多步轉(zhuǎn)移概率矩陣”是“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”的冪，寫出“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”A，然后計算矩陣的冪A2，A3，…，令B=A+A2+A3，矩陣B的第一行第四列的元素就是我們要求的概率. 由于這里的矩陣都是無限矩陣，限于篇幅，我們僅僅寫出A如下，矩陣A2，A3和矩陣B省略了.

如此嚴謹，如此細致.至此，學生不但對問題的本質(zhì)有了清晰的了解，而且認識到大學概率知識對中學概率問題的指導意義，也理解了大學為什么要引進“可達”、“首次到達”以及后面還要學習的“常返性”，“極限定理與平穩(wěn)分布”等概念與知識，感受到大學課程的嚴謹與深度.

3 啟示與建議

通過對文[1]問題進行高觀點視域下的解讀與分析，不但看清了問題的實質(zhì)，了解了大學方法的嚴謹與深刻，至少還可以得到以下三個方面的啟示.

3.1 關(guān)于虛擬解法的價值與局限

文[1]的探究過程圍繞如何構(gòu)造一個“古典概型”的樣本空間展開，加深了師生對“古典概型”的認識，讓師生意識到構(gòu)造一個合適的“樣本空間”的重要性.

但該方法使用起來并不方便，文[1]談到了樹形圖，樹形圖實際上是該方法的另一種表現(xiàn)形式，“樹”是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，“虛擬解法”可以編程實現(xiàn)，但編寫程序是另外一個專業(yè)問題，不編寫程序，“虛擬解法”無論在高中階段還是大學階段，使用起來都不方便. 特別是，隨著樣本空間“維數(shù)”的上升，對計算機影響不大，人類卻難以忍受這種枯燥乏味、費時且容易出錯的方法，另外，“虛擬解法”適用范圍有限，如果沒有等可能性，該方法失效.

但教師B的方法仍然可行！教師B的方法簡單而實用，易于被學生掌握，建議高中階段采用教師B的解法，當然，需要將問題的探究時機調(diào)整到“獨立事件的概率乘法公式”知識點之后，這要求教師對概率知識的全貌有較好的把握，并了解其在高中數(shù)學教材中的分布情況，特別是前后有緊密關(guān)聯(lián)的知識點. 比如，人教版將“古典概型”安排在必修3的§3.2[2]，“獨立事件的概率乘法公式”安排在選修2-3的§2.2“二項分布及其應用”[3]，這兩個知識點一般都出現(xiàn)在大學“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的第一章“概率論的基本概念”[4]，高中階段卻分開出現(xiàn)在兩本書，教師應該意識到這些差異.

文[1]的探究過程為我們提供了一個難得的案例，如果意識到“虛擬解法”的不足，將其作為階段性成果，繼續(xù)展開探究，尋找更合適的解法，結(jié)果將更加深刻.

比如，可以采用隨機變量這個研究隨機現(xiàn)象的核心工具，使用隨機變量表示事件(隨機事件簡稱)比使用集合表示事件更深刻、更入微、更動態(tài)，更能找出不同事件之間的聯(lián)系，更能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 正如數(shù)理邏輯中“謂詞邏輯”與“命題邏輯”的關(guān)系一樣[5].

bi-square權(quán)函數(shù)相對于全局線性回歸(oLS）模型來說，基于函數(shù)之下的局部空間回歸(GWR)模型擬合優(yōu)度最高，其對于城市旅游效率的影響因素分析更為明確。

如果將問題的探究時機安排在人教版選修2-3的§2.2之后，此時不但學完了“獨立事件的概率乘法公式”，也學完了“隨機變量”以及“二項分布”，為深入探究提供了知識保障. 事實上，前面介紹的隨機變量Yn,n=1,2,…獨立同分布，但Xn,n=1,2,…并非獨立，而是存在相依關(guān)系：Xn=Xn-1+Yn,n=1,2,…. 可見，此問題在高中階段其實存在一定的難度，不要被其簡單的外表所蒙蔽.

3.2 關(guān)于“古典概型”的把握

前面的高觀點解讀已經(jīng)發(fā)現(xiàn)文[1]中的問題與“等可能性”關(guān)系不大，其實，認真考察教師B的方法也能看出這一點. 教師B的方法實際上用到了分類討論思想或者加法原理：要得3分，應該是連續(xù)拋擲2次或者3次，這是兩種不同的得分途徑，因此采用加法原理. 此外，教師B的方法還用到了獨立事件的概率乘法公式. 如果將該方法完整的表達出來，應該是：設A表示事件“恰好得3分”，B表示事件“連續(xù)拋擲兩次后得3分”，C表示事件“連續(xù)拋擲三次后得3分”，問題為求事件A發(fā)生的概率P(A).

因為P(A)=P(B)+P(C)，轉(zhuǎn)而計算P(B)和P(C). 設Bi表示事件“第i次拋擲出現(xiàn)正面”，Ci表示事件“第i次拋擲出現(xiàn)反面”，i=1,2,…，由題意得P(Bi)=1/2,P(Ci)=1/2,i=1,2,…，因為B=B1C2∪C1B2，所以P(B)=P(B1)·P(C2)+P(C1)P(B2)=1/2，因為C=B1B2B3，所以P(C)=P(B1)P(B2)P(B3)=1/8，因此，所求的概率為P(A)=P(B)+P(C)=5/8.

注意，這里P(Bi)、P(Ci)的值是默認的，即通常情況下，默認拋擲硬幣試驗滿足“等可能性”. 但是，從以上解題步驟可以看出，教師B的方法并不依賴于“等可能性”. 因為該測試題被意外的安排在“古典概型”之后，學生尚未學習“獨立事件的概率乘法公式”，導致文[1]對教師B的解法出現(xiàn)了另外一種解讀：將P(B)、P(C)的計算改用如下的方法：考慮樣本空間Ω2={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，于是，P(B)=2/4；考慮樣本空間Ω3={(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，于是，P(C)=1/8.

注意，這里計算P(B)、P(C)并沒有用到“獨立事件的概率乘法公式”，而是用到了“古典概型”概率計算公式. 設Ω={正，反}，則Ω2=Ω×Ω=Ω2,Ω3=Ω×Ω×Ω=Ω3，即集合的笛卡爾積，這里的計算用到了三個樣本空間：Ω、Ω2、Ω3，樣本空間從“1維”上升到“2維”、“3維”，問題變得復雜，但即使采用不同的樣本空間來分別計算P(B)與P(C)，只是繁瑣，并沒有使問題變難，而本文開頭部分提到的那個錯誤解法試圖將不同“維數(shù)”的樣本點放在一起構(gòu)成一個樣本空間，導致了錯誤的出現(xiàn).

以上解法出現(xiàn)了三個不同的樣本空間，且樣本點的“維數(shù)”也不相同，而教科書的例題[2]與高中新課標附錄中的“案例12”(投擲骰子問題[6])的樣本空間都是確定的，樣本點的“維數(shù)”是固定的. 因此，基于教材例題與新課標案例的示范作用，教師A提出了質(zhì)疑，認為應該具體指出拋擲次數(shù). 但教師B的解法借助“獨立事件的概率乘法公式”與“加法原理”進行解題，避免了出現(xiàn)不同“維數(shù)”的樣本點，只用到了一個最簡單的樣本空間Ω={正，反}.可見，問題是不是“難題”與解法的選擇有密切關(guān)系，僅僅借助“古典概型”去解決問題反而增加了問題的難度.

此案例表明，單純依靠“古典概型”解題不但不會使問題簡化，反而可能變得棘手，因此，解決問題應該是多個知識點的綜合運用，需要正確把握“古典概型”的定位.“古典概型”之所以“古典”，不僅是因為其歷史較為悠久(拉普拉斯于1814年最早給出了“古典概型”的定義[7])，而且是因為“古典概型”是概率論學科發(fā)展過程中最簡單的模型. 因此，“古典概型”是概率課程學習與研究的起點與基礎(chǔ)，教學中不宜過多的停留，應該引導學生往前走，去學習和掌握更便利、更現(xiàn)代的研究方法與工具.

事實上，現(xiàn)實中滿足“等可能性”的隨機現(xiàn)象占比是少數(shù)，一味地嘗試回到“古典概型”去解決復雜的隨機現(xiàn)象是“概率與統(tǒng)計”教學中存在的一個誤區(qū)，并非個案，以下是筆者最近聽到的一個案例.

問題：一個酒鬼的鑰匙串上有k把看起來相同但實際上不同的鑰匙，其中只有一把可以打開他家的大門，午夜回家，他一把鑰匙、一把鑰匙的嘗試開自家的大門，如果每一次他都隨機地選擇沒有試過的一把鑰匙，那么在試到第n(1

我們知道，事件“門被打開”等價于事件“選對鑰匙”，k把鑰匙中，1把可以打開家門，k-1把不能打開家門，設Ai(i=1,…,k)表示事件“第i次取到對的鑰匙”，顯然P(A1)=1/k，然后，利用條件概率與乘法定理可以計算出P(A2)=1/k，…，P(An)=1/k，至此，問題已經(jīng)解決，但令人驚訝的是，主講人拋出第二種解法：設樣本空間Ω={A1,A2,…,Ak}，由“古典概型”可知，所求概率為P(An)=1/k. 雖然是有限個樣本點，但“等可能性”從何而來呢？因為第一種解法已經(jīng)證明了這個問題與“無放回摸球模型”[8]實際上是同一個概率模型，旨在說明“條件概率”與“乘法定理”的重要作用，而不是歸功于“古典概型”.

高中數(shù)學新課標比之前的實驗版增加了“有限樣本空間”的內(nèi)容，新課標解讀指出：“古典概型”是有限樣本空間的重要特例，如果不講有限樣本空間，直接從“古典概型”說起，會對學生理解概率造成一定的影響[9]. 突出“有限樣本空間”，將“古典概型”作為其特例，新課標給出了明確的導向，有利于學生對概率的理解，也有利于概率教學，特別是對“古典概型”的把握. 俄羅斯著名教科書《概率》[10]第一節(jié)“有限種結(jié)局試驗的概率模型”，正是采用了這樣一種編寫思路.

3.3 關(guān)于高師概率統(tǒng)計課程教學改革

在講授“馬爾可夫鏈”知識點時，由于文[1]案例的引入，學生產(chǎn)生了強烈的共鳴，是多次講授該內(nèi)容以來學生參與程度最高，理解最好的一次. 可見，大學課堂需要加強與高中階段的聯(lián)系，要通過各種渠道了解、研究高中數(shù)學教學情況，尋找合適的案例，合適的切入點，使大學教學更有活力和吸引力.

時代的發(fā)展促進了人們對“概率統(tǒng)計”重要性的認識，基礎(chǔ)教育階段數(shù)學課程也加強了“概率與統(tǒng)計”的教學，但數(shù)學師范生所學的“概率統(tǒng)計”知識有限，儲備不足，對隨機現(xiàn)象研究的復雜性認識不夠，對“隨機變量”這個重要的研究工具領(lǐng)悟不深. 比如，我校數(shù)學專業(yè)使用的概率統(tǒng)計教材[4]含有馬爾可夫鏈的內(nèi)容，但多數(shù)同類教材并沒有介紹該內(nèi)容，需要教師適當補充介紹，這也涉及到學時和任課教師本身的知識儲備問題.

高師“概率統(tǒng)計”教學應當做好與高中階段的銜接，為此，應當調(diào)整大學“概率統(tǒng)計”的教學內(nèi)容，將與高中階段重復但高中階段已經(jīng)掌握較好的教學內(nèi)容進行“泛讀”，適當減少學時避免簡單的重復；而高中階段迫切需要卻被大學階段忽略的知識點應當增加學時補充講授；開展大學與高中的教學交流與聯(lián)系等等.

4 結(jié)束語

一個看似“不起眼”的“小問題”，隱藏著隨機數(shù)學中的“大道理”，問題及其求解建立了高中與大學概率教學的聯(lián)系，不僅值得中學教師探究與思考，也為大學教學提供了一個難得的案例.

在高中概率教學中，教師應在課前對概率知識的全貌及其在教材中的分布情況做好了解，精選課后測試題；正確把握“古典概型”的定位，了解“古典概型”的局限性，尋找更合適的工具與方法，既會用集合表示事件，也應當熟悉使用隨機變量來刻畫事件. 高師院?！案怕式y(tǒng)計”課程教學應當認真研究與高中階段數(shù)學教學的銜接問題，努力提升師范生“概率統(tǒng)計”知識儲備水平.