基于數(shù)學(xué)史料的高中數(shù)學(xué)問題編制策略①

汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引 言

近年來，隨著HPM視角下課例研究的深入開展以及一系列相關(guān)課例的發(fā)表，越來越多的數(shù)學(xué)教師開始關(guān)注HPM的教學(xué)理念、教育價值和教學(xué)策略.一般說來，數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式[1].除了附加式(介紹數(shù)學(xué)家的生平軼事、提供數(shù)學(xué)史閱讀材料等)外，其他三種方式都與問題提出息息相關(guān)：復(fù)制式指的原始材料的直接采用(有時需要進(jìn)行必要的語言轉(zhuǎn)換)，其中最主要的材料之一就是歷史上的數(shù)學(xué)問題；順應(yīng)式指的是對數(shù)學(xué)史料的改編，包括對問題的改編；重構(gòu)式是指借助一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的問題串，再現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展過程.因此，在HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題乃是數(shù)學(xué)史的最重要的載體.

另一方面，近年來，高考數(shù)學(xué)卷中相繼出現(xiàn)了一些涉及數(shù)學(xué)文化的問題，這些問題引起人們的濃厚興趣，已有大量文獻(xiàn)對這些問題做過分析(如[5-11]).數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，討論高考數(shù)學(xué)文化題，都繞不開基于數(shù)學(xué)史的問題.盡管已有部分文獻(xiàn)對數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)史問題進(jìn)行了分類(如[6]和[8])，但分類方法還有待于進(jìn)一步論證、細(xì)化和修正.本文的研究問題是：如何從數(shù)學(xué)史料出發(fā)，編制數(shù)學(xué)問題？高考數(shù)學(xué)卷中涉及數(shù)學(xué)史的問題反映了問題提出的哪些策略？

我們希望在已有相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，建立“基于數(shù)學(xué)史的問題提出策略”的分類框架，并用于部分高考試題以及高中數(shù)學(xué)典型問題的分析，為未來HPM視角下的課堂教學(xué)和試題命制提供參考.

2 基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略

美國學(xué)者希爾佛(Silver)等人的研究表明，根據(jù)已知情境或已知問題提出新問題的具體策略有四種[2][3]：

其中前兩種策略即為所謂的“否定屬性”(what-if-not)策略.如果給定情境是含有條件和目標(biāo)(或結(jié)論)的數(shù)學(xué)史材料(主要是數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)問題)，那么相應(yīng)地，“基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略”也包含上述四類，從數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式上說，這四種策略都屬于順應(yīng)式.但是，希爾佛在其研究中所發(fā)現(xiàn)的問題提出策略，并不考慮課堂教學(xué)的需求，而本文所說的“基于數(shù)學(xué)史的問題提出策略”是服務(wù)于課堂教學(xué)的，因而有其特殊性.對于含有條件和目標(biāo)(或結(jié)論)的數(shù)學(xué)史料來說，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

對于不含條件或目標(biāo)(或結(jié)論)的數(shù)學(xué)史料(主要是指概念定義、作圖工具等)，為了編制滿足課堂教學(xué)需求的問題，需要設(shè)定條件或目標(biāo)，此時的策略也屬于“自由式策略”.

因此，“基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略”至少有七類，見表1.

表1 基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略

例如，《九章算術(shù)》勾股章中設(shè)有如下問題(通常稱為“勾股容方問題”)：“今有勾五步，股十二步，問：勾中容方幾何？”如果我們以該問題作為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用各種策略，分別可以提出以下新問題.

問題1：已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，求與該直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長.(復(fù)制式)

問題2：有一塊直角三角形空地，直角邊長分別為5米和12米.現(xiàn)要在該空地上建一個面積最大的正方形花壇，求該花壇的邊長.(情境式)

問題3：已知直角三角形的兩條直角邊長分別為7米和25米，求與直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長.(條件式)

問題4：已知直角三角形的直角邊為a和b，求其內(nèi)接正方形的邊長.(條件式)

問題6：已知直角三角形的直角邊為5和12，求其內(nèi)接正方形的面積.(目標(biāo)式)

問題9：如圖1，若Rt△ABC的兩條直角邊分別為a和b，正方形CEDF和MNPQ為它的兩個不同的內(nèi)接正方形，試比較ECFD和MNPQ邊長的大小.(自由式)

圖1 勾股容方新問題

問題10：如圖1，正方形CEDF和MNPQ內(nèi)接于同一個直角三角形ABC，其面積分別S1和S2，A=α.已知S1=441，S2=440，求sin2α.(自由式)

3 基于數(shù)學(xué)史料的高考題

3.1 復(fù)制式問題

高考數(shù)學(xué)卷中的“復(fù)制式”問題較多取自中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和《數(shù)書九章》，如《九章算術(shù)》中的“九節(jié)均容”問題(2011年湖北文理卷)、“委米依垣”問題(2015年全國課標(biāo)I卷)、《數(shù)書九章》中的“天池測雨”問題(2013年湖北文科卷)、“米谷粒分”問題(2015年湖北文理卷)等.2017全國II卷采用了明代數(shù)學(xué)家程大位(1533—1606)《算法統(tǒng)宗》中的問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增.共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這是一道已由等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)、公比與和求首項(xiàng)的問題.命題者除了對原文進(jìn)行翻譯外，原題的情境、已知條件和目標(biāo)都不變，故屬于“復(fù)制式”問題.

有些問題看似與數(shù)學(xué)史無關(guān)，但如果從數(shù)學(xué)史的角度去看，卻是古代數(shù)學(xué)家解決過的問題.如2017年江蘇卷中的一題：“如圖(圖2)，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1/V2的值是______.”該問題正是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes, 前287—前212)曾經(jīng)孜孜以求的問題，問題的解決是阿基米德生前最引以為豪的工作，而在他去世之后，求與外切圓柱還被刻在他的墓碑上.因此，我們也可以將本題視為“復(fù)制式”問題.

圖2 圓柱及其內(nèi)切球

3.2 條件式問題

2018年浙江數(shù)學(xué)卷根據(jù)《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題編制了一道方程問題：

這里，命題者對“百雞問題”中的條件進(jìn)行操作，將原題中的不定方程組改編為一個適定的二元一次方程組，故屬于“條件式”問題.

3.3 目標(biāo)式問題

2017年浙江數(shù)學(xué)卷先介紹三國時代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)以及祖沖之的貢獻(xiàn)，然后提出數(shù)學(xué)問題：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度，祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6=______.

如圖3所示，AB為圓內(nèi)接正n邊形的一邊，長為an，AC=BC是圓內(nèi)接正2n邊形的一邊，長為a2n，則圓內(nèi)接2n邊形的面積為

圖3 割圓術(shù)

上述公式是割圓術(shù)的關(guān)鍵公式，劉徽利用該公式證明了圓面積公式.為了求圓周率的近似值，從a6=R=1尺出發(fā)，劉徽先計算出

再根據(jù)“倍邊公式”

依次計算a12，a24，a48和a96，相應(yīng)計算出

顯然，割圓術(shù)的第一步不是計算S6，而是計算S12.因此，本題改變了割圓術(shù)中的目標(biāo)，因而屬于“目標(biāo)式”問題.如果將所求項(xiàng)改為S12，那么問題就符合割圓術(shù)的原意，成為“復(fù)制式”問題了.本題中，命題者的初衷并非目標(biāo)操作，但由于曲解史料的原意，無意中改變了問題提出的策略.

2018年全國I卷以希波克拉底定理為基礎(chǔ)，編制了一道概率問題：

下圖(圖4)來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC和直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為p1，p2，p3.則

A.p1=p2； B.p1=p3；

C.p2=p3； D.p1=p2+p3.

本題所依據(jù)的數(shù)學(xué)史料是希波克拉底定理，該定理的結(jié)論是Rt△ABC的面積等于兩個弓月形面積之和，即區(qū)域Ⅰ的面積等于區(qū)域Ⅱ的面積.命題者對定理的結(jié)論進(jìn)行操作，將Ⅰ和Ⅱ的面積關(guān)系替換為“在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ和Ⅲ的概率p1和p2的大小關(guān)系”，形成一個新問題，故本題也屬于目標(biāo)式問題.

圖4 希波克拉底的幾何圖形

3.4 自由式問題

“自由式”問題在歷年高考題中也時有出現(xiàn)，如2012年湖北理科卷根據(jù)歷史上圓周率的不同分?jǐn)?shù)近似值，編制了一道比較包括《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”在內(nèi)的不同球體積近似公式的問題；2015年湖北文理卷根據(jù)16世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(F. van Schooten, 1615—1660)的橢圓規(guī)編制的解析幾何問題.2018年北京卷根據(jù)明代學(xué)者朱載堉(1532—1611)的“十二平均律”編制了一道等比數(shù)列問題：

由于“十二平均律”屬于音樂理論，屬于表1中“不含條件和目標(biāo)”的史料，由此提出的問題歸為“自由式”.

當(dāng)然，有些高考題雖然貼上了數(shù)學(xué)史的“標(biāo)簽”，但并不屬于“基于數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)問題”.如2019年浙江數(shù)學(xué)卷先介紹了祖暅原理——“緣冪勢既同，則積不容異”，然后編制了一道已知柱體的三視圖，求柱體體積的問題.該問題本質(zhì)上與祖暅原理并無多大關(guān)聯(lián).

4 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)問題舉例

為了進(jìn)一步說明“基于數(shù)學(xué)史的問題提出策略”的分類框架的可行性，我們再舉兩個例子.

4.1 奇數(shù)與立方數(shù)的關(guān)系

公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家尼可麥丘(Nicomachus)發(fā)現(xiàn)奇數(shù)與立方數(shù)之間存在如下關(guān)系[12]：

1=13，

3+5=23，

7+9+11=33，

13+15+17+19=43,

…………………………

在尼可麥丘所生活的時代，人們并不會用字母表示數(shù)，因此，我們無法苛求他給出奇數(shù)與立方數(shù)的一般關(guān)系式.上述規(guī)律為三次冪和公式的發(fā)現(xiàn)開辟了道路，我們有理由相信，尼可麥丘已知道三次冪和的規(guī)律，因?yàn)橥瑫r代的羅馬土地測量員據(jù)說都知道這個規(guī)律.事實(shí)上，根據(jù)尼可麥丘的上述規(guī)律，我們有

13=1=12(1個奇數(shù))，

13+23=1+3+5=(1+2)2(1+2個奇數(shù)之和)，

13+23+33=1+3+…+11=(1+2+3)2(1+2+3個奇數(shù)之和)，

13+23+33+43=1+3+…+19=(1+2+3+4)2(1+2+3+4個奇數(shù)之和)，

……………………………

尼可麥丘寫不出一般的等式，而有了字母表示任意數(shù)的思想，我們可以寫出一般關(guān)系式，并找出更多的規(guī)律.據(jù)此，我們可以編制一系列問題.把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：

設(shè)anm(n,m∈N*)是位于該三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行、從左往右數(shù)第m個數(shù).

(1)用n和m表示anm；

(2)已知anm=2021，求n和m的值；

(3)設(shè)an1+an2+…+ann=bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；

(4)設(shè)cn=bn+1-bn，利用數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和，求二次冪和12+22+…+n2；

以上問題都是以尼可麥丘所發(fā)現(xiàn)的奇數(shù)與立方數(shù)之間關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，且問題的條件和目標(biāo)都是新設(shè)的，因而均屬于“自由式”問題.

問題(4)和(6)的背后還蘊(yùn)含了更多的數(shù)學(xué)史元素.(4)中的累加法，正是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(B. Pascal, 1623-1662)推導(dǎo)冪和公式的方法，由等式

(r+1)p+1-rp

分別取r= 1，2，…，n，將n個等式兩邊分別累加，即可有p-1次以及更低次的冪和公式推導(dǎo)出p次冪和公式[13].

圖5 奧雷姆的面積變換方法

從例1可見，從古代數(shù)學(xué)史料出發(fā)可以提出有若干問題組成的問題串，而其中的某些問題本身也可能是歷史上別的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)解決過的問題，因次，如果以別的史料為參照，這些問題可能又會成為“復(fù)制式”或“條件式”問題了.

4.2 拋物弓形的面積

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在其《拋物弓形求積》中解決了拋物弓形的面積問題.如圖6所示，設(shè)AB是拋物線的一條弦，阿基米德證明[14]：

圖6 拋物弓形的性質(zhì)

命題1：過拋物線上任意一點(diǎn)P作拋物線對稱軸的平行線，交AB與C，若AB平行于拋物線在點(diǎn)P處的切線MN，則AC=BC；反之，若AC=BC，則AB平行于拋物線在點(diǎn)P處的切線MN.

命題2：P為拋物線上任意一點(diǎn)，直線AB與拋物線在P處的切線MN平行，交拋物線于點(diǎn)A和B，過P作拋物線對稱軸的平行線，交AB于點(diǎn)C，交拋物線在點(diǎn)A處的切線于點(diǎn)T，則PT=PC.

命題3：過AB的中點(diǎn)C作拋物線對稱軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，則P為拋物弓形的頂點(diǎn).

由于只有純幾何的方法，加上沒有極限概念，命題5的證明并非易事，需要用到窮竭法.而我們今天有了解析幾何這一重要工具，再加上極限工具，可以根據(jù)阿基米德上述命題編制一組新的解析幾何問題.

如圖7，直線l：y=kx+b與拋物線x2=2py(p>0)相交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1) ，B(x2,y2).M(x0,y0)是拋物線上任意一點(diǎn)，過M作y軸的平行線，交AB于C.

圖7 基于數(shù)學(xué)史的拋物線問題

(1)求拋物線平行弦的中點(diǎn)軌跡；

(2)求拋物線在點(diǎn)M處的切線方程；

(3)證明：C是AB中點(diǎn)的充要條件是拋物線在點(diǎn)M處的切線平行于AB；

(4)證明：若C是AB的中點(diǎn)，且拋物線在點(diǎn)A處的切線與CM的延長線交于點(diǎn)T，則CM=MT；

(5)證明：若C是AB的中點(diǎn)，則CM是拋物弓形中所有與y軸平行的截線段中最長的線段，即點(diǎn)M是拋物弓形的頂點(diǎn).

(6)設(shè)C為AB的中點(diǎn)，|x2-x1|=d，試用d來表示△ABM的面積.

(8)求拋物線弓形ABM的面積.

以上8個問題中，問題(3)、(4)、(5)、(7)和(8)分別對應(yīng)于阿基米德的命題1-5，問題的目標(biāo)沒有變，但采用代數(shù)方程來表征拋物線和直線，問題的條件發(fā)生了改變，因此，這些問題都屬于“條件式”問題.而問題(1)、(2)和(6)則屬于“自由式”問題.

5 結(jié) 語

以上我們看到，根據(jù)“基于數(shù)學(xué)史料的問題提出策略”的分類，有關(guān)高考題大多采用了復(fù)制式、條件式、目標(biāo)式和自由式四種，但很少采用情境式、對稱式和鏈接式.根據(jù)“奇數(shù)與立方數(shù)之間的關(guān)系”和“拋物弓形的面積”兩則史料所編制的一系列高中數(shù)學(xué)問題表明，由于古今數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)工具的巨大差異，要編制適合于今日課堂教學(xué)或考試的數(shù)學(xué)問題，條件式和自由式往往是理想的選擇.

基于數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)問題提出策略對于HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計和數(shù)學(xué)文化試題的編制都有重要指導(dǎo)意義.但是，就像一個具有高超的烹飪技術(shù)但缺少好食材的廚師很難燒出一道好菜一樣，一個掌握了問題提出策略卻缺乏好素材的教師或命題者也無法編出一道好題.首先，一線教師和命題者需要針對高中數(shù)學(xué)課程中涉及的知識點(diǎn)開展更深入、系統(tǒng)的歷史研究，豐富課程、教材和教學(xué)的數(shù)學(xué)問題資源；其次，教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者可將“基于數(shù)學(xué)史的問題提出”這一主題納入在職教師的培訓(xùn)課程中，讓一線教師更多地了解問題提出策略，學(xué)習(xí)如何對數(shù)學(xué)史料做出必要的裁剪和加工，形成合適的數(shù)學(xué)問題；再次，一線教師和命題者需要正確認(rèn)識基于數(shù)學(xué)史料的問題的教育價值，不能僅僅滿足于數(shù)學(xué)文化標(biāo)簽，而是要展示數(shù)學(xué)文化的精髓，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的多元教育價值.