帶有雙曲正切加權(quán)函數(shù)的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律

陳 琦，楊 靖,王中原，常思江

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,南京 210094; 2.中國(guó)兵器工業(yè)集團(tuán)203所,西安 710065)

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，為了提高導(dǎo)彈的毀傷效果，往往希望導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)能夠保持特定的攻擊角度，例如：為了攻擊坦克或軍艦的薄弱部位，通常要求導(dǎo)彈以一定的落角命中目標(biāo)；對(duì)于逆軌攔截高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，則要求彈道導(dǎo)彈能夠?qū)硪u彈頭進(jìn)行迎頭攔截.因此，研究帶有落角約束的末制導(dǎo)律具有重要的意義.

針對(duì)含有落角約束的攔截打擊問題，相關(guān)學(xué)者在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上提出了許多新的研究方法.文獻(xiàn)[1]通過在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的視線角速度項(xiàng)上增加一個(gè)偏置量，以實(shí)現(xiàn)落角約束的要求.文獻(xiàn)[2]則進(jìn)一步利用能量最小準(zhǔn)則優(yōu)化了偏置參數(shù)，提高了制導(dǎo)律的控制效率，使得優(yōu)化后的偏置比例導(dǎo)引律更適合于大氣層外攔截.文獻(xiàn)[3]針對(duì)靜止目標(biāo)，通過調(diào)整制導(dǎo)系數(shù)使得比例導(dǎo)引律滿足期望的攻擊角度，同時(shí)為了進(jìn)一步提高大范圍落角約束的適應(yīng)性，引入了兩階段制導(dǎo)系數(shù)切換策略，取得了不錯(cuò)的制導(dǎo)效果.文獻(xiàn)[4]則進(jìn)一步將文獻(xiàn)[3]中的方法擴(kuò)展到了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的情形.隨著控制理論的發(fā)展，越來越多的學(xué)者基于現(xiàn)代控制理論提出了新型的末制導(dǎo)律.文獻(xiàn)[5]改進(jìn)并拓展了圓軌跡導(dǎo)引算法，提出了一種適應(yīng)再入飛行器速度大小變化的帶有落角約束的新型制導(dǎo)律.文獻(xiàn)[6]利用模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃技術(shù)，設(shè)計(jì)了彈道導(dǎo)彈再入末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律可以在滿足落角約束的基礎(chǔ)上對(duì)靜止和機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行打擊，同時(shí)避免了運(yùn)動(dòng)模型的線性化，具有較高的制導(dǎo)精度. 基于滑?？刂评碚摵蛣?dòng)態(tài)面控制方法，文獻(xiàn)[7]圍繞機(jī)動(dòng)目標(biāo)的打擊問題，設(shè)計(jì)了一種考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的帶角度約束制導(dǎo)律.文獻(xiàn)[8]采用擴(kuò)張干擾觀測(cè)器來估計(jì)導(dǎo)彈的速度及目標(biāo)的機(jī)動(dòng)信息，設(shè)計(jì)了帶角度約束的有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律.

最優(yōu)控制可以保證特定性能的最優(yōu)性，同時(shí)還可以較為方便地處理各種約束條件，在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中有著較大的優(yōu)勢(shì)，因此越來越多的學(xué)者將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于帶有落角約束的末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中.文獻(xiàn)[9]首先將末制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為線性二次型問題，然后應(yīng)用次優(yōu)理論設(shè)計(jì)了再入式飛行器帶有落角約束的末制導(dǎo)律. 通過求解能量最優(yōu)控制問題，文獻(xiàn)[10]同時(shí)研究了控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)和無慣性環(huán)節(jié)的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律，為了提高制導(dǎo)精度，文獻(xiàn)[10]還給出了3種剩余飛行時(shí)間的估算方法. 基于最優(yōu)控制理論，同時(shí)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情形，文獻(xiàn)[11]為反坦克導(dǎo)彈和反艦導(dǎo)彈設(shè)計(jì)了落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律.文獻(xiàn)[12]考慮了導(dǎo)彈具有軸向加速度的情形，應(yīng)用Schwarz不等式方法，設(shè)計(jì)了一種帶有重力輔助的最優(yōu)落角約束末制導(dǎo)律.

在基于最優(yōu)控制的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中，控制能量被廣泛用作性能函數(shù)，其中控制能量的加權(quán)函數(shù)對(duì)制導(dǎo)效果有著直接的影響，不同的加權(quán)函數(shù)會(huì)使導(dǎo)彈產(chǎn)生不同的飛行軌跡和制導(dǎo)指令分布.文獻(xiàn)[13]以指數(shù)函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，設(shè)計(jì)了防空導(dǎo)彈的最優(yōu)制導(dǎo)律.考慮了空氣密度的變化，通過合理地設(shè)計(jì)指數(shù)函數(shù)，使得導(dǎo)彈在飛行高度增加的過程中，逐漸提高控制能量的權(quán)重，以此來限制制導(dǎo)指令，使導(dǎo)彈在接近目標(biāo)的過程中，需用過載逐步趨向于零.文獻(xiàn)[14-15]將剩余飛行時(shí)間n次方的倒數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，設(shè)計(jì)了帶有落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律可使導(dǎo)彈過載在制導(dǎo)末端趨于小值，提高了導(dǎo)彈在制導(dǎo)末端的抗干擾能力.文獻(xiàn)[16]則對(duì)制導(dǎo)初始指令的分布進(jìn)行了著重考慮，設(shè)計(jì)了一種Gaussian加權(quán)函數(shù)，該加權(quán)函數(shù)可以使導(dǎo)彈過載在導(dǎo)引起始階段保持較小的值，進(jìn)而降低了導(dǎo)彈對(duì)初始狀態(tài)誤差的敏感度.文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種基于正弦函數(shù)加權(quán)的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律，通過調(diào)節(jié)正弦函數(shù)的周期和相位，該制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈在制導(dǎo)始端和末端均產(chǎn)生較小的過載.文獻(xiàn)[18]應(yīng)用Schwarz不等式方法，研究了帶有任意加權(quán)函數(shù)的最優(yōu)制導(dǎo)律的一般表達(dá)式，但是為了能夠得到解析解，該方法要求加權(quán)函數(shù)的逆的一次到三次積分都能求出解析表達(dá)式. 上述研究主要是采用極小值原理和Schwarz不等式等方法來求解最優(yōu)控制問題，這種方法精度較高，但對(duì)于復(fù)雜的問題，該方法推導(dǎo)過程較為繁瑣.文獻(xiàn)[19]利用黎卡提方程來求解最優(yōu)制導(dǎo)律，但在一般情況下，求解黎卡提方程的解析解難度較大，為此，文獻(xiàn)[20]使用黎卡提方程的穩(wěn)態(tài)解來求解最優(yōu)制導(dǎo)律，這種方法降低了求解難度，但只是一種近似的處理方法，有一定的局限性.針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)[21]采用滾動(dòng)時(shí)域的方法，在每一個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)，通過實(shí)時(shí)優(yōu)化飛行彈道以獲取最優(yōu)制導(dǎo)律，避免了求解黎卡提方程，且對(duì)于復(fù)雜的問題具有較好的處理能力.但是該方法需要循環(huán)調(diào)用尋優(yōu)算法來求解非線性規(guī)劃問題，優(yōu)化迭代的計(jì)算量較大，效率較低，實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.

鑒于加權(quán)函數(shù)對(duì)制導(dǎo)性能有著很大的影響，若加權(quán)函數(shù)可以根據(jù)不同的需求靈活設(shè)計(jì)，則能在很大程度上提高制導(dǎo)效果.比如，不局限于現(xiàn)有文獻(xiàn)，考慮其他更為復(fù)雜形式的加權(quán)函數(shù)，甚至在不同制導(dǎo)階段采用不同形式的加權(quán)函數(shù)，構(gòu)造分段形式的加權(quán)函數(shù).基于此，本文研究一類基于雙曲正切函數(shù)的加權(quán)函數(shù)，采用間接Gauss偽譜法，設(shè)計(jì)一種新型的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律.該制導(dǎo)律在推導(dǎo)過程中不依賴于加權(quán)函數(shù)的具體形式，因此可以非常方便地處理復(fù)雜形式的加權(quán)函數(shù)(如分段形式)，很大程度上提高了加權(quán)函數(shù)的設(shè)計(jì)自由度.

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

(1)

根據(jù)圖1中所描述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可以得到落角坐標(biāo)系內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

(3)

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何

根據(jù)式(3)，可得矩陣形式的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

其中：

(5)

式中:t0為初始時(shí)刻；Sf為正定的對(duì)角矩陣，用于控制終端狀態(tài)量；Th(t)為控制能量的加權(quán)函數(shù)，該函數(shù)可以有效地改變導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡及制導(dǎo)指令的分布.本文基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)不同的加權(quán)函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)不同的制導(dǎo)效果.下面給出了3種形式的加權(quán)函數(shù)，其中w,t1,ts和τσ分別為設(shè)計(jì)參數(shù).

(6)

(7)

(8)

圖2、3分別給出了加權(quán)函數(shù)的變化曲線，其中函數(shù)Th1(t)和Th2(t)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)的取值為w=tf/3,t1=tf/2；函數(shù)Th3(t)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)的取值為w=tf/6,t1=tf/2,ts=tf/2,τσ=tf/6.從圖2中可以看出，函數(shù)Th1在制導(dǎo)初始段取值很小，但隨著時(shí)間的增加，其值不斷增大.由于式(5)中加權(quán)函數(shù)處于分母的位置，故而Th1對(duì)初始控制能量的權(quán)重最大.這種形式的加權(quán)函數(shù)將產(chǎn)生很小的初始過載指令，可降低末制導(dǎo)開始時(shí)的過載指令突變，有助于中末制導(dǎo)的平穩(wěn)交接.Th2的變化規(guī)律與Th1正相反，即對(duì)終端控制能量的權(quán)重最大.這種形式的加權(quán)函數(shù)將產(chǎn)生很小的末端過載，可提供更多的過載裕量以抵抗導(dǎo)引末段可能存在的各種外界干擾.而Th3則兼有Th1和Th2的優(yōu)點(diǎn)，將在導(dǎo)引始端和末端均產(chǎn)生很小的過載.此外注意到，式(8)中所示的加權(quán)函數(shù)Th3為分段函數(shù)，其綜合了雙曲正切函數(shù)以及文獻(xiàn)[16]中所提出的Gaussian加權(quán)函數(shù).這種復(fù)雜形式的加權(quán)函數(shù)在現(xiàn)有文獻(xiàn)中罕有研究，也給問題的求解帶來了較大的難度.為此，本文推導(dǎo)了一種新型的制導(dǎo)律，可以非常容易地處理上述復(fù)雜的加權(quán)函數(shù).

圖2 加權(quán)函數(shù)Th1和Th2變化曲線

圖3 加權(quán)函數(shù)Th3變化曲線

2 最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)

由最優(yōu)控制理論，可構(gòu)造如下的Hamiltonian函數(shù)：

其中λ(t)為協(xié)態(tài)變量，并滿足如下的協(xié)態(tài)方程：

(9)

其橫截條件為

λ(tf)=Sfx(tf),

(10)

根據(jù)極小值原理，有

從而得到最優(yōu)控制量為

(11)

將式(11)代入式(4)，并根據(jù)式(9)，可得如下的兩點(diǎn)邊值問題：

(12)

針對(duì)式(12)所示的帶有復(fù)雜形式加權(quán)函數(shù)Th(t)的兩點(diǎn)邊值問題，較難獲得解析解，這種情況下，可通過積分黎卡提微分方程來求得最優(yōu)控制量，但這種方式需要大量的計(jì)算，且對(duì)于稍微復(fù)雜的系統(tǒng)，整個(gè)積分也變得更為困難，實(shí)際應(yīng)用中限制較多.為此，本文采用間接Gauss偽譜法來求解.引入變量τ對(duì)時(shí)間t進(jìn)行如下變換：

從而將區(qū)間[t0,tf]轉(zhuǎn)換為[-1,1]，故而式(12)變?yōu)?/p>

(13)

間接Gauss偽譜法的主要思想是通過構(gòu)造全局插值多項(xiàng)式來近似x(τ)和λ(τ)，進(jìn)而將兩點(diǎn)邊值問題(13)轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，求解這些代數(shù)方程即可得到最優(yōu)控制量.為此，構(gòu)造如下的插值多項(xiàng)式來近似狀態(tài)量x(τ)為

(14)

(15)

構(gòu)造如下的插值多項(xiàng)式來近似協(xié)態(tài)量λ(τ)為

(16)

(17)

根據(jù)Gauss求積公式[22]，狀態(tài)量x(τ)的末端值x(1)可通過下式計(jì)算：

(18)

式中wk為Gauss求積系數(shù).結(jié)合式(10)和式(18)，則協(xié)態(tài)量的末端值λ(1)可進(jìn)一步表示為

(19)

(20)

(21)

由于矩陣中D的元素可以通過下式離線計(jì)算:

(22)

其中：

(23)

求解式(23)可得：

(24)

給定初始狀態(tài)x0，通過上式可以得到N個(gè)Gauss節(jié)點(diǎn)上的狀態(tài)量xi及協(xié)態(tài)量λi，i=1,…,N.由于Gauss節(jié)點(diǎn)并不包含邊界點(diǎn)，因此式(24)無法提供協(xié)態(tài)量的初值λ(-1).考慮到協(xié)態(tài)量的末端值λ(1)是已知的，因此λ(-1)可通過如下的Gauss求積公式計(jì)算得到：

至此，τ0=-1,τ1,…,τN+1節(jié)點(diǎn)上的協(xié)態(tài)量均已求出，根據(jù)式(11)便可得到每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的最優(yōu)控制量為

(25)

上述推導(dǎo)過程并未對(duì)加權(quán)函數(shù)有所限制，也不依賴加權(quán)函數(shù)的具體形式，因此，所提方法可以非常方便地處理各種復(fù)雜加權(quán)函數(shù).此外，該方法不需要任何的積分或迭代運(yùn)算，只根據(jù)初始狀態(tài)量x0即可通過式(25)方便地求出[t0,tf]區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)上的最優(yōu)控制量，相比于傳統(tǒng)反向積分黎卡提微分方程的方法，計(jì)算量小，易于工程在線計(jì)算.由于式(25)得到的是開環(huán)最優(yōu)解，無法抑制外界擾動(dòng)的影響.為此，采用滾動(dòng)時(shí)域方法，具體步驟如下.

步驟1初始化離散節(jié)點(diǎn)的數(shù)量N，初始化當(dāng)前時(shí)刻為初始時(shí)刻t0，給定期望落角γf.

步驟2根據(jù)目標(biāo)點(diǎn)的位置坐標(biāo)及導(dǎo)彈的當(dāng)前位置坐標(biāo)計(jì)算彈目距離R，采用公式tgo=R/Vm計(jì)算得到剩余飛行時(shí)間tgo，進(jìn)而得到tf=t0+tgo.

步驟4根據(jù)式(25)計(jì)算[t0,tf]區(qū)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)上的最優(yōu)控制量ui(i=0,…,N+1)，只取t0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的控制量u0，并將其應(yīng)用于導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型中，計(jì)算得到下一時(shí)刻t′以及狀態(tài)量.

步驟5判斷是否命中目標(biāo).如果沒有命中目標(biāo)，則將當(dāng)前時(shí)刻t′作為初始時(shí)刻，即t′=t0，將當(dāng)前狀態(tài)量作為初始狀態(tài)量，重復(fù)步驟2～4，直至命中目標(biāo).

3 仿真結(jié)果分析

本文通過數(shù)字仿真在不同條件下展示所提制導(dǎo)律的性能.在仿真中，導(dǎo)彈的初始位置取為(0 m,0 m)，目標(biāo)的位置取為(5 000 m,0 m)，導(dǎo)彈速度Vm=200 m/s，導(dǎo)彈的初始彈道傾角γm(0)=45°；Gauss節(jié)點(diǎn)數(shù)N=10，Sf=diag([1×105,1×105]).為了對(duì)比說明所提制導(dǎo)律的效果，在同等條件下，對(duì)文獻(xiàn)[10]中提出的最優(yōu)制導(dǎo)律(optimal guidance law,OGL)和文獻(xiàn)[24]中提出的偏置比例導(dǎo)引律(biased proportional navigation guidance, BPNG)也進(jìn)行了仿真計(jì)算.

圖4給出了在期望落角γf=-45°條件下，不同加權(quán)函數(shù)對(duì)應(yīng)的彈道曲線和制導(dǎo)指令變化曲線.從圖4中可以看出在不同的加權(quán)函數(shù)作用下，導(dǎo)彈均能滿足給定的落角約束，以期望的落角去攻擊目標(biāo).但是，不同的加權(quán)函數(shù)明顯地改變了導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡以及制導(dǎo)指令的分布.Th1(t)在導(dǎo)引初始段產(chǎn)生了很小的制導(dǎo)指令，這主要是因?yàn)門h1(t)對(duì)初始控制能量的加權(quán)最大所致；這種類型的制導(dǎo)指令可有效降低制導(dǎo)律對(duì)初始狀態(tài)誤差的敏感度.由于Th2(t)的變化規(guī)律與Th1(t)相反，對(duì)末端控制能量的加權(quán)最大，因此隨著導(dǎo)彈趨近于目標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)指令也趨向于零，這有助于提高制導(dǎo)律在導(dǎo)引末端的抗干擾能力，即可提供更多的過載裕量來抵抗外界干擾.而Th3(t)則在導(dǎo)引始端和末端均提供了很小的制導(dǎo)指令，因此該加權(quán)函數(shù)不僅能降低制導(dǎo)律對(duì)初始狀態(tài)誤差的敏感度，而且還可以提高導(dǎo)彈的末端抗干擾能力.由于本文算法并不依賴于加權(quán)函數(shù)的具體形式，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，可進(jìn)一步靈活設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)的變化規(guī)律，以實(shí)現(xiàn)不同的制導(dǎo)要求.此外，從圖4中還可以看出，傳統(tǒng)的OGL雖然能夠以能量最優(yōu)的方式導(dǎo)引導(dǎo)彈以期望的落角命中目標(biāo)，但是其初始及末端導(dǎo)引指令較大.BPNG雖然也能夠保證導(dǎo)彈在滿足落角約束的條件下命中目標(biāo)，但其在彈道末段產(chǎn)生了很大的過載.因此，若要滿足不同的制導(dǎo)需求，上述兩種方法有一定的局限性.

圖4 不同加權(quán)函數(shù)條件下的制導(dǎo)效果

為了進(jìn)一步考察初始初始狀態(tài)誤差對(duì)制導(dǎo)指令的影響，圖5給出了γm(0)存在10°誤差以及ym(0)存在100 m誤差下，OGL和Th1(t)的對(duì)比仿真結(jié)果.從圖5中可以看出，當(dāng)存在較大的初始狀態(tài)誤差時(shí)，傳統(tǒng)的OGL產(chǎn)生的制導(dǎo)指令在初始階段變化較大，而本文的制導(dǎo)律則可使得制導(dǎo)指令在初始階段始終保持很小的值，這樣的特點(diǎn)在中末制導(dǎo)的平滑交接中具有一定的優(yōu)勢(shì).

圖5 考慮初始狀態(tài)誤差的制導(dǎo)效果

為了進(jìn)一步展示制導(dǎo)律在導(dǎo)引末端的抗干擾能力，圖6給出了末端存在陣風(fēng)的情況下，OGL和Th2(t)的對(duì)比仿真結(jié)果.其中當(dāng)彈目距離小于500 m時(shí)，沿ox軸正向?qū)?dǎo)彈施加25 m/s的陣風(fēng).從圖6中可以看出，兩種制導(dǎo)律在彈道末端均產(chǎn)生了額外的制導(dǎo)指令以抵抗陣風(fēng)的干擾.由于OGL在彈道末端的需用過載較大，在附加額外的過載指令后產(chǎn)生了飽和現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致了接近20 m的脫靶量.而本文的制導(dǎo)律在彈道末端的需用過載很小，在附加額外的過載指令后仍有一定的裕量，從而很好地保證了最終的命中精度.

圖7給出了期望落角分別為-10°,-30°,-60°和-90°的條件下，加權(quán)函數(shù)Th3(t)對(duì)應(yīng)的彈道曲線和制導(dǎo)指令變化曲線.在這4種場(chǎng)景下，最終落角分別為-10.026°,-30.023°,-59.988°和-90.011°，可以很好地滿足相應(yīng)的落角約束.從圖7(a)可以看出，導(dǎo)彈在不同場(chǎng)景下也均能準(zhǔn)確命中目標(biāo).從圖7(b)可以看出，在不同的落角約束情況下，加權(quán)函數(shù)Th3(t)均能保證在導(dǎo)引始端和末端產(chǎn)生很小的制導(dǎo)指令.上述結(jié)果表明，雖然本文制導(dǎo)律是基于線性化模型推導(dǎo)而來的，但其對(duì)較大范圍內(nèi)的落角約束具有較好的適應(yīng)性.

圖6 考慮末端風(fēng)干擾的制導(dǎo)效果

圖7 不同落角約束下Th3(t)加權(quán)函數(shù)的制導(dǎo)效果

Fig.7 Guidance performance forTh3(t) with different impact angle constraints

為了進(jìn)一步驗(yàn)證加權(quán)函數(shù)對(duì)制導(dǎo)效果的影響，以加權(quán)函數(shù)Th3(t)為例，選取不同的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行仿真分析.具體參數(shù)見表1，每個(gè)算例對(duì)應(yīng)的加權(quán)函數(shù)Th3(t)的外形曲線如圖8所示，仿真結(jié)果如圖9所示.

表1 加權(quán)函數(shù)Th3(t)的參數(shù)取值

圖8 不同參數(shù)條件下的加權(quán)函數(shù)Th3(t)曲線

從圖8中可以看出，通過調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)w,t1,ts和τσ的值，可以靈活地改變Th3(t)的外形，進(jìn)而控制不同區(qū)域內(nèi)控制能量的權(quán)重系數(shù).從算例1到算例3，加權(quán)函數(shù)對(duì)導(dǎo)引始段和末段的控制能量的約束逐漸寬松，即要求較小的控制量在始末段內(nèi)持續(xù)的時(shí)間逐漸變小.

從圖9可以看出，在3種算例下，導(dǎo)彈均能以期望的落角命中目標(biāo)，但其運(yùn)動(dòng)軌跡和制導(dǎo)指令的分布卻有所不同.在算例1中，導(dǎo)引始末段內(nèi)制導(dǎo)指令在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持了較小的值，導(dǎo)引中段內(nèi)指令的值則相對(duì)較大.而在算例3中，制導(dǎo)指令在導(dǎo)引開始時(shí)增長(zhǎng)較快，這樣可使導(dǎo)彈更快地向目標(biāo)收斂，這和圖9(a)中的彈道曲線的規(guī)律是一致的，在導(dǎo)引中段所需的制導(dǎo)指令則較小.從以上結(jié)果可以看出，通過不斷收緊導(dǎo)引始末段內(nèi)Th3(t)的取值，有助于降低導(dǎo)彈對(duì)初始狀態(tài)誤差的敏感度、提高末端的抗干擾能力，但同時(shí)也提高了導(dǎo)引中段內(nèi)導(dǎo)彈的過載要求.由于本文方法在推導(dǎo)中不依賴于加權(quán)函數(shù)的具體形式，因此在實(shí)際應(yīng)用中，可針對(duì)不同的需求，靈活調(diào)整相應(yīng)參數(shù)，以獲得滿意的制導(dǎo)效果.此外，不局限于本文所給出的幾種類型的加權(quán)函數(shù)，為了實(shí)現(xiàn)某些特定的制導(dǎo)要求，還可設(shè)計(jì)其他更為復(fù)雜的加權(quán)函數(shù)，因此，本文方法給制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)帶來了很大的自由度.

圖9 Th3(t)在不同參數(shù)條件下的制導(dǎo)效果

Fig.9 Guidance performance forTh3(t) with different parameters

4 結(jié) 論

1)結(jié)合極小值原理和Gauss偽譜離散方法，將最優(yōu)末制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)換為一系列的代數(shù)方程進(jìn)行求解，該方法避免了直接法中的尋優(yōu)過程以及間接法中的求解黎卡提微分方程，不需要進(jìn)行繁瑣的積分運(yùn)算.

2)采用雙曲正切加權(quán)函數(shù)，通過合適地調(diào)整加權(quán)函數(shù)的曲線形狀，可以靈活調(diào)整不同階段控制能量的權(quán)重，進(jìn)而改變導(dǎo)彈的飛行軌跡和制導(dǎo)指令分布，不僅能降低制導(dǎo)律對(duì)初始狀態(tài)誤差的敏感度，而且還可以提高導(dǎo)彈的末端抗干擾能力.

3)所提制導(dǎo)律在推導(dǎo)中不依賴于加權(quán)函數(shù)的具體形式，可非常方便地處理各種復(fù)雜形式的加權(quán)函數(shù)，如分段非光滑加權(quán)函數(shù)，為不同制導(dǎo)需求下設(shè)計(jì)末制導(dǎo)律提供了很大的自由度.