初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問題的教學(xué)探究

【摘要】本文論述初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問題的教學(xué)方法，建議教師在教學(xué)中做好該問題題型的研究，做好相關(guān)例題的選擇與講解，讓學(xué)生掌握?qǐng)D形等面積拼接的方法與技巧，提高學(xué)生解決該類問題的能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 圖形 等面積拼接問題 教學(xué)探究

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）05A-0098-02

為解決圖形等面積拼接問題，學(xué)生需要對(duì)相關(guān)圖形的構(gòu)成元素有深刻的認(rèn)識(shí)，具備良好的平面、空間圖形想象能力。教師應(yīng)做好經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，把握教學(xué)重難點(diǎn)，積極采取有效的教學(xué)措施，不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，使其掌握各類圖形等面積拼接問題的解題思路，進(jìn)而真正地攻克該類問題。

一、結(jié)合例題做好拼接引導(dǎo)

初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問題靈活性較強(qiáng)，為避免挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，教師在教學(xué)中應(yīng)注重結(jié)合具體例題，做好拼接引導(dǎo)，使學(xué)生親身感受拼接思路，給其留下深刻印象，指導(dǎo)其更好地解決類似的問題。一方面，教師應(yīng)從整體上對(duì)初中數(shù)學(xué)涉及的圖形等面積拼接問題進(jìn)行總結(jié)，結(jié)合學(xué)生所學(xué)內(nèi)容以及實(shí)際情況，借助多媒體技術(shù)展示相關(guān)的例題，并動(dòng)態(tài)化地呈現(xiàn)拼接的過程，使學(xué)生感受拼接前后圖形形狀與位置的變化。另一方面，教師應(yīng)圍繞例題與學(xué)生積極互動(dòng)，營(yíng)造活潑的課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生尋找圖形拼接的新思路，鍛煉學(xué)生思維的靈活性。此外，教師還要根據(jù)學(xué)生在聽課中的表現(xiàn)，及時(shí)給予表揚(yáng)與肯定，提高其拼接學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。

教學(xué)中教師可借助多媒體課件為學(xué)生講解以下例題：如圖1所示，用8塊A形瓷磚（白色四邊形）和8塊B型瓷磚（黑色三角形），不重疊，無縫隙拼接成一個(gè)正方形圖案，則圖案中A型瓷磚的總面積和B型瓷磚的總面積之比為（ ?）.

該題目較為新穎，主要考查了圖形的拼接和正方形的性質(zhì)。在解答這道題時(shí)，充分理解題意、合理地作輔助線是順利解題的關(guān)鍵。為使學(xué)生快速找到該題型的解題思路，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過作輔助線尋找突破口，接著重點(diǎn)講解解題過程，使學(xué)生充分感受具體的解題思路。如圖1所示，分別作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，連接DF.考慮到四邊形DCFK是正方形，則滿足∠CDM=∠MDF=∠FDN=∠NDK，因此，∠CDK=∠DKF=90°，DK=FK，DF=[2]DK.此時(shí)使用面積法不難證明角平分線的性質(zhì)定理，得出S△DFN/S△DNK=FN/NK=DF/DK=[2]，所以，SA型/SB型=2S△DFN/2S△DNK=[2]，即圖案中A型瓷磚的總面積和B型瓷磚的總面積之比為[2][∶]1，正確選項(xiàng)為A。通過該類題目的講解，學(xué)生認(rèn)識(shí)到認(rèn)真審題、通過作輔助線找到圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系是解答該類題型的重要思路。

二、注重實(shí)踐激發(fā)拼接興趣

在初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接教學(xué)中，為給學(xué)生留下深刻的印象，激發(fā)其拼接興趣，教師應(yīng)圍繞所學(xué)知識(shí)積極開展相關(guān)的實(shí)踐活動(dòng)，在豐富教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生枯燥感。一方面，結(jié)合學(xué)生拼接知識(shí)掌握情況，布置相關(guān)的圖形拼接實(shí)踐任務(wù)，為學(xué)生詳細(xì)闡述實(shí)踐的任務(wù)和要求，而后將班級(jí)學(xué)生分成若干小組，以小組為單位開展實(shí)踐任務(wù)。為保證實(shí)踐任務(wù)的順利完成，教師鼓勵(lì)小組成員之間相互協(xié)作，積極動(dòng)腦，不斷地進(jìn)行嘗試。另一方面，為激發(fā)學(xué)生參與拼接活動(dòng)的積極性，增強(qiáng)其團(tuán)隊(duì)意識(shí)以及榮譽(yù)感，根據(jù)各小組圖形拼接任務(wù)完成情況，選出優(yōu)勝的小組，給予表揚(yáng)，并將其完成的作品在班級(jí)宣傳欄予以展示，使他們品嘗到圖形等面積拼接的成就感。

教學(xué)中為激發(fā)學(xué)生的拼接興趣，教師可以給學(xué)生布置如下實(shí)踐習(xí)題：將正方形紙片以適當(dāng)?shù)姆绞秸郫B一次，沿折痕剪開后得到兩塊小紙片，用這兩塊小紙片拼接成一個(gè)新的多邊形（不重疊、無縫隙），動(dòng)手操作看能否使用這兩塊小紙片拼接成如下圖形：（1）等腰直角三角形;（2）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形;（3）五邊形;（4）六邊形。

在課堂上給學(xué)生留足動(dòng)手操作的時(shí)間，并將班級(jí)學(xué)生分成四個(gè)小組進(jìn)行實(shí)踐、驗(yàn)證;各小組學(xué)生積極動(dòng)腦思考、動(dòng)手裁剪、拼接。正方形被剪的情況可分為三種：等腰直角三角形、梯形、全等梯形。經(jīng)過各小組的拼接嘗試，最終得出如下結(jié)論：如將正方形剪成兩個(gè)等腰直角三角形，則可將其拼接成一個(gè)等腰直角三角形;若將正方形剪成兩個(gè)梯形可拼接成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形;若將正方形剪成兩個(gè)全等的梯形，則可以拼成五邊形或六邊形。這樣教學(xué)，通過在課堂上開展上述拼接實(shí)踐活動(dòng)，使得課堂氛圍被激活，學(xué)生積極動(dòng)腦、動(dòng)手，大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的枯燥感，加深了學(xué)生對(duì)圖形拼接的認(rèn)識(shí)與理解，圓滿地完成了實(shí)踐任務(wù)，收獲了預(yù)期的實(shí)踐效果。

三、加強(qiáng)訓(xùn)練積累拼接技巧

在圖形等面積拼接教學(xué)中，為了使學(xué)生掌握相關(guān)的拼接技巧，遇到相關(guān)問題能夠少走彎路，及時(shí)找到拼接的最佳途徑，教師應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，讓學(xué)生在訓(xùn)練中不斷地出錯(cuò)，然后思考出錯(cuò)的原因并改正，進(jìn)而逐漸掌握?qǐng)D形等面積拼接技巧。一方面，制訂明確的圖形等面積拼接教學(xué)目標(biāo)，合理安排訓(xùn)練課時(shí)，積極組織學(xué)生開展專項(xiàng)訓(xùn)練活動(dòng)。為保證訓(xùn)練質(zhì)量，教師要做好每一道訓(xùn)練習(xí)題的篩選，規(guī)定好訓(xùn)練時(shí)間，要求學(xué)生獨(dú)立思考，冷靜分析，充分利用生活經(jīng)驗(yàn)以及所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。另一方面，針對(duì)訓(xùn)練中難度較大的習(xí)題，教師應(yīng)注重通過設(shè)計(jì)相關(guān)問題，在課堂上與學(xué)生積極互動(dòng)，給其帶來解題方法的啟發(fā)，使其能夠盡快找到解題突破口。同時(shí)，教師還要注意走下講臺(tái)，了解學(xué)生習(xí)題完成情況，及時(shí)給予針對(duì)性的指導(dǎo)，提高其訓(xùn)練體驗(yàn)。

為使學(xué)生掌握?qǐng)D形等體積拼接的技巧，教學(xué)中可給學(xué)生出示如下訓(xùn)練題：將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片剪掉兩個(gè)長(zhǎng)方形，得到一個(gè)“S”圖案[如圖2（2）]，再將剪下的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形[如圖2（2）]，則新的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（ ?）.

A.4a-8b ? B.2a-3b ? C.2a-4b ? D.4a-10b

題目看似難度較大，無從下手。學(xué)生在解答該題時(shí)應(yīng)保持良好的心態(tài)，不要被題干中的描述所迷惑，而應(yīng)找到拼接前后變與不變的量，從整體上進(jìn)行分析。要求解新的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，需要分別求出其長(zhǎng)和寬，根據(jù)周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，即可得出最終的結(jié)果。觀察圖2（2）中的上、下兩條邊和剪去長(zhǎng)方形長(zhǎng)之間的關(guān)系，可知剪去的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=a-b.從整體上認(rèn)真觀察圖2（2）的左邊和右邊，可知新長(zhǎng)方形的寬=a-3b，則其周長(zhǎng)=2（2a-4b）=4a-8b.正確選項(xiàng)為A.通過該題目的訓(xùn)練使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解答該類問題時(shí)應(yīng)牢牢把握?qǐng)D形拼接前后面積不發(fā)生變化，而其長(zhǎng)和寬可能發(fā)生變化。而后認(rèn)真分析，找到拼接前后參數(shù)之間的關(guān)系，從而快速解答。

四、歸納總結(jié)提升拼接水平

為提高學(xué)生圖形等面積拼接水平，除了做好教學(xué)工作，還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生做好拼接總結(jié)，匯總圖形等面積拼接題型以及在拼接解題時(shí)的不足，積極采取針對(duì)性措施，彌補(bǔ)知識(shí)薄弱點(diǎn)。一方面，鼓勵(lì)學(xué)生做好經(jīng)典習(xí)題的摘抄，做好習(xí)題的深入剖析，積極開展“好題重做”活動(dòng)，真正做到會(huì)一題而會(huì)一類題，提高解題效率。同時(shí)，做好錯(cuò)題的總結(jié)，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，是習(xí)題難度較大還是思路未打開，并在習(xí)題下詳細(xì)地寫出正確的解題過程，掌握拼接的關(guān)鍵。另一方面，完成圖形等面積總結(jié)后，還要在課堂上預(yù)留一些時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生積極交流，相互分享拼接經(jīng)驗(yàn)與技巧，明確一些題型中拼接的注意事項(xiàng)，避免在解題時(shí)陷入出題人的陷阱，更好地實(shí)現(xiàn)拼接水平的提升。

教學(xué)中教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答如下題目時(shí)出錯(cuò)率較高，于是要求學(xué)生認(rèn)真分析，找到錯(cuò)誤所在，及時(shí)糾正，并總結(jié)解題技巧，避免遇到類似題目再次出錯(cuò)：如圖3所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，然后將正方形ABCD分割成如圖中的四塊。其中點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，用這四塊紙片拼成一個(gè)與正方形不全等的四邊形MNPQ（要求不重疊，無縫隙），則四邊形MNPQ的邊長(zhǎng)是 ? ?。

該題目題干并不難理解，但要想正確作答并非易事。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在解答過程中容易考慮不全而出錯(cuò)。教師通過鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、討論，并給予引導(dǎo)，最終得出拼接后的圖形有四種情況（如下圖所示）：

其中圖4（1）為等腰梯形，對(duì)照?qǐng)D3中各邊情況可知其上底長(zhǎng)為3，下底長(zhǎng)5，兩腰長(zhǎng)為[2].圖4（2）為平行四邊形，長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4，短邊長(zhǎng)為[2].圖4（3）為長(zhǎng)方形，對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬分別為4和1.圖4（4）為直角梯形，上、下底長(zhǎng)分別為1、3，兩條腰長(zhǎng)分別為2[2]和2.通過對(duì)該題目的分析使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解答該類習(xí)題時(shí)，為保證結(jié)果的正確性，應(yīng)冷靜分析，充分考慮每一種可能的情況，并通過繪制草圖輔助分析。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能否順利解決圖形等面積拼接問題，一定程度上關(guān)系著其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的提高，因此教師應(yīng)提高認(rèn)識(shí)，結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，做好相關(guān)教學(xué)策略的研究，既要結(jié)合例題做好拼接教學(xué)引導(dǎo)，又要注重結(jié)合實(shí)踐激發(fā)學(xué)生的拼接興趣。同時(shí)，還應(yīng)做好習(xí)題的篩選，做好拼接訓(xùn)練，使學(xué)生積累各種拼接技巧。另外，鼓勵(lì)學(xué)生做好學(xué)習(xí)總結(jié)，借鑒他人的成功經(jīng)驗(yàn)，彌補(bǔ)自身的不足，不斷提升拼接水平。

作者簡(jiǎn)介：馬德林（1974— ），廣西賀州人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級(jí)教師，長(zhǎng)期從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。

（責(zé)編 林 劍）