射影定理五應(yīng)用

◇ 山東 楚凌霞

直角三角形的射影定理給出了直角三角形中邊之間的關(guān)系,利用其求解的關(guān)鍵是把握好其中的比例關(guān)系,根據(jù)已知的兩條邊來求解另外一邊的長度.由此可以用來處理一些相關(guān)的問題,本文結(jié)合實例加以剖析.

1 求解邊長

圖1

分析結(jié)合題目條件可知CD，DE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高,故通過直角三角形的射影定理建立相應(yīng)的關(guān)系式來求解對應(yīng)的邊長.

2 求解比值

分析先設(shè)出AD的長度,利用直角三角形的射影定理建立相應(yīng)的方程,求出對應(yīng)的邊長,再利用直角三角形的射影定理得到相應(yīng)的邊長關(guān)系式,進而求得相應(yīng)的比值.

3 證明等式

圖2

分析根據(jù)直角三角形的射影定理,并結(jié)合邊長的關(guān)系與直角三角形相似等知識加以轉(zhuǎn)化,從而證得相應(yīng)的等式成立.

證明由于CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,根據(jù)直角三角形的射影定理,可得AC2=AD·AB,而AB=AF+FB,所以AC2=AD·AF+AD·FB.

4 證明比例關(guān)系

圖3

分析根據(jù)直角三角形的射影定理、相似三角形等建立相應(yīng)的比例關(guān)系式,再結(jié)合所要證明的結(jié)論加以合理轉(zhuǎn)化.

5 證明相似

圖4

分析根據(jù)直角三角形的射影定理建立相應(yīng)直角三角形中邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系,并合理變形來建立相似三角形問題的比例關(guān)系式，從而達(dá)到證明的目的.