一道2017年全國(guó)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)填空題的多解與變式

◇ 江蘇 耿德倫

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾經(jīng)說過:“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn),觀察將揭示某種規(guī)則、模式或定律.”在解決一些典型的數(shù)學(xué)問題時(shí),我們要進(jìn)行深入觀察,多思維,巧拓展,往往會(huì)有意想不到的收獲.本文圍繞一道2017年全國(guó)卷Ⅱ中圓錐曲線問題,體會(huì)一下深入觀察而形成多種解法的魅力.

1 試題探究

分析本題巧妙地把拋物線的定義、方程與幾何性質(zhì)、直線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式以及平面幾何等知識(shí)加以整合,題中既有“數(shù)”的抽象,又有“形”的直觀,考查了函數(shù)與方程思想、運(yùn)算求解能力等.通過對(duì)本題的深入觀察與研究,筆者發(fā)現(xiàn)可以從多個(gè)角度切入,采用多種方法來分析與求解.

1.1 利用點(diǎn)到直線的距離公式處理

故選C.

1.2 利用拋物線的定義處理

解法2由解法1可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x=3,而MN⊥l,結(jié)合拋物線的定義可得

|MN|=|MF|=3+1=4.

圖1

1.3 利用焦半徑公式處理

2 變式練習(xí)

2.1 改變條件降低難度

變式1過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交C于點(diǎn)M,l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,若|MF|=4,則M到直線NF的距離為( )．

故選C.

2.2 引入?yún)?shù)改變條件

故選C.

通過對(duì)引例的解決并深入觀察,發(fā)現(xiàn)根據(jù)條件可加以拓展,從而進(jìn)行深化與變式,從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題,最終得以解決問題,真正達(dá)到“解一題拓一類,拓一類通一片”,避免“題海戰(zhàn)術(shù)”,從而真正做到提升思維,拓展能力.