形符表征數(shù)學(xué)概念的三種形式

摘? ? 要??表征數(shù)學(xué)概念時可以應(yīng)用豐富的數(shù)學(xué)化的學(xué)具、圖像、數(shù)學(xué)符號等形符元素，并呈現(xiàn)出三個層次：動作性形符表征能讓數(shù)學(xué)概念可感、圖像式形符表征能讓數(shù)學(xué)概念可視、符號化形符表征能讓數(shù)學(xué)概念可思。有效轉(zhuǎn)譯學(xué)生數(shù)學(xué)思維的表征過程，可以促進數(shù)學(xué)概念的深度理解。

關(guān)鍵詞 動作性形符 圖像式形符 符號化形符 表征 數(shù)學(xué)概念

表征是信息在心理活動中表現(xiàn)和記載的方式，既是認知過程，也是認知結(jié)果。布魯納指出，學(xué)生對新知識的加工過程分為行為表征、圖像表征和符號表征三個階段。在新知識教學(xué)過程中會遇到大量的數(shù)學(xué)概念，這些數(shù)學(xué)概念的表征能力和理解水平直接影響著學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)品質(zhì)。數(shù)學(xué)概念的表征有著不同的路徑，其中，數(shù)學(xué)化的操作學(xué)具、直觀圖像、抽象符號等形符元素的表征效度，直接影響著不同層次的學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的加工與理解深度。

由此，下面以蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級上冊“認識線段”為例，圍繞形符表征線段概念的三種形式進行教學(xué)解讀與思考，與大家共同分享與探討。

一、動作性形符表征，讓數(shù)學(xué)概念可感

抽象性和概括性是數(shù)學(xué)概念的基本特征。概念的心理表征需要通過外部表征來輸入或輸出，對學(xué)生的概念理解帶來了挑戰(zhàn)。通過身體動作表征認知客觀世界是人與生俱來的遺傳本能。皮亞杰指出，主體動作是一切經(jīng)驗和知識的源泉，并將兒童思維的發(fā)展劃分為感知運動、前運算、具體運算和形式運算四個階段。很多時候?qū)W生要借助對具體實物或數(shù)學(xué)化替代物進行實際操作，在具身的動作體驗中觸發(fā)數(shù)學(xué)思維、提升理解水平，因此動作性形符表征能讓數(shù)學(xué)概念可感。

線段是為了數(shù)學(xué)表達或研究的需要，從生活實物或社會現(xiàn)象中高度抽象出來的數(shù)學(xué)模型。為了更好地理解線段概念，筆者設(shè)計了三次動作性形符表征活動。

活動1：你能想辦法把桌上彎曲的毛線變直嗎？

交流揭示：像這樣，把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段，兩手分別看作這條線段的開始和結(jié)束。

學(xué)生上臺展示自己拉出的線段（長短、粗細、方向、顏色不盡相同）。

活動2：你有什么好辦法把自己創(chuàng)造出的線段“請”到黑板上去嗎？

交流并操作：用兩個吸珠分別替代左、右手，把線段“吸”在黑板上。

追問：兩個吸珠間的一段為什么都可以看成線段？

小結(jié)：它們都是直的、有兩個端點，與線的長短、粗細、方向、顏色等無關(guān)。

……

活動3：描出三角形中的三條線段。

交流：描哪條線段時最輕松？

小結(jié)：線段有長短。

聚焦：要描的線段是一樣的，但描出來的線段為什么有粗有細？

小結(jié)：線段無粗細，筆有粗細。

第一次操作是基于教材例題編排的毛線拉直活動，動態(tài)揭示線段的描述性定義，動作感知線段的特征“直”且“有始有終”。第二次的吸珠操作，形象地將兩手與端點進行嫁接，有效排除長短、粗細、方向、顏色等非本質(zhì)屬性，聚焦線段外顯特征“兩個端點”和“直”。值得注意的是，“兩個端點”并非線段的本質(zhì)特征，只是為了清晰地表征出“有始有終”，意即“線段有長短”。第三次的描線段活動更是深刻地體驗了線段的本質(zhì)屬性“線無粗細”和“線段有長短”。于是，一系列外在動作性形符表征的知覺活動催生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維，動作感知點加深了概念知識點與技能點的數(shù)學(xué)理解，線段概念逐層得到清晰內(nèi)化與深層建構(gòu)。

二、圖像式形符表征，讓數(shù)學(xué)概念可視

小學(xué)生以形象直觀思維為主的認知規(guī)律，表現(xiàn)為不同層次的思維水平。鄭毓信認為，學(xué)生思維活動的水平主要取決于外在刺激的程度，對此區(qū)分出動作的、圖像的、符號的三個不同的表征水平，其中圖像表征是指具體物消失時學(xué)生能依據(jù)實物的影像在頭腦中制作心像來進行內(nèi)在的思維活動[1]。特別地，三種表征水平并非純粹線性關(guān)系，完全割裂，體現(xiàn)為相伴相生、辯證融合，共同作用并服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。外化的圖像式形符表征既能刺激學(xué)生內(nèi)在的心智活動，也是學(xué)生頭腦中心像的具體化表達，直觀理解概念，實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的思維可視。

例如上述教學(xué)片斷中，“毛線拉直”時學(xué)生“看見”了線段圖像的雛形，吸珠活動則在頭腦中表征生成半抽象式的線段圖象，而描三角形中的線段直觀呈現(xiàn)圖式，體悟“線段無粗細”“線段有長短”的抽象內(nèi)涵。

在進一步抽象出線段的符號模型之后，筆者設(shè)計了兩次在頭腦中制作心像的內(nèi)在思維活動。

活動1：請大家閉眼想象一下線段的樣子，你在腦海中“看到”了什么？

學(xué)生閉眼想象、交流分享。

師：請大家睜大雙眼看向老師，有沒有發(fā)現(xiàn)此時在你和我的雙眼之間就有一條線段？

學(xué)生想象、思考，慢慢地爆發(fā)出“看見了，我看見線段了”的聲音。

交流小結(jié)：一個端點是老師的眼睛、另一個端點是自己的眼睛，兩個端點之間的目光是直直的，形成一條線段。

活動2：當(dāng)老師走近一點、再走近一點，或者走遠一些、再走遠一些，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我和老師兩眼之間的線段變短或變長了。

圖像式形符表征可以分為兩類，一類是外顯可視的直觀圖像，一類是內(nèi)隱制作的心智圖像。它們通過現(xiàn)實視覺或虛擬視覺，促進概念理解。閉眼活動，學(xué)生在頭腦中固化并強化了線段的圖像模型。睜眼行動，則脫離具體的實物與模型，借助想象展開內(nèi)在思維活動，在腦海中從“有形”走向“無形”，“看見”老師和學(xué)生之間“無形又有形”的線段，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有趣、有意思，又進一步體會“線段無粗細”“線段有長短”，實現(xiàn)線段概念的意義認知與深度抽象。

三、符號化形符表征，讓數(shù)學(xué)概念可思

數(shù)學(xué)符號是在數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)上抽象而成的，符號化表征體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高階思維。張奠宙在《小學(xué)數(shù)學(xué)教育概論》中表示：數(shù)學(xué)概念是客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，它是用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式。然而，“基于概念本身、學(xué)生的年齡特征、心理特征及學(xué)習(xí)水平，在小學(xué)階段有許多概念難以說得清、道得明，甚至只能意會難以言傳，或者有些嚴謹?shù)男g(shù)語對學(xué)生而言理解難度較大，所以一些概念不宜定義或難于定義”[2]。此時，符號化形符表征概念便能實現(xiàn)與動作性形符表征、圖像式形符表征之間的自由轉(zhuǎn)換。

例如教材例題直接給出了線段的符號化形符，傳遞出線段概念的清晰樣態(tài)。所以，先讓學(xué)生畫出心中的線段，自主調(diào)取線段的個性化理解，實施思考與表征，端點的表示方式只是形式化的表達，外化出來的既是線段的圖像式表征、又是線段的符號化表征。

再如“想想做做”第5題：在兩點之間畫一條線段，你能畫出幾條？

觀察思考：如何連線不易重復(fù)和遺漏？

交流連線：給4個點分別標(biāo)上序號1、2、3、4，有序連出線段。

思考討論：如何記錄表達你連出的所有線段？

集體交流：線段1-2、線段1-3、線段1-4、線段2-3、線段2-4、線段3-4。

上述教學(xué)片斷，學(xué)生經(jīng)歷了兩次符號化形符表征的歷程，接受了兩次數(shù)學(xué)思維的沖突與考驗，彰顯了符號化思想。第一次沖突是為了言語表達與有序連線的需要，四個點用1、2、3、4符號化命名，帶來思維便利，并且與4個數(shù)中選兩個組成兩位數(shù)建立圖式關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)了第一次平衡。第二次沖突是如何清晰記錄并表達所連6條線段，實現(xiàn)了將思考過程從言語表征向符號表征的轉(zhuǎn)譯，完成意義重組。類似“線段1-2”的符號化形符表征的形態(tài)雖然不盡完美，但卻是學(xué)生運用數(shù)學(xué)符號進行的思維操作，實現(xiàn)了思維有序，并且傳遞著線段“從點1始、至點2終”的數(shù)學(xué)概念信號，標(biāo)志著主體思維已經(jīng)能達到較高的抽象水平。

事實上，三類思維水平層次的動作性形符表征、圖象式形符表征、符號化形符表征在不同的學(xué)習(xí)階段體現(xiàn)不同的應(yīng)用價值，只有因需要而選、因適合而用，才能降低學(xué)生的認知負荷，從而提升教學(xué)實效，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有序發(fā)展。

參考文獻

[1] 鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

[2] 姚建法.例談小學(xué)數(shù)學(xué)描述性概念的教學(xué)[J].教學(xué)與管理，2015（20）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]

該文為江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十二期重點資助課題“重建兒童課堂生活——基于‘詩意兒童文化的童性課堂研究”（2017JK12-ZA07）、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題中多元表征的教學(xué)研究”（B-a/2020/02/06）的階段性成果