指標(biāo)無量綱化的性質(zhì)分析與方法選擇

岳立柱，許 可，施光磊

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105)

一、引言

指標(biāo)數(shù)據(jù)無量綱化是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，如多準(zhǔn)則決策(MCDM)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)、線性判別法分析(LDA)和主成分分析(PCA)等模型，應(yīng)用前均需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理。采用不同的無量綱化方法，模型結(jié)果往往并不相同。選擇哪種無量綱方法更適合模型，至今仍充滿爭議。

學(xué)者們對無量綱化問題進(jìn)行了深入研究，但觀點(diǎn)并不一致。張衛(wèi)華和趙銘軍根據(jù)序數(shù)特征，在逐步探尋合理等級排序依據(jù)的前提下，認(rèn)為均值化(數(shù)據(jù)除以其均值)是一種較好方法[1]。樊紅艷和劉學(xué)錄認(rèn)為均值化和比重化(數(shù)據(jù)除以其向量模)來進(jìn)行數(shù)據(jù)的無量綱化的方法更加科學(xué)合理[2]。與此不同，郭亞軍和易平濤根據(jù)理想線性無量綱化6條性質(zhì)，認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)化處理法、極差正規(guī)化法和功效系數(shù)法滿足的性質(zhì)最多，因而相對于其他方法來說更為優(yōu)良[3]。胡永宏的結(jié)論更具一般性，認(rèn)為選擇線性無量綱方法應(yīng)遵循的基本原則： 一般情況下宜采取不帶截距項的線性無量綱化方法，如均值化、初值化、比重法等[4]。均值化方法易受樣本值，特別是極端值的影響，李偉偉等提出了中位數(shù)方法改進(jìn)了均值化方法[5]。不過，在樣本沒有極端值的情況下，中位數(shù)方法的效果不一定強(qiáng)于均值法。爭論拓展了對指標(biāo)無量綱化的認(rèn)識，但也給實踐應(yīng)用帶來了困擾。

上述爭論可以歸結(jié)為兩種觀點(diǎn)，一種是無截距的觀點(diǎn)，另一種是有截距的觀點(diǎn)。前者有實證分析結(jié)論為依據(jù)，后者有6條性質(zhì)為依托，各自都有有效“證據(jù)”。郭亞軍和易平濤提出了理想線性無量綱化性質(zhì)應(yīng)滿足6個性質(zhì)，胡永宏認(rèn)為其缺少非常重要的一條，即變異信息的不變性，該性質(zhì)是支持無截距觀點(diǎn)的關(guān)鍵。實際上，由6條性質(zhì)中的差異比不變性能夠推導(dǎo)出變異系數(shù)不變性。因此，變異系數(shù)不變性不是判定是否采用截距的判定條件。從數(shù)學(xué)角度講，無量綱化是一種映射，也就是將各指標(biāo)的實際數(shù)據(jù)映射到一個共同的合適的區(qū)間，確定無量綱化方法就是確定一個函數(shù)關(guān)系式[4]。上述爭議的產(chǎn)生，本質(zhì)上是雙方忽略了指標(biāo)的等值域性，即數(shù)據(jù)映射到一個共同的合適區(qū)間。

無量綱化要保證不同單位的指標(biāo)數(shù)據(jù)具有可比性。無量綱化對各指標(biāo)均取相同區(qū)間值，如果映射后的區(qū)間不同(例如均值化方法)，即使權(quán)重相同，區(qū)間值的作用并不相同。同值域性不僅是指標(biāo)聚合的前提，也是賦予模型意義、增強(qiáng)可解釋的必要步驟。不同類型的指標(biāo)一般是不可以直接綜合的，比如收入水平和人均壽命。從統(tǒng)計學(xué)角度來看，可以通過指標(biāo)共同遵循的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析，例如變動的百分比。無量綱化過程要保持易理解性和可解釋性。結(jié)合權(quán)重視角來看，在線性模型中，Choo等認(rèn)為權(quán)重表示指標(biāo)每變換一個抽象單位，對目標(biāo)值增長“貢獻(xiàn)”一個權(quán)重量[6]。盡管作者沒有明確抽象單位為何物，但默認(rèn)指標(biāo)取值是同值域的。如果無量綱不滿足同值域性，從統(tǒng)計和權(quán)重角度均很難或無法解釋。

目前研究多集中于線性無量綱化方法，非線性無量綱化方法鮮有關(guān)注。Rezaei研究了折線型無量綱化方法，若采用非線性規(guī)范方式，建議采用折線型方法，因為模擬發(fā)現(xiàn)二者效果差異并不明顯[7]。但該研究存在一個明顯缺陷，不能總是滿足指標(biāo)同值域性。盡管該文中所有指標(biāo)的值域為[0，1]，但很多原始指標(biāo)屬于適度型指標(biāo)而非單調(diào)指標(biāo)。對適度型指標(biāo)需要拆分為若干的單調(diào)指標(biāo)。對于適度指標(biāo)可以適度值為界限，將指標(biāo)取值區(qū)間分為兩部分，在不同的部分適度指標(biāo)就轉(zhuǎn)化為正向指標(biāo)和逆向指標(biāo)，因為每個單調(diào)指標(biāo)區(qū)間映射為[0，1]，多個單調(diào)區(qū)間實際上會出現(xiàn)多個[0，1]區(qū)間[4]。不進(jìn)行拆分的話，會失去可理解性和解釋性。對于非線性轉(zhuǎn)換方式，認(rèn)為很多時候會改變原始數(shù)據(jù)的比例關(guān)系。實際上，原始數(shù)據(jù)比例關(guān)系表現(xiàn)方式與所研究的問題性質(zhì)有關(guān)，例如收入水平與效用關(guān)系，一般來說隨著收入的增加，邊際效用遞減，同樣增加一元錢，不同收入水平條件下，增加的效用不同。因此，保持?jǐn)?shù)據(jù)比例關(guān)系是一個理想追求，但不是規(guī)范化的必要條件。

逆向指標(biāo)轉(zhuǎn)化在實際中最常見的就是取倒數(shù)，其好處之一是取倒數(shù)后的指標(biāo)可能有實際的意義，比如“萬元產(chǎn)值能耗”取倒后可變?yōu)椤懊繂挝荒芎膶崿F(xiàn)的產(chǎn)值”[4]。葉宗裕認(rèn)為“這種取倒數(shù)的變換方法完全改變了原指標(biāo)的分布規(guī)律，所得綜合評價結(jié)果肯定是不準(zhǔn)確的，因而是不可取的”[8]。取倒數(shù)法的確不是一個可選方法，其關(guān)鍵是指標(biāo)取值不滿足同值域性。單純從數(shù)據(jù)角度考慮要保持指標(biāo)數(shù)據(jù)分布，該標(biāo)準(zhǔn)不必刻意遵循，因為指標(biāo)和研究對象之間的函數(shù)關(guān)系才是問題的核心。

當(dāng)前，國外直接研究無量綱化的文獻(xiàn)非常少見，因其更多地集中于指標(biāo)函數(shù)和指標(biāo)集結(jié)問題的研究，相對而言，無量綱化是一個“小”問題。Bell從效用函數(shù)的視角，證明了當(dāng)效用函數(shù)的自變量相互獨(dú)立時，各指標(biāo)的綜合函數(shù)為線性函數(shù)[9]。由偏好強(qiáng)度可以衡量和顯示價值函數(shù)[10]。Bleichrodt等提出不確定條件下，決策者常使用期望函數(shù)構(gòu)造價值函數(shù)[11]。無論是效用函數(shù)還是價值函數(shù)，在最終的指標(biāo)集結(jié)環(huán)節(jié)，均需要對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。

綜上，本文以指標(biāo)無量綱化應(yīng)滿足同值域性為出發(fā)點(diǎn)，遵循簡單實用的原則，對無量綱化所具備的特征進(jìn)行分析，給出一種更一般性的無量綱化方法，不僅適用于線性而且還能適用于非線性無量綱化處理方式。

二、線性無量綱化的性質(zhì)分析

無量綱化函數(shù)要滿足同值域性。為了遵從習(xí)慣和分析方便將值域規(guī)定為[0，1]區(qū)間，設(shè)指標(biāo)初始取值區(qū)間為[a，b]，a，b∈R。適度性指標(biāo)的評價需要拆分成單調(diào)型指標(biāo)，對適度指標(biāo)可以適度值為界限，將指標(biāo)取值區(qū)間分為兩部分，在不同的部分適度指標(biāo)就轉(zhuǎn)化為正向指標(biāo)和逆向指標(biāo)。首先對郭亞軍和易平濤(文獻(xiàn)[3])提出的理想無量綱化的性質(zhì)進(jìn)行分析，重點(diǎn)分析性質(zhì)2(差異比不變性)，在此基礎(chǔ)上再對其它性質(zhì)進(jìn)行簡要討論。

文獻(xiàn)[3]提出6條性質(zhì)中，差異比不變性是一個最為重要的性質(zhì)，一定條件下，根據(jù)該性質(zhì)可以推導(dǎo)出其它性質(zhì)。所謂差異比不變性，即要求無量綱化后的數(shù)據(jù)保留原有數(shù)據(jù)之間對于某個標(biāo)準(zhǔn)量的比較關(guān)系，即有：

(1)

(x1，x2為極大型指標(biāo)x的任意兩個觀測值，x′為一特定的標(biāo)準(zhǔn)值)成立。

函數(shù)f(x)若滿足性質(zhì)2，則其一定為線性函數(shù)。由性質(zhì)2題設(shè)可令x′=a，x2=b，帶入式(1)有：

(2)

整理式(2)得：

(3)

根據(jù)式(3)可知，滿足差異比不變性的無量綱化函數(shù)一定為線性函數(shù)。由于線性函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，自然滿足文獻(xiàn)[3]的性質(zhì)1即保序性；由于線性函數(shù)滿足變異不變性，即變異系數(shù)σ/μ于無量綱化前后保持不變，由性質(zhì)2可得胡永宏強(qiáng)調(diào)的變異系數(shù)不變性[4]。文獻(xiàn)[3]的性質(zhì)6為總量恒定性，縮放后總量保持不變，即縮放平移后原始數(shù)據(jù)之和保持不變。性質(zhì)2則表明無量綱函數(shù)為線性函數(shù)，保持?jǐn)?shù)據(jù)總和不變，易知f(x)=x。因此，性質(zhì)6與性質(zhì)2是不能同時存在的。實際上總量恒定性不是一個好的性質(zhì)。無量綱化的目的是使量綱指標(biāo)數(shù)據(jù)具有可比性，各指標(biāo)應(yīng)映射到一個恒定的區(qū)間，與數(shù)據(jù)總和是否變動沒有必然關(guān)系。

另外，式(1)的表達(dá)不便理解，需要將其轉(zhuǎn)為更為直觀的表達(dá)方式。對?x1，x2，x3∈[a，b]，根據(jù)式(1)可知：

(4)

(5)

整理式(4)和(5)可得：

(6)

定義若函數(shù)f：[a，b]→[0，1]在定義域上連續(xù)且單調(diào)，則稱f(x)為0-1規(guī)范函數(shù)。

為了與習(xí)慣相符，0-1規(guī)范函數(shù)也可稱為0-1無量綱化函數(shù)。下面定理表明，任意形式的線性無量綱函數(shù)，轉(zhuǎn)換至0-1規(guī)范函數(shù)均有相同的函數(shù)形式。

定理1設(shè)f(x)為[a，b]上的線性函數(shù)，若將其轉(zhuǎn)換成0-1線性規(guī)范函數(shù)g(x)，則：

①當(dāng)f(x)單調(diào)增，則有g(shù)(x)=(x-a)/(b-a)；

②當(dāng)f(x)單調(diào)減，則有g(shù)(x)=(b-x)/(b-a)。

證明：函數(shù)f(x)為[a，b]上的線性函數(shù)，于是設(shè)f(x)=px+q。當(dāng)其為單調(diào)增時有f(a)≤f(x)≤f(b)，于是0≤f(x)-f(a)≤f(b)-f(a)，進(jìn)一步有：

(7)

將f(x)=px+q帶入上式，整理得[f(x)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=[x-a]/[b-a]，顯然g(x)=[x-a]/[b-a]為0-1規(guī)范函數(shù)。

再證唯一性。若存在兩個不同的0-1規(guī)范函數(shù)，即設(shè)gi(x)=pix+qi，i=1，2。由0-1規(guī)范函數(shù)可知：

g1(a)=p1a+q1=0，g2(a)=p2a+q2=0

g1(b)=p1b+q1=1，g2(b)=p2b+q2=1

整理得g1(b)-g1(a)=p1(b-a)=1，g2(b)-g2(a)=p2(b-a)=1，顯然p1=p2，同理可知q1=q2。故唯一性成立。

綜上，可知定理1①成立。定理1②證明類似，證略。

推論任意線性函數(shù)轉(zhuǎn)換成0-1線性規(guī)范函數(shù)，均受區(qū)間端點(diǎn)值的影響。

在線性規(guī)范背景下，由定理1可知，0-1規(guī)范函數(shù)滿足文獻(xiàn)[3]的性質(zhì)3、性質(zhì)4和性質(zhì)5。性質(zhì)3為平移無關(guān)性，即對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行“平移” 變換不會影響無量綱化后的結(jié)果。性質(zhì)4為縮放無關(guān)性，即對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行“縮小” 或“放大”變換不會影響無量綱化后的結(jié)果。性質(zhì)5為區(qū)間穩(wěn)定性，即對任意一指標(biāo)原始數(shù)據(jù)的無量綱化處理結(jié)果都處在一個確定的取值范圍內(nèi)。

三、非線性無量綱的選擇方法

無量綱函數(shù)可分為單調(diào)型和適度型兩類，單調(diào)型可細(xì)分為線性單調(diào)和非線性單調(diào)，適度型函數(shù)又可細(xì)分為折線型和非折線型兩種。適度型指標(biāo)需要拆分，對拆分后的指標(biāo)取值區(qū)間分別進(jìn)行同值域化處理。因此，對無量綱函數(shù)的研究轉(zhuǎn)換為對單調(diào)型函數(shù)的研究。

無量綱函數(shù)f(x)單調(diào)增或減，可分別采用如下公式進(jìn)行0-1規(guī)范化處理：

[f(x)-f(a)]/[f(b)-f(a)]

(8)

[f(b)-f(x)]/[f(b)-f(a)]

(9)

對非線性0-1規(guī)范函數(shù)，函數(shù)形式有時比較復(fù)雜，需要借助下面定理進(jìn)行研究。

定理2若f(x)為0-1規(guī)范函數(shù)且單調(diào)增，則存在唯一連續(xù)且單調(diào)增函數(shù)φ(x)，使得f(x)=φ(g(x))，其中g(shù)(x)=(x-a)/(b-a)。

證明：由于g(x)為線性函數(shù)，故其存在逆函數(shù)g-1，于是x=g-1(g(x))=(g-1°g)(x)。將其代入f(x)得：

f(x)=f(g-1(g(x)))=(f°g-1)(g(x))

令φ=f°g-1，由于f，g-1連續(xù)單調(diào)增且給定的，故φ(x)連續(xù)單調(diào)增且唯一的。證畢。

為了方便，稱定理2中的φ(x)為生成函數(shù)，由證明過程可知φ(x)=f(g-1(x))，于是單調(diào)非線性0-1規(guī)范函數(shù)f(x)均可轉(zhuǎn)換成對φ(x)的研究。顯然，函數(shù)φ(x)與f(x)同序；f(x)為非線性函數(shù)，則φ(x)為非線性函數(shù)。不難驗證，若函數(shù)φ(x)連續(xù)，且滿足φ(0)=0，φ(1)=1，則φ(g(x))是0-1規(guī)范函數(shù)。

在應(yīng)用中，對單調(diào)增的非線性0-1規(guī)范函數(shù)，對原始數(shù)據(jù)先應(yīng)用g(x)=(x-a)/(b-a)進(jìn)行線性化處理，之后再根據(jù)實際情況，采用特定的φ(x)構(gòu)造出規(guī)范函數(shù)。

Rezaei(文獻(xiàn)[7])介紹了一種應(yīng)用較靈活的非線性無量綱函數(shù)，即：

(10)

不過式(10)函數(shù)形式相對復(fù)雜，調(diào)節(jié)參數(shù)ρ時，要考慮邊界值a，b。同樣的ρ值，由于邊界值的不同，表示的含義不同。在模擬仿真分析中，文獻(xiàn)[7]要不斷變換指標(biāo)邊界值。根據(jù)定理2，能得到式(10)的一般表示形式。函數(shù)g(x)的逆函數(shù)為g-1(x)=(b-a)x+a，根據(jù)φ=f°g-1，得到：

(11)

令(b-a)/ρ=θ，代入式(11)右端上式，整理得：

(12)

進(jìn)而，根據(jù)式(12)和式(11)整理有：

(13)

根據(jù)式(13)中參數(shù)θ的取值變化，分別繪制了其大于零和小于零時的若干曲線圖。

從圖1和圖2可以看出，參數(shù)θ取值決定著函數(shù)形狀。當(dāng)θ>0時函數(shù)φ(x)為上凹函數(shù)；當(dāng)θ<0時函數(shù)φ(x)為下凸函數(shù)；當(dāng)θ=0時函數(shù)φ(x)為線性函數(shù)。根據(jù)實際情況，可以選擇相應(yīng)的函數(shù)形式。例如，研究收入對效用的影響，根據(jù)邊際效用遞減規(guī)律可采用上凹函數(shù)，即θ>0；令Δ表示空氣污染物So2的濃度增量，當(dāng)濃度很小時，一個小的濃度增量變化對人體危害不大，當(dāng)濃度很大時，特別是接近于人體承受臨界，一個小的增量Δ便起到了“壓死駱駝的最后一根稻草”的作用，此時應(yīng)選擇上凸函數(shù)。

如何根據(jù)實際情況確定參數(shù)θ的凹凸形狀，即參數(shù)θ具體取值呢？實際上，在一些情況下，過于“精確”反而起到反作用，因為這些細(xì)節(jié)會給我們帶來困惑與苦惱，會給我們一個精準(zhǔn)的假象。然而，輸出結(jié)果并不會因廣泛的近似而貶值。但對式(13)的函數(shù)特征可以給出輔助性的判定方法。對φ(x)進(jìn)行求導(dǎo)：

(14)

對?x1，x2∈[0，1]，二者導(dǎo)數(shù)的比值整理得：

(15)

令exp[θ(x2-x1)]=k，兩端取對數(shù)整理得：

(16)

在模糊語義隸屬函數(shù)構(gòu)造過程中，特別是五級劃分中，圍繞0.2為軸構(gòu)造的隸屬函數(shù)表示較低水平、0.8為軸對應(yīng)較高水平。假如在空氣質(zhì)量污染較高水平下一個小的增量效果是較低水平下的2倍，于是根據(jù)公式(16)可得到θ=ln2/(0.8-0.2)=1.155。

圖1 參數(shù)θ為正值對應(yīng)的曲線圖

圖2 參數(shù)θ為負(fù)值對應(yīng)的曲線圖

四、逆向指標(biāo)的轉(zhuǎn)換方法

指標(biāo)同向化處理過程中，學(xué)者們注意到了將逆向指標(biāo)轉(zhuǎn)換為正向指標(biāo)存在的問題。當(dāng)前常取倒數(shù)進(jìn)行正向化處理。葉宗裕認(rèn)為取倒數(shù)的變換方法完全改變了原指標(biāo)的分布規(guī)律，該方法不可取，提出了對逆向指標(biāo)正向化方法通過端點(diǎn)值簡單變換即可，即給定逆向指標(biāo)原始數(shù)據(jù)x，通過b-x變換即滿足要求。取倒數(shù)本質(zhì)上是采用了非線性變換，不滿足差異比不變性，更不滿足指標(biāo)同值域化基本要求。

逆向指標(biāo)的選擇還應(yīng)滿足同向不變性。所謂同向不變性是指，無論將所有指標(biāo)轉(zhuǎn)換為正向指標(biāo)，還是將其轉(zhuǎn)換成逆向指標(biāo)，二者的排序應(yīng)該是互反的，即優(yōu)劣關(guān)系保持不變。容易驗證，倒數(shù)法的同向化處理方法，不滿足同向不變性。

對于0-1規(guī)范函數(shù)f(x)，遵循簡單易行的原則，對逆向指標(biāo)采用如下正向化方法：

f(b)-f(x)=1-f(x)

(17)

式(17)遵循了葉宗裕的思路，但適用范圍更廣。當(dāng)f(x)為0-1非線性函數(shù)時，1-f(x)也為0-1非線性函數(shù)。該變換方法保證了同向不變性。設(shè)有n個指標(biāo)，x=(x1，x2，…，xn)正向化向量記(f(x1)，f(x2)，…，f(xn))，根據(jù)式(17)逆向化向量為(1-f(x1)，1-f(x2)，…，1-f(xn))。正向化線性綜合值如下：

F1(x)=ω1f(x1)+ω2f(x2)+…+ωnf(xn)

逆向化線性綜合值為：

F2(x)=ω1[1-f(x1)]+ω2[1-f(x2)]+…+ωn[1-f(xn)]=1-F(x)

于是，可知對任意兩個x，y∈Rn，若F1(x)>F1(y)，則有F2(x)

五、實施步驟

應(yīng)用0-1規(guī)范函數(shù)對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。首先明確指標(biāo)邊界。結(jié)合定理1和定理2可知，任何0-1規(guī)范函數(shù)都受邊界值影響，因此邊界值的確定是規(guī)范化重要的基礎(chǔ)性步驟。確定邊界值更多需要借助專業(yè)人士來完成。同樣的數(shù)據(jù)在不同的情境下意義可能并不相同，其可能的邊界也會變動。其次，根據(jù)各指標(biāo)反映的研究對象，通過模型與實踐背景相結(jié)合的原則，估計無量綱函數(shù)的θ。最后對指標(biāo)進(jìn)行同向化處理。具體操作步驟如下：

第一步：確定指標(biāo)邊界值；

第二步：根據(jù)定理1中的①，將指標(biāo)取值變換至[0，1]區(qū)間；

第三步：確定參數(shù)θ，根據(jù)式(13)對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理；

第四步：根據(jù)式(17)將逆向指標(biāo)調(diào)整為正向指標(biāo)。

六、實例分析

盡管文獻(xiàn)[7]研究多個適度型指標(biāo)，出于簡單方便的原則認(rèn)為折線型適度指標(biāo)很大程度可以代替非折線適度型指標(biāo)。由于適度型指標(biāo)需要拆分成單調(diào)指標(biāo)，因此只需討論線性與非線性指標(biāo)的無量綱化問題。選擇實例目的在于，驗證線性與非線性無量綱化方法兩種結(jié)果多大程度能保持一致。

例子選自鄒志紅等的文獻(xiàn)，該例對三峽庫區(qū)重慶、長壽等城市江段13個監(jiān)測斷面，運(yùn)用線性綜合方法進(jìn)行水質(zhì)評價[12]。水質(zhì)評價采用了溶解氧(DO)、高錳酸鹽(CODmu)、化學(xué)耗氧量(CODCr)、五日生化耗氧量(BOD5)、總磷(TP)等5項非生物代表性指標(biāo)作為指標(biāo)集，原始數(shù)據(jù)見表1。

表1 原始數(shù)據(jù)

出于簡便的原則，采用各指標(biāo)的最大與最小值作為各指標(biāo)的取值邊界(實踐中可能需要專家經(jīng)驗確定取值邊界)。根據(jù)定理1中的①，將指標(biāo)取值變換至[0，1]區(qū)間(見表2)，注意逆向指標(biāo)溶解氧(DO)也采用同樣的變換方式。

表2 正向0-1線性歸一化數(shù)據(jù)

由于污染物隨著濃度的增加，其對環(huán)境的影響程度隨著邊際濃度增加而增大，因此參數(shù)θ的取值應(yīng)小于零，分別選擇0、-0.5、-1、-2、-3、-4、-5、-10和-20等9個參數(shù)。分別根據(jù)式(13)對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理(對逆向指標(biāo)溶解氧(DO)根據(jù)式(17)進(jìn)行正向變換)。根據(jù)各指標(biāo)權(quán)重(見表3)，采用線性函數(shù)對5個標(biāo)準(zhǔn)化后的指標(biāo)進(jìn)行集結(jié)。

表3 準(zhǔn)則權(quán)重

對集結(jié)結(jié)果進(jìn)行排序，序值越小表示污染程度越大。各參數(shù)值對應(yīng)的排序結(jié)果見表4。

表4 對應(yīng)不同參數(shù)值下的方案排序

采用k-means算法進(jìn)行聚類分析。對排序結(jié)果進(jìn)行聚類分析，得到圖3。由圖3可以看出，θ取值排序結(jié)果可以分成三個大類：A={0，-0.5，-1，-2}、B={-3，-4，-5}和C={-10，-20}。

聚類結(jié)果表明，線性規(guī)范排序結(jié)果與非線性排序結(jié)果存在差異；多個非線性規(guī)范也存在差異，例如B類和C類。因此，直接用線性函數(shù)來替代非線性規(guī)范函數(shù)有時是不可取的。在本例中，根據(jù)經(jīng)驗判定，假若θ值小于0，但不會小于-2，此時可以選擇線性0-1規(guī)范函數(shù)進(jìn)行無量綱化處理；但是，若θ取值為C類，這時用線性規(guī)范函數(shù)會發(fā)生較明顯偏差。

該例顯示，不同的無量綱函數(shù)的確可能有不同排序結(jié)果。在實踐應(yīng)用中，評估θ取值是選擇線性函數(shù)和非線性函數(shù)的關(guān)鍵。另外，差異程度不僅與評價模型類型有關(guān)，與模型中具體參數(shù)設(shè)置也有關(guān)，例如權(quán)重取值。因此，需要理論與實踐經(jīng)驗相結(jié)合來估計參數(shù)θ，并評估包含該參數(shù)值的穩(wěn)定區(qū)間。

圖3 k-means聚類圖

七、結(jié)論

研究發(fā)現(xiàn)，同值域性是實施指標(biāo)無量綱化過程的關(guān)鍵性必要條件。遵循同值域性指標(biāo)的無量綱化方法可以歸結(jié)為統(tǒng)一形式，即首先通過極差無量綱化公式將指標(biāo)數(shù)據(jù)映射至[0，1]區(qū)間；根據(jù)實際意義選擇線性或者非線性函數(shù)，再次進(jìn)行數(shù)值轉(zhuǎn)換；之后，對逆向指標(biāo)根據(jù)式(17)同向變換。極差無量綱化方法不僅是最佳的線性規(guī)范方法，更是非線性規(guī)范的基礎(chǔ)。通過生成函數(shù)，有助于選擇非線性無量綱化函數(shù)，降低對其進(jìn)行分析的難度，有效規(guī)避指標(biāo)區(qū)間端點(diǎn)不斷變動而導(dǎo)致的分析困難。對無量綱化的分析表明，無論采用何種0-1規(guī)范函數(shù)，均不可避免受到區(qū)間端點(diǎn)的影響，確定區(qū)間端點(diǎn)是有效避免逆序發(fā)生的關(guān)鍵。需要注意的是，本文應(yīng)用的0-1非線性規(guī)范函數(shù)，即式(13)僅是非線性函數(shù)中的一類，對于有拐點(diǎn)的呈“S”型單調(diào)規(guī)范函數(shù)(如文獻(xiàn)[13])也是一種常用類型。對該類函數(shù)的分析，將在今后的研究過程中有所體現(xiàn)。