Mohr-Coulomb準則模型的能量描述

林大超，杜景峰，劉海波，吳強杰

(華北科技學院 建筑工程學院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

Mohr-Coulomb(M-C)準則以其簡單的數(shù)學形式和明確的物理意義描述了外力作用下材料破壞的強度關(guān)系。它在許多研究工作和工程技術(shù)問題中得到廣泛應(yīng)用[1]，所涉及到的對象包括巖土介質(zhì)[2-6]、混凝土[7-9]、金屬材料[10-12]和金屬玻璃材料[13，14]，甚至于生物材料[15，16]。然而，M-C準則在理論上的一般性以及強度預(yù)測結(jié)果的可靠性仍存在著某些爭議[17]。如何深入理解這個準則依然是當前研究工作值得關(guān)注的一個基本問題。

M-C準則的發(fā)展可以追溯到Coulomb在1773年所完成的工作[18]。他認為材料剪切破壞強度滿足破壞面上法向應(yīng)力的線性關(guān)系。上世紀初，Mohr應(yīng)用極限狀態(tài)下應(yīng)力圓包絡(luò)線的線性近似，成功地解釋了這一關(guān)系的正確性[19]，同時開啟了M-C準則應(yīng)用推廣的發(fā)展時代。

迄今，M-C準則已經(jīng)得到了相當普遍的認可，但在某些情況下也發(fā)現(xiàn)理論與試驗觀測結(jié)果存在著明顯的差異，由此引起的質(zhì)疑仍是一個無法回避的話題[17]。問題的焦點主要集中在三個方面：一是準則的線性描述過于簡單，無法反映材料破壞變形的非線性效應(yīng)[20]；二是準則沒有考慮中間主應(yīng)力的影響，不符合試驗觀測結(jié)果所反映的事實[21]；三是準則的空間描述存在不光滑的棱角，不便于數(shù)值模擬計算的實施[22]。圍繞Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的改進，采用不同極限應(yīng)力破壞面函數(shù)或參數(shù)形式構(gòu)造新的準則，以克服這些不足，成為了近年來十分重要的探索方向[20-27]。對于給定的材料，相關(guān)研究確實呈現(xiàn)了與觀測數(shù)據(jù)更為吻合的理論結(jié)果。但出于模型描述的需要，它們也建議了新的材料參數(shù)。在大多數(shù)情況下，這些參數(shù)的物理意義并不是十分明確，使得新的理論關(guān)系喪失了原始M-C準則所具有的一般性和良好的推廣能力。

Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的概念很好地詮釋了不同應(yīng)力狀態(tài)與破壞發(fā)生臨界條件的聯(lián)系，但它無法解釋破壞現(xiàn)象發(fā)展過程的物理特征。其實，M-C準則具有與其關(guān)聯(lián)的力學模型。該模型表明，材料的破壞源于內(nèi)部的剪切滑動，滑動啟動的力平衡條件確定了破壞發(fā)生的臨界狀態(tài)。當法向應(yīng)力所引起滑動阻力滿足材料性質(zhì)相關(guān)的線性關(guān)系時，這個臨界條件恰好對應(yīng)于M-C準則?？傻贸觯@其中存在一個尚未引起普遍關(guān)注的基本問題，即破壞滑動面位向該如何得到確定[28]。M-C準則將其假設(shè)為一個材料常數(shù)，即內(nèi)摩擦角。顯然，該假定并不符合壓縮破壞時破壞位向壓力相關(guān)的試驗結(jié)果[29]。力平衡條件本身無法回答這個問題。它表明從新的視角認識M-C準則的必要性。

在物理概念上，破壞的能量解釋應(yīng)該具有更強的說服力[30]。遺憾的是，能量描述的應(yīng)用實踐[31-33]還沒有獲得突破性的發(fā)現(xiàn)。

本文立足M-C準則相關(guān)聯(lián)的力學模型，給出了破壞面上一點的破壞能函數(shù)。依據(jù)其極值條件，確定了破壞發(fā)生的位向和破壞能的大小。在此基礎(chǔ)上，利用破壞能與裂紋表面能的守恒關(guān)系，給出了壓縮條件下M-C準則模型能量描述所對應(yīng)的臨界破壞條件。在平面壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，它的主應(yīng)力坐標描述與M-C準則具有完全一致的函數(shù)形式。在側(cè)限壓縮條件下，體積應(yīng)變飽和近似給出它與M-C準則的明確聯(lián)系。

1 M-C準則及其力學模型

M-C準則可以用Mohr極限應(yīng)力圓直觀地圖解表示，如圖1(a)所示。圖1中的直線AL給出了不同應(yīng)力狀態(tài)下Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的線性近似，確定了材料破壞強度的臨界條件。強度曲線AL與σ軸的夾角為φ，定義了材料的內(nèi)摩擦角。強度曲線AL與τ軸的截距為c，定義了材料的粘結(jié)(內(nèi)聚)力。它與最大主應(yīng)力分量σ1和最小主應(yīng)力分量σ3所確定的應(yīng)力圓相切于D點。該點的應(yīng)力給出了材料的極限平衡狀態(tài)，可以表示為

τ=c+σtanφ

(1)

另一方面，在平面應(yīng)力分量σ1和σ3作用下(僅考慮壓縮狀態(tài)，并取壓應(yīng)力為正)，可以給出一點極限應(yīng)力狀態(tài)圖示，如圖1(b)所示。圖中，與水平方向呈仰角θ的斜面表示了破壞面。該仰角θ又稱為破斷角，它是斷裂角的余角，與內(nèi)摩擦角φ之間具有如下關(guān)系

2θ=90°+φ

(2)

在圖1(b)中，τ和σ分別為破壞面上的切應(yīng)力和正應(yīng)力分量。當材料的純剪破壞抗力為c，且正應(yīng)力σ所引起破壞面的滑動阻力滿足線性關(guān)系時，破壞滑動方向的力平衡條件恰好給出式(1)。因此，圖1(b)表示了M-C準則相關(guān)聯(lián)的力學模型。

圖1 M-C準則的圖示描述

然而，圖1(b)的力學模型本身無法確定破壞面的方位。雖然這個問題由式(2)得到解決，但卻留下了一些值得思考之處。首先，直線AL是極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的近似，表明真實的內(nèi)摩擦角φ不可能是一個恒定的材料常數(shù)。其次，極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的直線近似可能使切點D略為偏離真實的極限平衡狀態(tài)，因此，根據(jù)式(2)從摩擦角φ得到的破斷角θ并不代表破壞面的真實位向。此外，調(diào)整極限應(yīng)力圓包絡(luò)線的函數(shù)形式(相當于將內(nèi)摩擦角視為可變的材料參數(shù))，可以獲得與試驗測試數(shù)據(jù)更為吻合的描述結(jié)果，但是目前仍不清楚理論上的最佳包絡(luò)線應(yīng)該滿足哪些基本要求。

2 破壞能函數(shù)與破壞能

當材料以斷裂或開裂形式發(fā)生破壞時，裂紋的表面能直觀反映了破壞所需能量。該能量來源于外力作用下材料內(nèi)部儲存的彈性應(yīng)變能。對應(yīng)于圖1(b)所示力學模型，剪切變形驅(qū)動了剪切破壞運動。因此，切應(yīng)力τ關(guān)于彈性切應(yīng)變γ所儲存的應(yīng)變能eτ確定了破壞面上一點材料破壞的驅(qū)動能。在該點，體積變形均勻分布于各個方向。沿破壞面切向，它提供了疊加于剪切滑動的變形成分，但正反向運動的對稱性使其無法通過切應(yīng)力的作用儲存能量。沿破壞面法向，它保持著與正應(yīng)力σ一致的作用方向，使正應(yīng)力σ關(guān)于體積應(yīng)變εV儲存彈性應(yīng)變能eV。這部分能量以體積應(yīng)變?yōu)檩d體，影響到破壞面的剪切運動，屬于材料破壞的影響能。由此可見，驅(qū)動能eτ和影響能eV共同構(gòu)成了一點處材料破壞的總能量。

若材料破壞卸載的剪切彈性模量為μ，破壞面上一點的彈性切應(yīng)變γ可以表示為

γ=τ/μ

(3)

因此，破壞面上一點的剪切彈性應(yīng)變能，即驅(qū)動能eτ為

eτ=τ2/(2μ)

(4)

若材料的體積割線彈性模量為K，破壞面上一點的體積應(yīng)變εV可以用該點的體積應(yīng)力σV表示為

εV=σV/(3K)

(5)

破壞發(fā)生時，破壞面上的作用力隨之卸除。由于壓縮應(yīng)力σ對破壞具有抑制作用，因此，它所提供的彈性應(yīng)變能為負。此外，體積變形在兩個破裂面上同時恢復(或者說在兩個相對方向上與正應(yīng)力同時發(fā)生作用)，因而正應(yīng)力σ相關(guān)的影響能eV應(yīng)為

eV=-σVσ/(3K)

(6)

驅(qū)動能和影響能之和給出了破壞面上一點處材料的破壞能e為

e=eτ+eV=τ2/(2μ)-σVσ/(3K)

(7)

在導出這個方程時，必須預(yù)先設(shè)定破壞面，因此，破壞能e是破壞面位向的函數(shù)。

為了確定破壞面的真實位向，不妨將問題置于主應(yīng)力分量σ1、σ2和σ3(σ1≥σ2≥σ3)構(gòu)成的應(yīng)力空間中。假定破壞面的外法線方向余弦為{l1，l2，l3}，切應(yīng)力τ可以表示為

(8)

正應(yīng)力σ為

(9)

考慮到限制條件

(10)

式(8)和(9)的切應(yīng)力和正應(yīng)力表述關(guān)系可以改寫為

(11)

(12)

將式(11)和(12)代入式(7)，有

(13)

式中，參數(shù)k定義為

k=μ/(3K)

(14)

真實的破壞面應(yīng)使破壞能函數(shù)e取得最大值，它要求

?e/?l1=?e/?l2=0

(15)

由此得到方程組

(16)

(17)

注意到l1≠0，可以給出這個方程組的解為

(18)

它給出了破壞面的位向，從理論上消解了確定剪切破壞滑動方向的困惑。

將式(18)代入式(13)得到破壞能函數(shù)e的最大值為

(19)

它給出了導致材料破壞發(fā)生的真實破壞能。

3 壓縮破壞的臨界條件

若材料的單位表面能為γs，破壞形成兩個裂紋面的總表面能應(yīng)為2γs。根據(jù)能量守恒原理，破壞發(fā)生時，破壞能轉(zhuǎn)化為破壞面的表面能，因此，有臨界能量條件

(20)

在純剪應(yīng)力狀態(tài)下，有σV=0。由式(18)知，此時的破壞面與最大剪應(yīng)力面重合。若材料純剪破壞強度為τ0，由式(20)可以得到

(21)

它表明材料的表面能可以借助其純剪破壞強度得到確定。將式(21)代回式(20)，整理后，有

(22)

方程(22)給出了壓縮條件下M-C準則模型能量描述對應(yīng)的臨界破壞條件。與原始的M-C準則類似，它是一個包含兩個材料參數(shù)的強度關(guān)系。不同的是，能量描述結(jié)果不再是一個線性關(guān)系，并通過體積應(yīng)力反映了中間主應(yīng)力對強度的影響。參數(shù)τ0是材料的純剪破壞強度，與M-C準則關(guān)系(1)中粘結(jié)力c完全一致，有τ0=c。參數(shù)k由式(14)所定義，它與材料剪切彈性模量μ和體積模量K的比值相關(guān)。

對于均勻各向同性材料，在完全彈性變形狀態(tài)下，剪切模量和體積模量滿足關(guān)系

μ=(E/2)/(1+ν)

(23)

K=(E/3)/(1-2ν)

(24)

式中，E為材料的楊氏模量，ν是材料的泊松比。將上述式(23)和(24)代入式(14)，可得

k=0.5(1-2ν)/(1+ν)

(25)

當材料的泊松比在0到0.5之間變化時，參數(shù)k具有與之相同的變化范圍。

在大多數(shù)情況下，剪切彈性模量μ隨應(yīng)力狀態(tài)的變化不是十分顯著，可以近似為一常數(shù)。相對而言，體積模量的變化更為復雜一些。當壓力較小時，體積變形具有近似線性關(guān)系。但是，隨壓力增大，體積變形的變化速率迅速降低，呈現(xiàn)逐漸飽和的趨勢。若以單軸壓縮破壞作為參考狀態(tài)，不妨將這種變化近似為

εV=(σC/3K0)(σV/σC)m

(26)

式中，K0是單軸壓縮破壞時的體積模量，m是體積變形非線性特征指數(shù)。如圖2所示，當m取 0時，體積應(yīng)變?yōu)槌?shù)，對應(yīng)于體積應(yīng)變飽和狀態(tài)。當m取 1時，體積變形一直保持著壓力的線性關(guān)系，體積模量為常數(shù)。更為一般地，體積變形在線性發(fā)展與飽和狀態(tài)之間變化。應(yīng)用單軸壓縮的體積應(yīng)變曲線，考慮到描述非線性特征的需要，對方程(26)進行擬合，易于計算確定體積變形非線性特征指數(shù)m。

圖2 體積—應(yīng)變曲線的簡化描述

對比式(5)和(26)，有

K=K0(σV/σC)1-m

(27)

當剪切彈性模量為常數(shù)時，由參數(shù)k的定義式(14)，得到

k=k0(σC/σV)1-m

(28)

式中，k0為單軸壓縮破壞時參數(shù)k的取值。

4 分析與討論

4.1 單軸壓縮強度

單軸壓縮時，有σ2=σ3=0及σV=σ1，式(22)簡化為

(1-2k)σ1=2τ0

(29)

若將單軸壓縮強度記為σC，參數(shù)k記為k0，考慮到τ0=c，可以得到

σC=2τ0/(1-2k0)=2c/(1-2k0)

(30)

在σ1-σ3坐標中，M-C準則給出的單軸壓縮強度σC為[1，34]

σC=2ccosφ/(1-sinφ)

(31)

要使上述兩個表述形式的單軸壓縮強度σC保持一致，須有

k0=0.5[1-(1-sinφ)/cosφ]

(32)

由此可見，若將參數(shù)k作常數(shù)近似，可以從M-C準則的兩個材料參數(shù)c和φ確定其能量表述關(guān)系中的兩個基本參數(shù)τ0和k0。

單軸壓縮試驗不僅可以確定材料的壓縮強度σC，也可以測定破斷角θ。破斷角的余弦給出了式(18)第一式中的l1。注意到單軸壓縮的應(yīng)力狀態(tài)特征，從該式易于得到

k0=0.5-cos2θ

(33)

它給出一種由試驗觀測結(jié)果對參數(shù)k0進行估計的方法。

4.2 兩向壓縮強度

兩向壓縮時，若σ1和σ3分別表示兩個壓縮主應(yīng)力，按應(yīng)力大小排序，作代換{σ1→σ1，σ2→σ3，σ3→σ2=0}后，式(22)簡化為

(1-2k)σ1-2kσ3=2τ0

(34)

將參數(shù)k近似為常數(shù)k0，考慮到式(30)，得到

σ1=σC+2k0/(1-2k0)σ3

(35)

在σ1-σ3坐標中，M-C準則可以表示為[1，34]

σ1=σC+(1+sinφ)/(1-sinφ)σ3

(36)

對比得到，式(35)和(36)具有完全一致的數(shù)學描述形式，但二者關(guān)于應(yīng)力分量σ3的系數(shù)完全不同。如果常數(shù)k0由式(32)所確定，式(35)中應(yīng)力分量σ3相關(guān)項的系數(shù)應(yīng)為

2k0/(1-2k0)=[(1+sinφ)-(2-cosφ)]/(1-sinφ)

(37)

它明顯小于M-C準則式(36)所給出的相關(guān)系數(shù)值。

由于內(nèi)摩擦角在0到90°之間變化，式(36)中應(yīng)力分量σ3的系數(shù)恒大于1。它表明：在兩向壓縮時，隨σ3增大，σ1單調(diào)增加，材料不會發(fā)生兩向等壓破壞。事實上，鑄鐵[35]和混凝土[36]兩向壓縮試驗結(jié)果均表明，當σ3較小時，σ1隨σ3的增大而增大。一旦σ3增大到某個定值時，σ1將隨σ3的增大逐漸降低，直到出現(xiàn)兩向等壓破壞?？傻贸?，當k0<0.25時，式(35)以線性近似形式反映了試驗觀測到的這種變化規(guī)律。當k0>0.25時，式(35)中σ3的系數(shù)大于1，給出了與M-C準則一致的變化性態(tài)。由此可見，M-C準則模型的能量描述相比原始的M-C準則具有更好的試驗現(xiàn)象解釋能力。

若將式(28)中的特征指數(shù)m取為0，并代入式(34)，考慮到σV=σ1+σ3和式(30)，可以得到，兩向壓縮時材料的破壞強度是一個等于單軸壓縮強度σC的常數(shù)。它給出了脆性材料最為簡單的經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚37]關(guān)于兩向壓縮強度的描述結(jié)果。這個結(jié)果顯示了能量描述用于兩向壓縮破壞強度定量分析的適用性。

4.3 側(cè)限壓縮強度

側(cè)限壓縮時，側(cè)限壓力滿足條件σ2=σ3。此時，材料所受到的壓力較大，有必要考慮到體積模量的變化。為分析方便起見，參數(shù)k依然采用體積應(yīng)變飽和近似，即將式(28)中的特征指數(shù)m取為0并代入式(22)，得到

(38)

[(σ1-σ3)/σC]2=1-4k0+4k0(σ1+σ3)/σC

(39)

圖3給出了由上述關(guān)系計算得到的理論強度曲線。在這里，體積應(yīng)變飽和假設(shè)高估了體積模量的增大速率，使得參數(shù)k較其真實情況明顯偏小。對照式(22)可以看出，式(39)的計算結(jié)果低估了壓縮強度隨側(cè)限壓力增加的增大量。它表明圖3所給理論強度應(yīng)比真實值偏低。

圖3 側(cè)限壓縮的理論強度曲線

當4k0|1-(σ1+σ3)/σC|?1時，式(39)可以作如下近似

(40)

它可以進一步簡化為

σ1≈σC+(1+2k0)/(1-2k0)σ3

(41)

與M-C準則式(36)對比可見，二者具有相同的函數(shù)形式。特別地，當k0取 sinφ/2時，它們完全一致。

在體積應(yīng)變假設(shè)條件下，由式(28)知，k=k0σ0/σV，式(18)的第一式給出軸向應(yīng)力與破壞面法線方向夾角(與破斷角θ相等)的余弦l1為

(42)

巖石三軸壓縮試驗結(jié)果表明[38]，側(cè)限壓力σ3的增加使壓縮破壞強度σ1大幅度增加。因此，隨σ3的增大，σ1-σ3增大，使得l1增大。由此可見，破斷角θ將隨σ3的增大而逐漸減小。這個推論與試驗觀測現(xiàn)象完全吻合[29]。它表明通過能量描述所確定破壞面位向的正確性。

4.4 直剪強度

當剪切面上的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力分別為τ和σ時，直剪破壞能可以由式(7)確定。破壞的臨界能量條件表明，該破壞能應(yīng)等于破壞面的表面能?？紤]到σV=σ，由式(7)和(21)，得

(43)

利用式(30)，將上式改寫為

(44)

將式(28)代入，得

(45)

它給出了直剪強度τ隨法向壓力σ的變化關(guān)系。

取k0=0.38，m=0.18以及k0=0.43，m=0.35，通過式(45)計算得到如圖4所示的兩條理論直剪強度曲線。與無初始裂紋和有初始裂紋混凝土試樣的試驗數(shù)據(jù)[39]對比可見，能量描述給出了與試驗數(shù)據(jù)基本一致的理論結(jié)果。但這兩組試驗數(shù)據(jù)的M-C準則擬合結(jié)果在σ<0.15σC時的誤差明顯偏大[39]。

圖4 混凝土直剪理論與試驗強度對比

4.5 真三軸壓縮強度

將式(28)代入式(22)，得

(46)

(47)

由此得到了真三軸壓縮時的破壞強度關(guān)系。

為了驗證強度關(guān)系(47)的三軸壓縮強度預(yù)測能力，這里選擇Westerly花崗巖作為分析對象。試驗結(jié)果表明[40]，Westerly花崗巖的單軸抗壓強度σC為201 MPa，破斷角θ為75°。由式(33)計算得到，參數(shù)k0為0.433。根據(jù)Westerly花崗巖單軸壓縮軸向應(yīng)力-體積應(yīng)變曲線[41]，取其開始達到最大壓縮應(yīng)變一半至達到最大應(yīng)變的一段，用方程(26)作線性擬合，計算出參數(shù)m為 0.59。將上述參數(shù)代入式(47)，計算得到Westerly花崗巖三軸壓縮強度理論預(yù)測結(jié)果，如圖5所示。

圖5 Westerly花崗巖破壞強度的理論與試驗結(jié)果對比

圖5的理論預(yù)測結(jié)果同時包含了平面壓縮(σ3=0)、側(cè)限壓縮(σ2=σ3)和真三軸壓縮三種情況。與離散點所示試驗結(jié)果[40]對比可見，當側(cè)限壓力較高時，理論預(yù)測結(jié)果很好地再現(xiàn)了試驗觀測到的強度變化規(guī)律。理論與試驗結(jié)果相對百分誤差絕對值的平均值為6.4%，最大值為20.8%，有8個點的誤差超過10%，其余均小于10%。事實上，這組試驗數(shù)據(jù)關(guān)于Cristensen準則和Hoek-Brown經(jīng)驗準則的研究表明[42]，只有數(shù)據(jù)擬合才能達到這里理論預(yù)測的吻合程度。它顯示了M-C準則模型的能量描述良好的理論強度預(yù)測能力。但當側(cè)限壓力較低時，理論破壞強度隨中間主應(yīng)力變化仍存在著較大的偏差。它與參數(shù)k不夠準確的模型化描述有關(guān)。此外，在式(47)中，壓縮破壞強度作為體積應(yīng)力的組成部分，既不便于直觀分析，也使求解計算比較麻煩。這些都是有待進一步探討的問題。

5 結(jié)論

(1) M-C準則可以用Mohr極限應(yīng)力圓包絡(luò)線進行解釋，也可以看作為極限條件下破壞面上的力平衡描述。但它們都難以準確回答破壞面如何確定以及破壞位向的壓力相關(guān)性這兩個基本問題。本文以M-C準則的力學模型為基礎(chǔ)，通過能量描述，探索了一種可行的解決方法。

(2) 在破壞面上一點處，切應(yīng)力所確定的剪切彈性應(yīng)變能以及正應(yīng)力關(guān)于體積應(yīng)變所儲存的彈性應(yīng)變能共同構(gòu)成了破壞發(fā)生的能量成分。它的極值條件從理論上明確了壓縮破壞面位向的確定方法，并給出了該位向所對應(yīng)的破壞能。

(3) 破壞發(fā)生時，破壞能轉(zhuǎn)化為破壞面的表面能。這兩種能量之間的守恒關(guān)系給出了破壞的臨界能量條件。在純剪破壞時，通過該能量條件可以得到裂紋表面能的剪切強度描述關(guān)系，并進一步建立壓縮條件下M-C準則模型能量描述的強度關(guān)系。

(4) 在平面壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，能量描述結(jié)果與M-C準則的主應(yīng)力坐標描述具有完全一致的函數(shù)形式。在側(cè)限壓縮條件下，體積應(yīng)變飽和近似的分析結(jié)果明確了這個關(guān)系與M-C準則的聯(lián)系。M-C準則模型的能量描述通過體積應(yīng)力的引入考慮到中間主應(yīng)力對破壞強度的影響。與經(jīng)典的M-C準則相比，它表現(xiàn)出更強的試驗現(xiàn)象解釋能力。試驗結(jié)果的對比分析表明，從能量描述獲得的強度關(guān)系具有更為突出的材料破壞強度理論預(yù)測能力。