帶內(nèi)能的Cahn-Hilliard方程解的整體存在性

徐紅梅，李奇

(河海大學(xué)理學(xué)院, 江蘇 南京 211100)

0 引言

研究在空間維數(shù)為1≤n≤3時(shí)帶內(nèi)能的Cahn-Hilliard方程在小初值情況下經(jīng)典解的整體存在性:

(1)

其中，η>0是一個(gè)給定的常數(shù)，u表示一相對(duì)濃度.在非線性項(xiàng)Δf(u)中,取f(u)=u2.當(dāng)η=0時(shí),(1)式就是著名的Cahn-Hilliard方程[1].

ut+Δ2u-Δf(u)=0， (x,t)∈Rn×(0,∞)

(2)

為模擬在某些玻璃中由于過(guò)深過(guò)冷引起的不平衡分解,Galenko等[2-4]提議在方程(2)中增加不活潑項(xiàng)ηutt,即方程(1)式,詳細(xì)物理背景可參看文獻(xiàn)[3-4].

Cahn-Hilliard方程是拋物方程,因其豐富的物理背景,已有許多研究[5-9],但(1)式是一個(gè)帶松弛項(xiàng)的雙曲型方程,它的解在有限時(shí)間內(nèi)不再正則化,因此很難得到經(jīng)典解的整體存在性.事實(shí)上,對(duì)于(1)式,之前的工作主要集中在能量有界解和擬強(qiáng)解上[10-11].如文獻(xiàn)[10]指出,(1)式是與半線性波動(dòng)方程有很多相似之處,但由于它的弱耗散性,我們很難僅用標(biāo)準(zhǔn)能量方法得到(1)式解的整體存在性.Wang和Wu[12]介紹了一個(gè)長(zhǎng)短波的方法,他們分別用格林函數(shù)和能量估計(jì)的方法來(lái)估計(jì)低頻和高頻部分,從而得到了(1)式在n≥3時(shí)小初值情形經(jīng)典解的整體存在性.空間維數(shù)大小在衰減估計(jì)中起著很重要的作用.維數(shù)越高,衰減速度越快.本研究通過(guò)構(gòu)造一個(gè)完備度量空間的柯西序列的方法得到了(1)式在小初值情況下經(jīng)典解的整體存在性.在證明是柯西序列的過(guò)程中,我們同樣分高低頻用不同方法作估計(jì).在高頻時(shí),我們是通過(guò)對(duì)格林函數(shù)的詳細(xì)分析取代文獻(xiàn)[12]中的能量估計(jì)得到的.

1 柯西序列的構(gòu)造

令u(m)是下列線性非齊次方程的解

(3)

其中m≥1.且令u(0)(x,t)=0.由齊次化原理，類似文獻(xiàn)[12]中2.5式的方法，得到(3)式的解為

(4)

其中G是下列線性齊次方程的解

其中δ(x)為Dirac函數(shù).容易算出

(5)

其中

(6)

我們首先分高低頻對(duì)G(x,t)作出估計(jì).先作光滑截?cái)嗪瘮?shù)

定理1對(duì)任意多重指標(biāo)α,存在依賴于α的常數(shù)Cα,有

(7)

(8)

所以

(9)

因?yàn)?/p>

I1+I2+I3

(10)

由(6)～(9)式得

(11)

(12)

由(10)～(12)式,定理得證.

因?yàn)?/p>

(13)

定理2當(dāng)u∈Hs,對(duì)任意α,|α|≤s,有

定理2的證明當(dāng)4η|ζ|4≥2,由(6)式，有

所以

定理3的證明證明分3步.

1)u(0)(x,t)=0∈Ds,E.

2) 若u(m-1)(x,t)∈Ds,E,要證u(m)(x,t)∈Ds,E,由定理1,定理2,得

CE

(14)

由定理1,定理2,引理3.2[12]及Sobolev不等式,得

CE2+CE2

(15)

由(14)～(15)、(4)式,當(dāng)E<1,有u(m)(x,t)∈Ds,E.

3) 證u(m)(x,t)是Ds,E內(nèi)的柯西列.

令v(m)(x,t)=u(m)(x,t)-u(m-1)(x,t)，m≥3.

由(3)式,得v(m)(x,t)是下列方程的解.

由定理1，定理2，引理3.3[12],當(dāng)|α|≤s,得

CE‖v(m-1)‖L∞(0,+∞;Hs(Rn))+CE‖v(m-1)‖L∞(0,+∞;Hs(Rn))=

2CE‖v(m-1)‖L∞(0,+∞;Hs(Rn)).

則u(m)(x,t)是Ds,E內(nèi)的柯西列.

綜合步驟1)-3)定理得證.

2 結(jié)論

由于Ds,E是完備度量空間,由u(m)(x,t)的構(gòu)造方法，得到本文中結(jié)論.