π-部分特征標(biāo)的McKay猜想

常學(xué)武，王娜

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

0 引言

設(shè)G為任意有限群,p為素?cái)?shù),通常記Irrp′(G)={χ∈Irr(G)|p?χ(1)}為G的次數(shù)不被p整除的所有不可約復(fù)特征標(biāo)構(gòu)成的集合.如果P∈Sylp(G)為G的一個(gè)Sylowp-子群,則著名的McKay猜想斷言|Irrp′(G)|=|Irrp′(NG(P))|.事實(shí)上,有限群表示論近50年來(lái)的一個(gè)主要目標(biāo)就是證明McKay猜想及其各種變形和加強(qiáng),至今取得了很多重大的進(jìn)展和突破,但尚未徹底攻克該猜想,具體成果和相關(guān)文獻(xiàn)可參考Navarro在2018年出版的最新專(zhuān)著[1],我們?cè)诖藘H提及幾個(gè)與本研究有關(guān)的經(jīng)典結(jié)果.第一個(gè)進(jìn)展是1973年Isaacs[2]證明了McKay猜想對(duì)奇數(shù)階群成立,特別地,他構(gòu)造了一個(gè)典范雙射Irrp′(G)→Irrp′(NG(P)).1978年Wolf[3]證明了McKay猜想對(duì)任意可解群都成立,而p-可解群的McKay猜想是Dade[4]以及Okushima和Wajima[5]在1979年分別獨(dú)立地證明的.作為p-可解群的推廣,π-可分群的McKay猜想也是成立的,即當(dāng)G為π-可分群時(shí),設(shè)H∈Hallπ(G)為Hallπ-子群,則|Irrπ′(G)|=|Irrπ′(NG(H))|,其中Irrπ′(G)為G的具有π′-次數(shù)的所有不可約復(fù)特征標(biāo)的集合.該結(jié)果的證明可見(jiàn)Isaacs在2018年出版的最新特征標(biāo)專(zhuān)著第6章[6].

值得指出的是,在G為可解群時(shí),雖然已證明|Irrp′(G)|=|Irrp′(NG(P))|,但偶數(shù)階可解群G一般不存在從Irrp′(G)到Irrp′(NG(P))的典范雙射,一個(gè)典型的反例是G=GL(2,3)且p=3.在研究McKay猜想時(shí),一個(gè)基本而重要的問(wèn)題是探討何時(shí)存在典范雙射.Isaacs[7]研究M-群的Hall子群時(shí),證明了下述重要結(jié)果(即該文中定理B和定理C),意義在于從單項(xiàng)特征標(biāo)的角度具體構(gòu)造了McKay猜想中的一個(gè)典范雙射.

Isaacs定理設(shè)G為可解群,π為一個(gè)素?cái)?shù)集合,H∈Hallπ(G)為G的Hallπ-子群.如果Irrπ′(G)中成員均為單項(xiàng)特征標(biāo),則存在一個(gè)典范雙射

f:Irrπ′(G)→Irrπ′(NG(H))

使得對(duì)每個(gè)χ∈Irrπ′(G), 只要χ=λG,其中λ∈Irr(U)為線性特征標(biāo),并且H≤U≤G,就有f(χ)=(λNU(H))NG(H).特別地,Irrπ′(NG(H))中成員也都是單項(xiàng)特征標(biāo).

關(guān)于Brauer特征標(biāo)的McKay猜想,目前已經(jīng)證明對(duì)p-可解群成立,即當(dāng)G為p-可解群時(shí),則|IBrp′(G)|=|IBrp′(NG(P))|,在此IBrp′(G)表示G的次數(shù)不被素?cái)?shù)p整除的所有不可約p-Brauer特征標(biāo)的集合.值得提及的是該結(jié)果對(duì)非p-可解群一般不成立.此外,Wolf[8]考慮了Isaacs的π-部分特征標(biāo),證明了相應(yīng)的McKay猜想(見(jiàn)該文定理A),包含了上述p-可解群的McKay猜想.這是非常一般化的結(jié)果,但Wolf并沒(méi)有進(jìn)一步探討何時(shí)兩個(gè)相應(yīng)的不可約π-部分特征標(biāo)(簡(jiǎn)稱(chēng)為Iπ-特征標(biāo))集合存在一個(gè)典范雙射.關(guān)于Iπ-特征標(biāo)的定義和性質(zhì),可見(jiàn)本文中第2節(jié),或參考Isaacs最新特征標(biāo)著作[6].

本文中主要研究π-部分特征標(biāo)理論中的McKay猜想,在Wolf工作的基礎(chǔ)上(見(jiàn)定理A[8]),我們給出了上述Isaacs定理的π-部分特征標(biāo)版本,即在π-部分特征標(biāo)理論的McKay猜想中,具體構(gòu)造出相應(yīng)兩個(gè)Iπ-特征標(biāo)集合之間的一個(gè)典范雙射.

定理A設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),則存在一個(gè)典范雙射

f:{φ∈Iπ(G)|φ(1)為π′-數(shù)}→{ξ∈Iπ(NG(H))|ξ(1)為π′-數(shù)}

使得對(duì)任意φ∈Iπ(G)且φ(1)為π′-數(shù),均有f(φ)=(λNU(H))NG(H),其中U為G的子群且包含H,λ∈Iπ(U)為線性特征標(biāo),并且φ=λG.特別地,f(φ)不依賴(lài)于U和λ的不同選取,并且這兩個(gè)Iπ-特征標(biāo)集合中的所有成員均為單項(xiàng)Iπ-特征標(biāo).

取π={p}′為素?cái)?shù)p的余集,熟知π-可分群即通常的p-可解群,而Iπ-特征標(biāo)等同于關(guān)于素?cái)?shù)p的不可約Brauer特征標(biāo),即Iπ(G)=IBr(G).下述結(jié)果可看成是Brauer特征標(biāo)中一種“對(duì)偶”的McKay猜想,即將Sylowp-子群P∈Sylp(G)替換為一個(gè)p-補(bǔ)Q∈Hallp′(G).

推論B設(shè)G為p-可解群,Q為G的一個(gè)p-補(bǔ),則存在一個(gè)典范雙射

f:{φ∈IBr(G)|φ(1)為p-數(shù)}→{ξ∈IBr(NG(Q))|ξ(1)為p-數(shù)}

使得對(duì)任意φ∈IBr(G)且φ(1)為p-數(shù),均有f(φ)=(λNU(Q))NG(Q),其中U為G的子群且包含Q,λ∈IBr(U)為線性特征標(biāo),并且φ=λG.特別地,f(φ)不依賴(lài)于U和λ的不同選取.此外,上述兩個(gè)Brauer特征標(biāo)集合中的所有成員均為Brauer單項(xiàng)特征標(biāo).

再取π={p}為素?cái)?shù)p的集合,則I{p}簡(jiǎn)記為Ip,這又是一類(lèi)很重要的π-部分特征標(biāo),可視為關(guān)于素?cái)?shù)p的Brauer特征標(biāo)的一種對(duì)偶,在M-群和超單項(xiàng)特征標(biāo)的研究中自然地出現(xiàn),并提供有效的證明技術(shù),相關(guān)文獻(xiàn)可見(jiàn)[9-10].下述結(jié)果同樣可看成是特征標(biāo)π-理論中McKay猜想的另外一種對(duì)偶版本.

推論C設(shè)G為p-可解群,P∈Sylp(G),則存在一個(gè)典范雙射

f:{φ∈Ip(G)|φ(1)為p′-數(shù)}→{ξ∈Ip(NG(P))|ξ(1)為p′-數(shù)}

使得對(duì)任意φ∈Ip(G)且φ(1)為p′-數(shù),均有f(φ)=(λNU(P))NG(P),其中U為G的子群且包含P,λ∈Ip(U)為線性特征標(biāo),并且φ=λG.特別地,f(φ)不依賴(lài)于U和λ的不同選取,并且上述兩個(gè)Ip-特征標(biāo)集合中的成員均為單項(xiàng)Ip-特征標(biāo).

本研究只考慮有限群,復(fù)特征標(biāo)的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)可參考Isaacs的兩本著作[6,11],關(guān)于Brauer特征標(biāo)可參考Navarro的教材[12].

1 Iπ-特征標(biāo)及其提升

本節(jié)簡(jiǎn)介所需的π-部分特征標(biāo)的概念和性質(zhì),主要參考文獻(xiàn)[6].

設(shè)G為π-可分群,通常記G0為G的所有π-元素構(gòu)成的集合,則G的每個(gè)復(fù)特征標(biāo)χ∈Char(G)在G0上的限制χ0稱(chēng)G的一個(gè)π-部分特征標(biāo).如果G的π-部分特征標(biāo)χ0不能表為兩個(gè)π-部分特征標(biāo)之和,即不存在χ0=φ0+ψ0,其中φ,ψ為G的復(fù)特征標(biāo),則稱(chēng)χ0為G的一個(gè)不可約π-部分特征標(biāo),簡(jiǎn)稱(chēng)為G的Iπ-特征標(biāo),G的全體不可約π-部分特征標(biāo)的集合記為Iπ(G).關(guān)于π-部分特征標(biāo)到子群的限制和從子群的誘導(dǎo),可按通常復(fù)特征標(biāo)的限制和誘導(dǎo)定義.設(shè)H≤G,θ∈Char(H)且χ∈Char(G),則定義(χ0)H=(χH)0和(θ0)G=(θG)0.

從定義不難看出:當(dāng)π={p}′為素?cái)?shù)p的余集且G為p-可解群時(shí),根據(jù)模表示論中著名的Fong-Swan定理,可知π-部分特征標(biāo)即通常關(guān)于素?cái)?shù)p的Brauer特征標(biāo),而Iπ-特征標(biāo)等同于關(guān)于素?cái)?shù)p的不可約Brauer特征標(biāo),亦即Iπ(G)=IBr(G),表明Iπ-特征標(biāo)恰為不可約Brauer特征標(biāo)在π-可分群中的直接推廣.

為了研究π-部分特征標(biāo)理論, Isaacs采用了類(lèi)似于Fong-Swan定理給出的提升技術(shù),核心內(nèi)容是定義了所謂Bπ-特征標(biāo)集合Bπ(G)?Irr(G),作為Iπ(G)的一種典范提升,即特征標(biāo)的π-限制χ|→χ0給出了一個(gè)典范雙射:Bπ(G)→Iπ(G).但Bπ-特征標(biāo)的定義相當(dāng)復(fù)雜,難以在此精確地給出,并且通常判定一個(gè)不可約復(fù)特征標(biāo)χ∈Irr(G)是否為Bπ-特征標(biāo),也是很困難的問(wèn)題.在2∈π的情形, Isaacs定義了一個(gè)關(guān)于群G和素?cái)?shù)集合π的域自同構(gòu)τ,可用來(lái)簡(jiǎn)單地判別Bπ-特征標(biāo),具體內(nèi)容可見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

引理1.1設(shè)G為π-可分群, 2∈π,并且τ為關(guān)于G和π的域自同構(gòu).如果χ∈Irr(G),則χ∈Bπ(G)當(dāng)且僅當(dāng)χτ=χ且χ0∈Iπ(G).

引理1.1的證明見(jiàn)定理5.2[6].

但在2?π的情形,則上述Bπ-特征標(biāo)的判別方法失效,并且此時(shí)Bπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)和限制等過(guò)程均難以控制.為此Isaacs[9，13]又定義了Dπ-特征標(biāo),同樣指定了一個(gè)子集Dπ(G)?Irr(G),作為Iπ-特征標(biāo)在2?π時(shí)的又一種典范提升,即特征標(biāo)的π-限制χ|→χ0也是一個(gè)雙射:Dπ(G)→Iπ(G).值得指出的是Bπ-特征標(biāo)和Dπ-特征標(biāo)一般是不同的,但在奇數(shù)階群中這兩類(lèi)特征標(biāo)是一致的.

事實(shí)上,Dπ-特征標(biāo)的定義同樣很復(fù)雜的,特別是涉及到子群H在G中所謂的π-標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)特征標(biāo)δ(G,H),屬于一類(lèi)取值為±1的特殊的線性特征標(biāo).此外,如果θ∈Char(H),則定義θ到G的π-誘導(dǎo)θπG=(δ(G,H)θ)G.相關(guān)概念和性質(zhì),均可參考文獻(xiàn)[6]或上段提及的兩篇文獻(xiàn).

我們需要判別特征標(biāo)的π-誘導(dǎo)何時(shí)恰為通常誘導(dǎo),下述即為所需的一個(gè)充分條件.

引理1.2設(shè)G為π-可分群且2?π,J≤G使得|G:J|為π′-數(shù).如果α∈Char(J)為J的一個(gè)復(fù)特征標(biāo),則απG=αG.

引理1.2的證明因?yàn)閨G:J|為π′-數(shù),從定理2.5[13]可知J在G中的π-標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)特征標(biāo)δ(G,J)=1J,再?gòu)奶卣鳂?biāo)π-誘導(dǎo)的定義得到απG=(δ(G,J)α)G=αG.

下述是Dπ-特征標(biāo)的判別定理,即著名的Dade定理.

引理1.3設(shè)G為π-可分群且2?π,如果H≤G,θ∈Irr(H)和χ∈Irr(G),滿足θπG=χ,則θ∈Dπ(H)當(dāng)且僅當(dāng)χ∈Dπ(G).

引理1.3的證明見(jiàn)定理E[9].

通常在研究Iπ-特征標(biāo)時(shí),考慮到Bπ-特征標(biāo)和Dπ-特征標(biāo)各自具有的技術(shù)便利,人們往往區(qū)分兩種情形,即2∈π和2?π.方便起見(jiàn),我們引入一個(gè)概念.

在本文中主要定理的證明中,我們將使用上述標(biāo)準(zhǔn)提升技術(shù),把Iπ-特征標(biāo)的結(jié)果提升為復(fù)特征標(biāo)的相應(yīng)結(jié)果,再借助Isaacs定理完成證明.為此,我們還需要用到Isaacs[7]的一個(gè)基本引理.

引理1.5設(shè)G為任意群,H∈Hallπ(G),U,V≤G，H≤U∩V,λ∈Irr(U)和μ∈Irr(V)均為線性特征標(biāo),使得λG,μG∈Irr(G).令N=NG(H).如果(λU∩N)N=(μV∩N)N則λG=μG.

引理1.5的證明即引理2.3[13]的特例.

最后,本文中還要用到下述Wolf定理,內(nèi)容證明了Iπ-特征標(biāo)的McKay猜想.

引理1.6設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),則下述兩個(gè)Iπ-特征標(biāo)的集合具有相同的基數(shù):

|{φ∈Iπ(G)|φ(1)為π′-數(shù)}|=|{ξ∈Iπ(NG(H))|ξ(1)為π′-數(shù)}|.

引理1.6的證明屬于定理A[8]的特例,取其中素?cái)?shù)集合ω=π即可.

2 主要結(jié)果及證明

我們先建立一個(gè)基本結(jié)果,在定理A的證明中有重要作用.

定理2.1設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),并且φ∈Iπ(G).如果φ(1)為π′-數(shù),則存在G的子群U≥H以及線性Iπ-特征標(biāo)λ∈Iπ(U)使得φ=λG.進(jìn)而,對(duì)任意如此的子群U和線性Iπ-特征標(biāo)λ,均有(λNU(H))NG(H)不可約.

定理2.1的證明根據(jù)Iπ-特征標(biāo)的Huppert定理(見(jiàn)推論5.5[6]),則Iπ-特征標(biāo)存在π-次誘導(dǎo),即存在子群U≤G以及λ∈Iπ(U)，使得φ=λG且λ(1)為π-數(shù).此時(shí)φ(1)=|G:U|λ(1),已知φ(1)為π′-數(shù),故|G:U|和λ(1)均為π′-數(shù).由此可知λ(1)=1,即λ為線性的Iπ-特征標(biāo),并且U包含G的Hallπ-子群,從G為π-可分群可知其所有的Hallπ-子群彼此共軛,故H包含在U的某個(gè)G-共軛Ug中.此時(shí)(Ug,λg)也是φ的一個(gè)π-次誘導(dǎo)對(duì),滿足H≤Ug且λg(1)=λ(1)=1.我們用(Ug,λg)替換(U,λ)，即得所需的子群U和線性特征標(biāo)λ.

固定任意一個(gè)Iπ-特征標(biāo)對(duì)(U,λ)滿足所述條件,為了便于歸納,我們將證明一個(gè)稍微一般的結(jié)論:只要子群J≤G使得|U:U∩J|為π′-數(shù),就有(λU∩J)J∈Iπ(J).通過(guò)取J=NG(H),則U∩J=NU(H)≥H,顯然滿足指數(shù)為π′-數(shù)的條件,故得所證結(jié)論(λNU(H))NG(H)不可約.為此,我們將用反證法,假設(shè)(λJ∩U)J是可約的,在所有反例中,我們依次選取|G|, |G:U|和|G:J|盡可能的小,分以下幾步完成證明.

1) 我們斷言J必為G的極大子群.事實(shí)上,如果J不是極大子群,則存在中間子群V使得J

2) 任取N?G,只要N≤U∩J,我們將證明φN必然是齊次的,即僅有唯一的Iπ-分量.為此,選取θ∈Iπ(N)在λ∈Iπ(U)的下方,因?yàn)棣耸蔷€性的Iπ-特征標(biāo),故λN=θ.特別地,θ是U-不變的.令T=IG(θ)為θ在G中的慣性群,則U≤T. 假設(shè)φN不是齊次的,因?yàn)棣纫彩铅誑的不可約分量,故φN非齊次等價(jià)于θ不是G-不變的,即T

3) 我們證明φJ(rèn)是可約的.如果φJ(rèn)不可約,則(λG)J=φJ(rèn)∈Iπ(J),任取μ∈Irr(U)為λ∈Iπ(U)的提升,即μ0=λ,則((μG)J)0=((μ0)G)J=(λG)J=φJ(rèn)不可約,迫使復(fù)特征標(biāo)(μG)J也不可約,由Mackey定理可知G=UJ.此時(shí)(μU∩J)J=(μG)J,兩邊再做π-限制得到

(λU∩J)J=((μ0)U∩J)J=((μU∩J)J)0=((μG)J)0=((μ0)G)J=φJ(rèn)∈Iπ(J),

與極小反例的假設(shè)矛盾,故φJ(rèn)是可約的.

4) 因?yàn)棣詹荒苁蔷€性特征標(biāo),否則U=G且λ=φ,而U∩J=J,此時(shí)λJ∈Iπ(J),結(jié)論成立,與極小反例矛盾.已知φ(1)是π′-數(shù),故φ(1)不能是π-數(shù).使用引理5.12[6],存在某個(gè)G的正規(guī)子群M,使得φM的任意不可約分量γ的次數(shù)均為π-數(shù),但γ不是G-不變的,等價(jià)于φM不是齊次的.因?yàn)棣?λG從U誘導(dǎo),再由引理5.21[6]可知|MU:U|為π-數(shù).但|G:U|整除φ(1)為π′-數(shù),迫使MU=U,即M≤U.

如果M?J,從J為極大子群可知G=MJ,從而|M:M∩J|為π′-數(shù).此時(shí)M∩J包含M的一個(gè)Hallπ-子群,仍從引理5.14[6]推出φM的不可約分量γ在M∩J上的限制不可約.此時(shí)φ∈Iπ(G|γ),再根據(jù)引理5.20[6],可知φJ(rèn)也不可約,又與(3)中結(jié)論矛盾,故M≤J.

至此即證M≤U∩J,但M?G且φM不是齊次的,又與2)中結(jié)論矛盾,證畢.

以下是本文中定理A,可視為定理B和定理C[7]的π-版本.類(lèi)似復(fù)特征標(biāo)的單項(xiàng)性,我們稱(chēng)φ∈Iπ(G)為一個(gè)單項(xiàng)的Iπ-特征標(biāo),如果φ可從子群的線性Iπ-特征標(biāo)誘導(dǎo),即φ=λG,對(duì)某個(gè)λ∈Iπ(U),其中λ(1)=1且U≤G.

定理2.2設(shè)G為π-可分群,H∈Hallπ(G),則存在一個(gè)典范的雙射

不難看出本文中推論B和推論C可直接中從定理A得到,證明從略.